Sujet du bac S 2010: Mathématique Obligatoire

icon

5

pages

icon

Français

icon

Documents

2010

Écrit par

Publié par

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres

icon

5

pages

icon

Français

icon

Ebook

2010

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres

Vrai/Faux géométrie dans l'espace, nombres complexes, système d'équations et représentation, étude de fonction.
Sujet du bac 2010, Terminale S, Afrique
Voir icon arrow

Publié par

Publié le

01 janvier 2010

Nombre de lectures

82

Langue

Français

Bac S – Centres trangers – juin 2010 Exercice 1(4 points) Commun  tous les candidats Pour chaque question une affirmation est propose. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la rponse. Toute rponse non justifie ne sera pas prise en compte. Question 1 Dans lespace muni dun repre orthonormalO   , on considre les droites (1) et (2) de reprsentations paramtriques :   x= –1 + 2tx= 1 – 2t    y= –3t y= 5 –t(1) (tet ( )2) (t )   z= 1 +tz= –2 +tAffirmation: Les droites (1) et (2) sont orthogonales. Question 2 Dans lespace muni dun repre orthonormalO   , on considre le point A de coordonnes (2 ; –1 ; 3) et la droite () de reprsentation paramtrique : x= 1 + 4t()y= –2 + 2t (t) z= 3 – 2tAffirmation: Le plan () contenant le point A et orthogonal  la droite () a pour quation : 2x+yz= 0. Question 3 La dure de vie, exprime en heures, dun jeu lectronique, est une variable alatoireXqui suit la loi exponentielle de paramtreλ= 0,0003. t λx On rappelle que, pour toutt0,p(Xt) =λe dx. 0 Affirmation: La probabilit pour que la dure de vie de ce jeu soit strictement suprieure  2000 heures est infrieure  0,5. Question 4AetBsont deux vnements lis  une mme preuve alatoire qui vrifient : p(A) = 0,4,pA(B) = 0,7etpA(B) = 0,1. Affirmation: 14 La probabilit de lvnementAsachant que lvnementBest ralis est gale . 41
1
Exercice 2(5 points) Rserv aux candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit.   Dans le plan complexe () muni dun repre orthonormal directOuvdunit graphique 4 cm, on considre le pointAdaffixea= –1 et lapplication, du plan () dans lui-mme, qui iz au pointMdaffixez, distinct deA, associe le pointM =(M) daffixe :z. = z+ 1 1.Dterminer laffixe des pointsMtels queM =M. 2.Dmontrer que pour tout pointMdistinct deAet deO, on a : OM π OM =et (u,OM ) = (MA,MO 2) +πprs. AM2 1 3.a) SoitBle point daffixeb+ i.= – 2  Placerdans le repre le pointBet la mdiatrice (Δ) du segment [OA]. b) Calculer sous forme algbrique laffixeb du pointB image du pointBpar.  tablirqueB appartient au cercle () de centreOet de rayon 1.  Placerle pointB et tracer le cercle () dans le repre. c) En utilisant la question 2, dmontrer que, si un pointMappartient  la mdiatrice (Δ),  sonimageM parappartient au cercle (). d) SoitCle point tel que le triangleAOCsoit quilatral direct.  Ensaidant des rsultats de la question 2, construire,  la rgle et au compas, limage  dupointCpar. (On laissera apparents les traits de construction.) 4.Dans cette question, on se propose de dterminer, par deux mthodes diffrentes, lensemble (Γ) des pointsMdistincts deAet deOdont limageM parappartient  laxe des abscisses. Les questions a) et b) peuvent tre traites de faon indpendante. a) On posez=x+ iy avecxetyrels tels que (x;y)(–1 ; 0) et (x;y)(0 ; 0).  Dmontrerque la partie imaginaire dez est gale  : 2 2 x+y+x  Im(z.) = 2 2 (x+ 1)+y  Endduire la nature et les lments caractristiques de lensemble (Γ) et le tracer dans  lerepre. b)  laide de la question 2, retrouver gomtriquement la nature de lensemble (Γ).
