Sujet du bac S 2010: Mathématique Obligatoire

Education Nationale

Description

Vrai/Faux géométrie dans l'espace, nombres complexes, système d'équations et représentation, étude de fonction.
Sujet du bac 2010, Terminale S, Afrique

Sujets

• bac
• sujet bac
• bac s
• sujets bac
• sujet bac s
• sujet du bac

Informations

• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 82
• Langue: Français

Extrait

Bac S – Centres trangers – juin 2010 Exercice 1(4 points) Commun  tous les candidats Pour chaque question une affirmation est propose. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la rponse. Toute rponse non justifie ne sera pas prise en compte. Question 1  Dans lespace muni dun repre orthonormalO   , on considre les droites ( 1 ) et ( 2 ) de reprsentations paramtriques :   x= –1 + 2tx= 1 – 2t      y= –3t   y= 5 –t  ( 1 ) (t∈et ( ) 2 ) (t∈ )    z= 1 +t  z= –2 +t Affirmation:  Les droites ( 1 ) et ( 2 ) sont orthogonales. Question 2 Dans lespace muni dun repre orthonormalO   , on considre le point A de coordonnes (2 ; –1 ; 3) et la droite () de reprsentation paramtrique :  x= 1 + 4t   () y= –2 + 2t  (t∈)   z= 3 – 2t Affirmation: Le plan () contenant le point A et orthogonal  la droite () a pour quation : 2x+y–z= 0. Question 3 La dure de vie, exprime en heures, dun jeu lectronique, est une variable alatoireXqui suit la loi exponentielle de paramtreλ= 0,0003. t –λx  On rappelle que, pour toutt0,p(Xt) =λe dx.  0 Affirmation: La probabilit pour que la dure de vie de ce jeu soit strictement suprieure  2000 heures est infrieure  0,5. Question 4 AetBsont deux vnements lis  une mme preuve alatoire qui vrifient : p(A) = 0,4,p A (B) = 0,7etp A  (B) = 0,1. Affirmation: 14 La probabilit de lvnementAsachant que lvnementBest ralis est gale . 41

1

Exercice 2(5 points) Rserv aux candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit.   Dans le plan complexe () muni dun repre orthonormal directOuvdunit graphique 4 cm, on considre le pointAdaffixea= –1 et lapplication, du plan () dans lui-mme, qui iz au pointMdaffixez, distinct deA, associe le pointM =(M) daffixe :z. = z+ 1 1.Dterminer laffixe des pointsMtels queM =M. 2.Dmontrer que pour tout pointMdistinct deAet deO, on a : OM   π  OM =et (u,OM ) = (MA,MO 2) +πprs. AM 2 1 3.a) SoitBle point daffixeb+ i.= – 2  Placerdans le repre le pointBet la mdiatrice (Δ) du segment [OA]. b) Calculer sous forme algbrique laffixeb du pointB image du pointBpar.  tablirqueB appartient au cercle () de centreOet de rayon 1.  Placerle pointB et tracer le cercle () dans le repre. c) En utilisant la question 2, dmontrer que, si un pointMappartient  la mdiatrice (Δ),  sonimageM parappartient au cercle (). d) SoitCle point tel que le triangleAOCsoit quilatral direct.  Ensaidant des rsultats de la question 2, construire,  la rgle et au compas, limage  dupointCpar. (On laissera apparents les traits de construction.) 4.Dans cette question, on se propose de dterminer, par deux mthodes diffrentes, lensemble (Γ) des pointsMdistincts deAet deOdont limageM parappartient  laxe des abscisses. Les questions a) et b) peuvent tre traites de faon indpendante. a) On posez=x+ iy avecxetyrels tels que (x;y)≠(–1 ; 0) et (x;y)≠(0 ; 0).  Dmontrerque la partie imaginaire dez est gale  : 2 2 x+y+x  Im(z.) = 2 2 (x+ 1)+y  Endduire la nature et les lments caractristiques de lensemble (Γ) et le tracer dans  lerepre. b)  laide de la question 2, retrouver gomtriquement la nature de lensemble (Γ).

