Sujet du bac S 2010: Mathématique Obligatoire
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Description

Vrai/Faux géométrie dans l'espace, nombres complexes, système d'équations et représentation, étude de fonction.
Sujet du bac 2010, Terminale S, Afrique

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Publié le 01 janvier 2010
Nombre de lectures 52
Langue Français

Exrait

Bac S – Centres trangers – juin 2010 Exercice 1(4 points) Commun  tous les candidats Pour chaque question une affirmation est propose. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la rponse. Toute rponse non justifie ne sera pas prise en compte. Question 1 Dans lespace muni dun repre orthonormalO   , on considre les droites (1) et (2) de reprsentations paramtriques :   x= –1 + 2tx= 1 – 2t    y= –3t y= 5 –t(1) (tet ( )2) (t )   z= 1 +tz= –2 +tAffirmation: Les droites (1) et (2) sont orthogonales. Question 2 Dans lespace muni dun repre orthonormalO   , on considre le point A de coordonnes (2 ; –1 ; 3) et la droite () de reprsentation paramtrique : x= 1 + 4t()y= –2 + 2t (t) z= 3 – 2tAffirmation: Le plan () contenant le point A et orthogonal  la droite () a pour quation : 2x+yz= 0. Question 3 La dure de vie, exprime en heures, dun jeu lectronique, est une variable alatoireXqui suit la loi exponentielle de paramtreλ= 0,0003. t λx On rappelle que, pour toutt0,p(Xt) =λe dx. 0 Affirmation: La probabilit pour que la dure de vie de ce jeu soit strictement suprieure  2000 heures est infrieure  0,5. Question 4AetBsont deux vnements lis  une mme preuve alatoire qui vrifient : p(A) = 0,4,pA(B) = 0,7etpA(B) = 0,1. Affirmation: 14 La probabilit de lvnementAsachant que lvnementBest ralis est gale . 41
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Exercice 2(5 points) Rserv aux candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit.   Dans le plan complexe () muni dun repre orthonormal directOuvdunit graphique 4 cm, on considre le pointAdaffixea= –1 et lapplication, du plan () dans lui-mme, qui iz au pointMdaffixez, distinct deA, associe le pointM =(M) daffixe :z. = z+ 1 1.Dterminer laffixe des pointsMtels queM =M. 2.Dmontrer que pour tout pointMdistinct deAet deO, on a : OM π OM =et (u,OM ) = (MA,MO 2) +πprs. AM2 1 3.a) SoitBle point daffixeb+ i.= – 2  Placerdans le repre le pointBet la mdiatrice (Δ) du segment [OA]. b) Calculer sous forme algbrique laffixeb du pointB image du pointBpar.  tablirqueB appartient au cercle () de centreOet de rayon 1.  Placerle pointB et tracer le cercle () dans le repre. c) En utilisant la question 2, dmontrer que, si un pointMappartient  la mdiatrice (Δ),  sonimageM parappartient au cercle (). d) SoitCle point tel que le triangleAOCsoit quilatral direct.  Ensaidant des rsultats de la question 2, construire,  la rgle et au compas, limage  dupointCpar. (On laissera apparents les traits de construction.) 4.Dans cette question, on se propose de dterminer, par deux mthodes diffrentes, lensemble (Γ) des pointsMdistincts deAet deOdont limageM parappartient  laxe des abscisses. Les questions a) et b) peuvent tre traites de faon indpendante. a) On posez=x+ iy avecxetyrels tels que (x;y)(–1 ; 0) et (x;y)(0 ; 0).  Dmontrerque la partie imaginaire dez est gale  : 2 2 x+y+x  Im(z.) = 2 2 (x+ 1)+y  Endduire la nature et les lments caractristiques de lensemble (Γ) et le tracer dans  lerepre. b)  laide de la question 2, retrouver gomtriquement la nature de lensemble (Γ).