2
Exercice 3(6 points) Commun  tous les candidats x2 On considre les deux courbes et dquations respectivesyet= ey= –x– 1 dans un 1 2 repre orthogonal du plan. Le but de cet exercice est de prouver quil existe une unique tangente () commune  ces deux courbes. 1)Sur le graphique reprsent dans lannexe 1, tracer approximativement une telle tangente  laide dune rgle. Lire graphiquement labscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe et 1 labscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe . 2 2)On dsigne paraetbdeux rels quelconques, parAle point dabscisseade la courbe 1 et parBle point dabscissebde la courbe . 2 a) Dterminer une quation de la tangente (A)  la courbe1) au pointA. b) Dterminer une quation de la tangente (B)  la courbe2) au pointB. c) En dduire que les droites (A) et (B) sont confondues si et seulement si les relsa a e =–2b etbsont solutions du systme (S) :aa2e –ae =b– 1 a e =–2bd) Montrer que le systme (S) est quivalent au systme (S) :2aaa. e +4ae –4e –4 = 0 3)Le but de cette question est de prouver quil existe un unique rel solution de lquation 2xxx  (E): e+ 4x4 = 0.4e –e – 2xxx Pour cela, on considre la fonctiondfinie surpar :(x) = e+ 4x4.4e –e – 2xx a) Montrer que pour toutxappartenant  ]–– 4 < 0 et 4e; 0[,e(x– 1) < 0. b) En dduire que lquation (E) na pas de solution dans lintervalle ]–; 0[. c) Dmontrer que la fonctionest strictement croissante sur lintervalle [0 ;+∞[. d) Dmontrer que lquation (E) admet une solution unique dans lintervalle [0 ;+∞[. −2  Onnoteacette solution. Donner un encadrement damplitude 10dea. −1 4)On prend pourAle point dabscissea. Dterminer un encadrement damplitude 10du relbpour lequel les droites (A) et (B) sont confondues.
3
Exercice 4(5 points) Commun  tous les candidats 5 Soitla fonction dfinie sur lintervalle [0 ;+∞[ par :(x) = 6 –. x+ 1 Le but de cet exercice est dtudier des suites (un) dfinies par un premier terme positif ou nul u0et vrifiant pour tout entier natureln:un+1= (un). 1)tude de proprits de la fonction. a) tudier le sens de variation de la fonctionsur lintervalle [0 ;+∞[. b) Rsoudre dans lintervalle [0 ;+∞[ lquation(x) =x.  Onnoteαla solution. c) Montrer que sixappartient  lintervalle [0 ;α[, alors(x) appartient  lintervalle  [0;α[.  Demme, montrer que sixappartient  lintervalle [α;+∞[ alors(x) appartient   lintervalle[α;+∞[. 2)tude de la suite (un) pouru0= 0. Dans cette question, on considre la suite (un) dfinie paru0= 0 et pour tout entier 5 natureln:un+1= (un.) = 6 – un+ 1 a) Sur le graphique reprsent dans lannexe 2, sont reprsentes les courbes dquations y=xety=(x).  Placerle pointA0de coordonnes (u0; 0), et, en utilisant ces courbes, construire   partirdeA0les pointsA1,A2,A3etA4dordonne nulle et dabscisses respectivesu1, u2,u3etu4.  Quellesconjectures peut-on mettre quant au sens de variation et  la convergence de  lasuite (un) ? b) Dmontrer, par rcurrence, que, pour tout entier natureln, 0unun+1α. c) En dduire que la suite (un) est convergente et dterminer sa limite. 3)tude des suites (un) selon les valeurs du rel positif ou nulu0. Dans cette question, toute trace dargumentation, mme incomplte, ou dinitiative, mme non fructueuse, sera prise en compte dans lvaluation. Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite (un) suivant les valeurs du rel positif ou nulu0?
4
FEUILLE ANNEXE ( rendre avec la copie)
Annexe 1 (Exercice 3, question 1)
Annexe 2 (Exercice 4, question 2.a))
5
Voir icon more
Alternate Text