Sujet du bac ES 2005: Mathématique Obligatoire

Education Nationale

Description

Probabilités, Etude de courbe, QCM, Suites
Sujet du bac 2005, Terminale ES, Antilles

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2005
• Nombre de lectures: 43
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat ES Antilles–Guyane juin 2005\

E X E R C IC E 1 5points Commun à tous les candidats Cet exercice est un questionnaire à choix multiples; pour chacune des cinq ques tions, une et une seule affirmation est exacte. Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la bonne affirmation sans justifier votre choix. Barème : À chaque question et attribué un certain nombre de points. Une réponse inexacte enlève la moitié des points affectés. Une question sans réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif, il est ramené à zéro. Question 1 Ce tableau incomplet donne les résultats d’un sondage dans une population de 60 personnes. Cadres Employés 2 28 Hommes 25 15 523 Femmes 815 On interroge une personne au hasard ; la probabilité que ce soit une femme sachant que c’est un cadre est :

Question 2 Une loi de probabilité d’espéranceµ, de variance V et d’écart typeσest définie par le tableau cidessous. x1 2 3 4 i p0,2 0,4 0,1 0,3 i On a alors :

Question 3 Soient C et D deux évènements indépendants. 1 1 On donneP(C)= etP(D)=. 3 12 On a alors :

Question 4 On lance une pièce de monnaie équilibrée quatre fois de suite. La probabilité d’obtenir au moins une fois pile est :

Question 5 Une expérience aléatoire est représentée par l’arbre cidessous où A et B sont deux évènements, A et B leurs évènements contraires B A 0,2 B 0,3

0,1 B A B Alors on a :

5 V= 4

µ=2

5 σ= 4

5 71 P(D∩C)=P(C∪D)=P(C)= D 12 1836

1 4

15 16

1 16

³ ´ P(B)=0, 22PA∩B=0, 8P(A)=0, 7 B

Baccalauréat S juin 2005

E X E R C IC E points2 5 Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Soitf; on déune fonction dont le tableau de variations, incomplet est le suivant ′ signe parfla fonction dérivée de la fonctionf.

x−∞ − 3−1 1 +∞

Signe de

′ f(x)

Variations

− + 0

−6

+∞

− 0 +

. . .

def . . . −∞ 2 On admet quefest définie sur ]− ∞;−1[∪]−1 ;+∞[ par : c f(x)=a x+b+ x+1 oùa,betcsont des réels. ′ 1.Calculerf(x) en fonction dea,betc. 2.En vous aidant des informations contenues dans le tableau de variations ci dessus, montrer que l’on a :a=1,b= −1,c=4. 3.Déterminer les limites manquantes dans le tableau de variations fourni. 4.Montrer que la courbe représentativeC f de la fonctionfadmet comme asymp tote la droiteDd’équationy=x−1 lorsquextend vers+∞ou vers−∞. Étudier la position relative de la courbeC f et de son asymptoteD. Z 2 5.[Déterminer la valeur exacte def(x)−(x−1)] dxet interpréter le résultat 1 en terme d’aire.

E X E R C IC E 2 5points Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Dans une zone de marais on s’intéresse à la population des libellules. On noteP 0 la population initiale etP n la population au bout denannées. Des études ont permis de modéliser l’évolution deP n par la relation : 1 (R) Pour tout entier naturelnon a :P n+2 −P n+1 = ( P n+1 −P n ) . 2 On suppose queP 0 =40 000 etP 1 =60 000. On définit l’accroissement de la population pendant lanième année par la diffé renceP n −P n−1 . 1.Calculer l’accroissement de la population pendant la première année, la deuxième année, la troisième année, puis en déduireP 2 etP 3 . 2.On considère les suites (U n ) et (V n ) définies pour tout entier naturelnpar : 1 U n =P n+1 −P n etV n =P n+1 −P n . 2

Antilles–Guyane

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Baccalauréat S juin 2005

a.Prouver que la suite (U n ) est géométrique. Préciser sa raison et son pre mier terme. ExprimerU n en fonction den. b.En utilisant la relation (R), calculerV n+1 −V n . 1 En déduire que, pour toutn, on a :V n =P 1 −P 0 . 2 CalculerV n . c.Démontrer que, pour tout entier natureln, on aP n =2 (V n −U n ). En déduire une expression deP n en fonction den. d.Montrer que la suite (P n ) converge et calculer sa limite. Que peuton en déduire en ce qui concerne l’évolution de cette popula tion au bout d’un nombre d’années suffisamment grand ?

E X E R C IC E 3 10points Commun à tous les candidats Une entreprise a noté les valeurs du coût total de productionC(x) d’un engrais en fonction de la massexproduite. Le tableau cidessous donne les valeursx i de masse d’engrais produite et celles y i =C(x i ) des coûts totaux de production correspondants pourientier variant de 1 à 5.

x i 10 12 14 16 18en tonnes y i 100 110 145 196 308en centaines d’euros

Partie A ¡ ¢ 1.Représenter le nuage de points associé à la série statistiquex i ;y i dans un repère orthogonal (unités graphiques : 0,5 cm pour une tonne sur l’axe des abscisses et 0,05 cm pour une centaine d’euros sur l’axe des ordonnées.) 2.; 18] dont la courbe reOn recherche une fonction définie sur l’intervalle [10 présentative « ajuste » de façon acceptable le nuage de points. Une fonctionfest dite « acceptée » si, pour les cinq valeursx i du tableau, on a :

−10 6 f(x i )−C(x i ) 6 10. a.Soitfla fonction définie sur [10 ; 12] par :

0,3x f(x)=e+80.

Recopier et compléter le tableau cidessous (les valeurs sont arrondies à −2 10 ). La fonctionfestelle « acceptée » ?

x i 10 1214 16 18 f(x i ) f(x i )−C(x i ) b.Étudier les variations defsur [10 ; 18] et tracer la courbe représentative de la fonctionfdans le repère précédent.

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Partie B : étude d’une fonction auxiliaire Soitgla fonction définie sur l’intervalle [10 ; 18] par

Baccalauréat S juin 2005

0,3x g(x)=(0, 3x−1)e−80. ′ 1.On désigne pargla fonction dérivée deg. ′0,3x Montrer que, pour toutxde [10 ; 18], on a :g(x)=0, 09xe . En déduire le sens de variations degsur [10 ; 18]. 2.Établir le tableau de variations degsur l’intervalle [10 ; 18]. 3.Montrer que l’équationg(x)=0 admet une unique solutionαsur [10; 18] et −1 donner un encadrement deαà 10. En déduire le signe deg(x) sur [10 ; 18].

Partie C Le coût moyen de production d’une tonne en fonction de la massexproduite est exprimé en centaines d’euros par :

f(x) C m (x)= x oùfest la fonction étudiée dans lapartie Aetx∈[10 ; 18]. ′ Ca fonctio 1.On désigne par m dérivée de la fonctionl nC m . ′ CalculerC(x) pourxappartenant ? l’intervalle [10 ; 18]. m 2.Déduire à l’aide de lapartie Ble sens de variations de la fonctionC m sur l’in tervalle [10 ; 18]. 3.Pour quelle production, en tonnes, aton un coût moyen minimal ? Quel est ce coût à un euro près par défaut ?

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