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Exercice 3(6 points) Commun  tous les candidats x2 On considre les deux courbes et dquations respectivesyet= ey= –x– 1 dans un 1 2 repre orthogonal du plan. Le but de cet exercice est de prouver quil existe une unique tangente () commune  ces deux courbes. 1)Sur le graphique reprsent dans lannexe 1, tracer approximativement une telle tangente  laide dune rgle. Lire graphiquement labscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe et 1 labscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe . 2 2)On dsigne paraetbdeux rels quelconques, parAle point dabscisseade la courbe 1 et parBle point dabscissebde la courbe . 2 a) Dterminer une quation de la tangente (A)  la courbe1) au pointA. b) Dterminer une quation de la tangente (B)  la courbe2) au pointB. c) En dduire que les droites (A) et (B) sont confondues si et seulement si les relsa a e =–2b etbsont solutions du systme (S) :aa2e –ae =b– 1 a e =–2bd) Montrer que le systme (S) est quivalent au systme (S) :2aaa. e +4ae –4e –4 = 0 3)Le but de cette question est de prouver quil existe un unique rel solution de lquation 2xxx  (E): e+ 4x4 = 0.4e –e – 2xxx Pour cela, on considre la fonctiondfinie surpar :(x) = e+ 4x4.4e –e – 2xx a) Montrer que pour toutxappartenant  ]–– 4 < 0 et 4e; 0[,e(x– 1) < 0. b) En dduire que lquation (E) na pas de solution dans lintervalle ]–; 0[. c) Dmontrer que la fonctionest strictement croissante sur lintervalle [0 ;+∞[. d) Dmontrer que lquation (E) admet une solution unique dans lintervalle [0 ;+∞[. −2  Onnoteacette solution. Donner un encadrement damplitude 10dea. −1 4)On prend pourAle point dabscissea. Dterminer un encadrement damplitude 10du relbpour lequel les droites (A) et (B) sont confondues.
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Exercice 4(5 points) Commun  tous les candidats 5 Soitla fonction dfinie sur lintervalle [0 ;+∞[ par :(x) = 6 –. x+ 1 Le but de cet exercice est dtudier des suites (un) dfinies par un premier terme positif ou nul u0et vrifiant pour tout entier natureln:un+1= (un). 1)tude de proprits de la fonction. a) tudier le sens de variation de la fonctionsur lintervalle [0 ;+∞[. b) Rsoudre dans lintervalle [0 ;+∞[ lquation(x) =x.  Onnoteαla solution. c) Montrer que sixappartient  lintervalle [0 ;α[, alors(x) appartient  lintervalle  [0;α[.  Demme, montrer que sixappartient  lintervalle [α;+∞[ alors(x) appartient   lintervalle[α;+∞[. 2)tude de la suite (un) pouru0= 0. Dans cette question, on considre la suite (un) dfinie paru0= 0 et pour tout entier 5 natureln:un+1= (un.) = 6 – un+ 1 a) Sur le graphique reprsent dans lannexe 2, sont reprsentes les courbes dquations y=xety=(x).  Placerle pointA0de coordonnes (u0; 0), et, en utilisant ces courbes, construire   partirdeA0les pointsA1,A2,A3etA4dordonne nulle et dabscisses respectivesu1, u2,u3etu4.  Quellesconjectures peut-on mettre quant au sens de variation et  la convergence de  lasuite (un) ? b) Dmontrer, par rcurrence, que, pour tout entier natureln, 0unun+1α. c) En dduire que la suite (un) est convergente et dterminer sa limite. 3)tude des suites (un) selon les valeurs du rel positif ou nulu0. Dans cette question, toute trace dargumentation, mme incomplte, ou dinitiative, mme non fructueuse, sera prise en compte dans lvaluation. Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite (un) suivant les valeurs du rel positif ou nulu0?
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FEUILLE ANNEXE ( rendre avec la copie)
Annexe 1 (Exercice 3, question 1)
Annexe 2 (Exercice 4, question 2.a))
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