2

Exercice 3(6 points) Commun  tous les candidats x2 On considre les deux courbes et dquations respectivesyet= ey= –x– 1 dans un 1 2 repre orthogonal du plan. Le but de cet exercice est de prouver quil existe une unique tangente () commune  ces deux courbes. 1)Sur le graphique reprsent dans lannexe 1, tracer approximativement une telle tangente  laide dune rgle. Lire graphiquement labscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe et 1 labscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe . 2 2)On dsigne paraetbdeux rels quelconques, parAle point dabscisseade la courbe  1 et parBle point dabscissebde la courbe . 2 a) Dterminer une quation de la tangente ( A )  la courbe 1 ) au pointA.  b) Dterminer une quation de la tangente ( B )  la courbe 2 ) au pointB. c) En dduire que les droites ( A ) et ( B ) sont confondues si et seulement si les relsa a  e =–2b   etbsont solutions du systme (S) : aa2  e –ae =b– 1 a e =–2b   d) Montrer que le systme (S) est quivalent au systme (S) : 2aaa .  e +4ae –4e –4 = 0 3)Le but de cette question est de prouver quil existe un unique rel solution de lquation 2xxx  (E): e+ 4x4 = 0.4e –e – 2xxx Pour cela, on considre la fonctiondfinie surpar :(x) = e+ 4x4.4e –e – 2xx a) Montrer que pour toutxappartenant  ]–∞– 4 < 0 et 4e; 0[,e(x– 1) < 0. b) En dduire que lquation (E) na pas de solution dans lintervalle ]–∞; 0[. c) Dmontrer que la fonctionest strictement croissante sur lintervalle [0 ;+∞[. d) Dmontrer que lquation (E) admet une solution unique dans lintervalle [0 ;+∞[. −2  Onnoteacette solution. Donner un encadrement damplitude 10dea. −1 4)On prend pourAle point dabscissea. Dterminer un encadrement damplitude 10du relbpour lequel les droites ( A ) et ( B ) sont confondues.

3

Exercice 4(5 points) Commun  tous les candidats 5 Soitla fonction dfinie sur lintervalle [0 ;+∞[ par :(x) = 6 –. x+ 1 Le but de cet exercice est dtudier des suites (u n ) dfinies par un premier terme positif ou nul  u 0 et vrifiant pour tout entier natureln:u n+1 = (u n ). 1)tude de proprits de la fonction. a) tudier le sens de variation de la fonctionsur lintervalle [0 ;+∞[. b) Rsoudre dans lintervalle [0 ;+∞[ lquation(x) =x.  Onnoteαla solution. c) Montrer que sixappartient  lintervalle [0 ;α[, alors(x) appartient  lintervalle  [0;α[.  Demme, montrer que sixappartient  lintervalle [α;+∞[ alors(x) appartient   lintervalle[α;+∞[. 2)tude de la suite (u n ) pouru 0 = 0. Dans cette question, on considre la suite (u n ) dfinie paru 0 = 0 et pour tout entier 5  natureln:u n+1 = (u n .) = 6 – u n + 1 a) Sur le graphique reprsent dans lannexe 2, sont reprsentes les courbes dquations y=xety=(x).  Placerle pointA 0 de coordonnes (u 0 ; 0), et, en utilisant ces courbes, construire   partirdeA 0 les pointsA 1 ,A 2 ,A 3 etA 4 dordonne nulle et dabscisses respectivesu 1 , u 2 ,u 3 etu 4 .  Quellesconjectures peut-on mettre quant au sens de variation et  la convergence de  lasuite (u n ) ?  b) Dmontrer, par rcurrence, que, pour tout entier natureln, 0u n  u n+1 α. c) En dduire que la suite (u n ) est convergente et dterminer sa limite. 3)tude des suites (u n ) selon les valeurs du rel positif ou nulu 0 . Dans cette question, toute trace dargumentation, mme incomplte, ou dinitiative, mme non fructueuse, sera prise en compte dans lvaluation. Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite (u n ) suivant les valeurs du rel positif ou nulu 0 ?

4

FEUILLE ANNEXE ( rendre avec la copie)

Annexe 1 (Exercice 3, question 1)

Annexe 2 (Exercice 4, question 2.a))

5