Sujet du bac serie S 2012: Mathématiques épreuve de spécialité-antilles-guyane

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Description

Baccalauréat général 2012, Terminale Scientifique (S)

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 31
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  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

 

  B A C C A L A U R É A T G É N É R A L             SESSION 2012           MATHÉMATIQUES     Série :S           DURÉE DE LÉPREUVE :4 heures. COEFFICIENT :9           Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6, dont une feuille annexe numérotée page 6 à rendre avec la copie.     Une feuille de papier millimétré est mise à la disposition des candidats.     Lutilisation dune calculatrice est autorisée.      

Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, quil aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements   entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.          

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Exercice 1(6 points)    Commun à tous les candidats   Les parties B et C sont indépendantes.     On noteRlensemble des nombres réels et on considère la fonction݂définie surRpar ݂ ( ݔ ) = ݔe ௫ିଵ + 1. On notec   sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( ଓԦ ,ܱ;  . ଔሬ )     Partie A : étude de la fonction   1.   Déterminer la limite de݂en−∞. Que peut-on en déduire pour la courbec?   2.   Déterminer la limite de݂en+ ∞.     3.   On admet que݂est dérivable surR, et on note݂′sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réelx,݂ ᇱ ( =+ݔ () ݔ ) 1e ௫ିଵ .     4.   Étudier les variations de݂surRet dresser son tableau de variation surR.   Partie B : recherche dune tangente particulière   Soitapositif. Le but de cette partie est de rechercher sil existe uneun réel strictement tangente à la courbecau point dabscissea, qui passe par lorigine du repère.   1.   On appelle T a la tangente àcau point dabscissea.Donner une équation de T a .     2.   Démontrer quune tangente àc   en un point dabscisseastrictement positive passe par lorigine du repère si et seulement siavérifie légalité 1 − ܽ ଶ e ௔ିଵ =0.   3.   Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans lévaluation.   Démontrer que 1 est lunique solution sur lintervalle ]0 ;+ ∞[ de léquation 1 − ݔ ଶ e ௫ 0. ିଵ =   4.   une équation de la tangente recherchée.Donner alors   Partie C : calcul daire   Le graphique donné enAnnexe1 la courbe représentec de la fonction݂ dans un repère orthonormé.Ԧ  ଓԦ ) ,ଔ ( ; ܱ      1.   Construire sur ce graphique la droite∆   déquationy= 2x.On admet que la courbec   est au-dessus de la droite∆. Hachurer le domaine d   limité par la courbec,la droite∆¸   la droite déquation (x=1) et laxe des ordonnées.   2.   On pose I= ׬ ଵ ଴ ݔe ௫ିଵ dݔ. Montrer à laide dune intégration par parties que I = ଵ ୣ .   3.   déduire la valeur exacte (en unités daire) de laire du domaineEn d .  

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Exercice 2(4 points)    Commun à tous les candidats   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ) Ԧݒ, ሬݑ   ; ( ܱ. On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2 cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions.   On considère les pointsA,BetCdu plan complexe daffixes respectives ܽ =−1 + 2i ; ܾ =−2 − i ; ܿ =−3 + i.     1.   Placer les pointsA,BetCsur le graphique.   2.   Calculer ௕ ௔ , en déduire la nature du triangleOAB.   3.   On considère lapplicationfqui à tout pointMdaffixe ≠ ܾݖ avec ݖ, associe le point ܯ′daffixeݖ′   définie par ݖ + 1 − 2i ݖ ᇱ . 2 =   ݖ + + i   a.   Calculer laffixeܿ′   du pointܥ′, image deCparfet placer le pointܥ′sur la figure.   b.   Déterminer lensembleedes pointsMdaffixeݖ avec ݖ ≠ ܾ,   tels que | ݖ | ′1=.   c.   Justifier queecontient les pointsOetC. Tracere.   4.   Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans lévaluation.   On appelleJlimage du pointApar la rotationrde centreOet dangle− ଶ గ . On appelleKlimage du pointCpar la rotationrde centreOet dangle ଶ గ . On noteLle milieu de [JK].   Démontrer que la médiane issue deO du triangleOJK la hauteur issue de estO du triangleOAC.  

 

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Exercice 3(5 points)    Commun à tous les candidats

    Soit (u n la suite définie pour tout entier naturel) nnon nul par ൞ ݑ ଵ 1 = 2 ݊+1   ݑ ௡ାଵ ݑ 2 = ௡ ݊

  1.   Calculeru 2 ,u 3 etu 4 .   2.    a.   Démontrer que, pour tout entier naturelnnon nul,u n est strictement positif. b.   Démontrer que la suite (ݑ ௡ ) est décroissante. c.   Que peut-on en déduire pour la suite (ݑ ௡ ) ?   3.   Pour tout entier naturelnnon nul, on pose ݑ ௡ ݒ = ௡ .   ݊   a.   Démontrer que la suite(ݒ ௡ )est géométrique. On précisera sa raison et son premier termev 1 . b.   En déduire que, pour tout entier naturelnnon nul, ݊ ݑ ௡ = 2 ௡ .     4.   Soit la fonction݂définie sur lintervalle[1 ; +∞[parn2lݔ−ݔnl = ) ݔ ( ݂.   a.   Déterminer la limite de   ݂en+∞. b.   En déduire la limite de la suite (ݑ ௡ ).    

   

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Exercice 4(5 points)   Pour les candidats ayant suivi lenseignement de spécialité   Les 4 questions sont indépendantes. 1.    a.   Vérifier que le couple (4 ; 6) est une solution de léquation (E) 11x 5y= 14. b.   Déterminer tous les couples dentiers relatifs (x;y) vérifiant léquation (E).   2.    a.   Démontrer que, pour tout entier natureln, 2 ଷ௡ ≡ 1 (modulo 7). b.   Déterminer le reste de la division euclidienne de2011 ଶ଴ଵଶ par 7.   3.   On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformationfqui à tout pointܯdaffixeݖ   associe le pointܯ′daffixeݖ′tel que :  ݖ′= 2 3 ( 1−i ) ݖ+4−2i.     4.   On considère lalgorithme suivant où ܧ݊ݐ ቀ ୒ ୅ ቁ désigne la partie entière de ୒ ୅ : A et N sont des entiers naturels Saisir A N prend la valeur 1 Tant queN ≤ √A   Si   ୒ ୅ − ቀ ݐ݊ܧ ୅ 0 ቁ =   alors Afficher N et ୅   ୒ ୒ Fin si N prend la valeur N+1 Fin Tant que.       Quels résultats affiche cet algorithme pourA2=1? Que donne cet algorithme dans le cas général ?  

 

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ANNEXE 1 Exercice 1 À rendre avec la copie   Courbec, représentative def.

c 

 

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