Sujet du bac ES 2004: Mathématique Obligatoire

Education Nationale

Description

QCM étude de fonctions, nuage de points et fonction acceptable, événements de probabilités et ajustement affine.
Sujet du bac 2004, Terminale ES, Pondichéry

Sujets

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Informations

• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2004
• Nombre de lectures: 50
• Langue: Français

Extrait

BaccalauréatESPondichéryavril2004
L’utilisationd’unecalculatriceestautorisée.
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
Chaquequestioncomportetroisaffirmationsrepéréesparleslettresa,bet c.
Lecandidatdoitindiquerpourchacuned’ellessielleetvraieoufaussesansjustifica-
tion.
Àchaquequestionestaffectéuncertainnombredepoints.Pourchaquequestion,une
réponse exacte rapporte le nombre de points affecté, une réponse inexacte enlève la
moitiédunombredepointsaffecté.
Lecandidatpeutdéciderdenepasrépondreàcertainesdecesquestions;ellesnerap-
portentaucunpointetn’enenlèventaucun.
Siletotalestnégatif,lanoteestramenéeà0.
Lesréponsesseronttranscritesdansletableaufournienannexe.
1. Soit f lafonctiondéfiniesur]0;+∞[par f(x)=2lnx−3x+5.
Dans un repère,une équation de la tangente à la courbe représentative de f
aupointd’abscisse1est:
a. y=−x+1
b. y=2x−3
c. y=−x+3
2. Onconsidèreunefonctiong dontletableaudevariationsestdonnéci-dessous.
Onposeh=lng.
x 5 7
1
Variation
deg −3
a. h n’estpasdéfiniesur[5;7]
b. h eststrictementdécroissantesur[5;7]
c. h eststrictementcroissantesur[5;7]
3. L’ensembledessolutionsdel’inéquation xln(0,3)−160est:¸ ¸
1
a. −∞;
ln(0,3)· ·
1
b. ;+∞
ln(0,3)¸ ·
1
c. 0;
ln(0,3)
x+1
4. u estlafonctiondéfiniesurRparu(x)= .
2x +2x+3
UneprimitiveU deu surRestdéfiniepar:
¡ ¢
2a. U(x)=ln x +2x+3¡ ¢
2b. U(x)=2ln x +2x+3
¡ ¢1 2c. U(x)= ln x +2x+3 +4.
2BaccalauréatESavril2004
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Dansuneacadémie,lesélèvescandidatsaubaccalauréatsérieESserépartissenten
2003 selon les trois enseignements de spécialité : mathématiques, sciences écono-
miquesetsocialesetlanguevivante.
Noussavonsdeplusque:
37%descandidatsontchoisil’enseignement despécialitémathématiques;
25%descandidatsontchoisil’enseignement despécalitélanguevivante;
21% des candidats ont choisi l’enseignement de spécialité mathématiques et
ontobtenulebaccalauréat;
32,5% des candidats ont choisi l’enseignement de spécialité sciences écono-
miquesetsocialesetontobtenulebaccalauréat.
De plus, parmi les candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité langue vi-
vante,72,5%ontobtenulebaccalauréat.
Oninterrogeuncandidatprisauhasard.
Onnote:
Ml’évènement«lecandidatachoisil’enseignementdespécialitémathématiques»;
S l’évènement «le candidat a choisi l’enseignement de spécialité sciences écono-
miquesetsociales»;
Ll’évènement «lecandidatachoisil’enseignement despécialitélanguevivante»;
Rl’évènement «lecandidataobtenulebaccalauréat».
On pourra faire un arbre pour faciliter la réponse aux questions. Les résultats de-
mandésserontarrondisaumillièmeprès.
1. Traduire en termes de probabilités et en utilisant les notations indiquées les
informationsnumériquesdonnéesci-dessus.
2. a. Déterminerlaprobabilitépourquececandidataitchoisil’enseignement
despécialitéscienceséconomiquesetsociales.
b. Déterminerlaprobabilitépourquececandidataitchoisil’enseignement
despécialitélanguevivanteetaitréussiauxépreuvesdubaccalauréat.
3. Quelle est la probabilité pour que ce candidat ait choisi l’enseignement de
spécialitélanguevivanteetaitéchouéaubaccalauréat?
4. Cecandidatachoisil’enseignement despécialitémathématiques.
Quelleestlaprobabilitéqu’iln’aitpasobtenulebaccalauréat?
5. Montrerquelepourcentagederéussiteaubaccalauréatpourlescandidatsde
ESdanscetteacadémieest71,6%.
6. Oninterrogesuccessivementauhasardetdefaçonindépendantetroiscandi-
dats.
Quelleestlaprobabilitéqu’aumoinsl’und’entreeuxsoitreçu?
EXERCICE 3 7points
Communàtouslescandidats
1. Onconsidèrelafonction f définiesur[0;+∞[par
x
− 3f(x)=(ax+b)e +3
où a etb sontdeuxréelsquel’onseproposededéterminer.
Onsaitque f admetunmaximumaupointd’abscisse4etquelepointA(0; 2)
appartientàlacourbeC représentativedelafonction f dansunrepèreortho-³ ´
→− →−
gonal O, ı ,  d’unitésgraphiques2cmenabscisseset5cmenordonnées.
′ ′a. Soit f la fonction dérivée de f. Déterminer f (x) pour x appartenant à
[0;+∞[.
Pondichéry 2 avril2004BaccalauréatESavril2004
b. Montrerque a=1etb=−1.
2. Étudedelafonction f définiesur[0;+∞[par
x
− 3f(x)=(x−1)e +3.
a. Déterminerlalimitede f en+∞.Endéduirel’existenced’uneasymptote
ΔâlacourbeC en+∞.ÉtudierlapositiondeC parrapportàΔ.
b. Étudierlesensdevariationde f puisdressersontableaudevariations.
3. a. Reproduireetcompléterletableausuivant:
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x)
Onarrondiralesvaleursaucentième.
b. TracerlacourbeC etladroiteΔ.
4. Étudeéconomique
Les dépenses de téléphone, en milliers d’euros, de la société TOUPACHER
sont consignées dans le tableau suivant : x désigne le rang de l’année et yi i
désigneladépense.
Année 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8i
y 1,97 3,02 3,49 3,71 3,80 3,76 3,65 3,55 3,50i
On recherche une fonction qui rende compte relativement correctement du
phénomène.
Ondiraqu’unefonction f estacceptablesipourchaquevaleur x,ona:
¯ ¯
−1¯ ¯f(x )−y 610 .i i
¡ ¢
a. Représenterlenuagedepoints M x , y danslerepèreprécédent.i i i
b. Montrerquelafonction f estacceptable.
c. Leresponsablefinancieraffirmeque«sil’évolutiondesdépensessepour-
suit selon ce modèle, on pourrait espérer retrouver une facture de télé-
phoneinférieureà3000euros».
Êtes-vousd’accordaveccetteaffirmation?Justifier.
EXERCICE 4 4points
Communàtouslescandidats
Un éditeur spécialisé en ouvrages d’artdiffuse sur une année 22000 livres dont les
prixvarientde15à75euros.
Ondésignepar x leprixd’unlivre,par p lenombredelivresdisponiblesetpar q le
nombredelivresdemandés.Lesrésultatsfigurentdansletableauci-dessous:
x 15 25 30 45 60 75
p 2 400 2 600 2 900 3 900 4 500 5 700
q 5 400 4 100 3 800 2 800 2 700 2 000
Onatracéci-dessouslesnuagesdepoints(x ; p )et(x ; q )dansunrepèreortho-i i i i
gonalduplan:
Pondichéry 3 avril2004BaccalauréatESavril2004
6000
5000
4000
p
3000
q
2000
1000
0
0 20 40 60 80
1. Onpose y=lnp.
a. Recopier et compléter le tableau : les résultats seront arrondis au mil-
lième.
x 15 25 30 45 60 75
p 2 400 2 600 2 900 3 900 4 500 5 700
y=lnp
b. Danscettequestion,ledétaildescalculsstatistiquesn’estpasdemandé.
À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droiteD d’ajuste-
mentaffinede y en x.
Lescoefficientsserontarrondisaucentième.
c. Enutilisant cetajustement, donneruneestimation dunombredelivres
disponibles pour un prixunitaire de 40 euros(résultat arrondi à la cen-
taine).
2. Onpose z=lnq etonadmetl’égalitésuivante z=−0,02x+8,73.
Enutilisantcetterelation,donneruneestimationduprixcorrespondantàune
demandede2800livres(résultatarrondiàl’unité).
3. Leprixpourlequell’offreestégaleàlademandes’appelle leprixd’équilibre;
ilestnoté x .0
a. Déterminerparlecalculleprixd’équilibre,arrondiàl’unité.
b. Lescalculsprécédentspermettaient-ilsdeprévoirlerésultat?
Pondichéry 4 avril2004
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