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Sujets de baccalauréat, Dérivation Année 2009

66 pages
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[BaccalauréatS2009\
L’intégraledeseptembre2008à
juin2009
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles–Guyaneseptembre2008 ........................3
FranceetRéunionseptembre2008 ......................7
Polynésieobligatoireseptembre2008 ...................8
Nouvelle-Calédonienovembre2008 ................... 15
AmériqueduSudnovembre2008 ......................20
Nouvelle-Calédoniemars2009 .........................24
Pondichéryavril2009 ...................................27
AmériqueduNordmai2009 ............................30
Libanmai2009 .........................................35
Centresétrangersjuin2009 .............................40
Asiejuin2009 ...........................................44
Polynésiejuin2009 .....................................48
Métropole23juin2009 .................................53
LaRéunionjuin2009 ...................................58
Antilles-Guyanejuin2009 ..............................63BaccalauréatS:l’intégrale2009 A.P.M.E.P.
2[BaccalauréatSAntilles-Guyane\
septembre2008
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les
deuxpartiespeuventêtretraitéesindépendammentl’unedel’autre.
PARTIEA:
Ondéfinit:
1 4
– lasuite(u )par:u =13et,pourtoutentiernatureln, u = u + .n 0 n+1 n
5 5
nX
– lasuite(S )par:pourtoutentiernatureln, S = u =u +u +u +···+u .n n k 0 1 2 n
k=0
12
1. Montrerparrécurrenceque,pourtoutentiernatureln,u =1+ .n n5
Endéduirelalimitedelasuite(u ).n
2. a. Déterminerlesensdevariationdelasuite(S ).n
b. CalculerS enfonctionden.n
c. Déterminerlalimitedelasuite(S ).n
PARTIEB:
Étantdonnéunesuite(x ),denombresréels,définiepourtoutentiernatureln,onn
nX
considèrelasuite(S )définieparS = x .n n k
k=0
Indiquerpourchaquepropositionsuivantesielleestvraieoufausse.
Justifierdanschaquecas.
Proposition1:silasuite(x )estconvergente,alorslasuite(S )l’estaussi.n n
Proposition2:lessuites(x )et(S )ontlemêmesensdevariation.n n
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
? ?→− →−
Leplanestrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u , v .
1. Résoudre dans l’ensembleC des nombres complexes, l’équation díinconnue
z :
p
2z −2 3z+4=0.
p p
2. OnconsidèrelespointsAd’affixez = 3−i,Bd’affixez = 3+ietClemilieuA B
de[OB]d’affixez .C
a. Déterminerlaformeexponentielledez , z etz .A B C
b. Surunefigure,placerlespointsA,BetC,enprenant2cmpourunité.
c. MontrerqueletriangleOABestéquilatéral.
π
3. SoitDl’imagedeCparlarotationr decentreO,d’angle− etEl’imagedeD
2→−
parlatranslation t devecteur2v .BaccalauréatS A.P.M.E.P.
a. PlacerlespointsDetEsurunefigure.
? ? p ??1
b. Montrerquel’affixez dupointEvérifie:z = 1+i 4− 3 .E E
2
p p
c. MontrerqueOE=BE= 5−2 3.
4. MontrerquelespointsA,CetEsontalignés.
Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud’initiative,
mêmenonfructueuse,serapriseencomptedansl’évaluation.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
PARTIEA:
Onconsidèrelesystèmedecongruences:
?
n ≡ 2 (modulo3)
(S) , oùn désigneunentierrelatif.
n ≡ 1 (modulo5)
1. Montrerque11estsolutionde(S).
2. Montrerquesin estsolutionde(S)alorsn−11estdivisiblepar3.
3. Montrerquelessolutions de(S)sonttouslesentiersdelaforme11+15k, où
k désigneunentierrelatif.
PARTIEB:
? ?→− →−
Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u , v .
On considère l’application f du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point
′ ′′d’affixez et g cellequiàtoutpoint M d’affixez associelepointd’affixe z définies
par:
p
π1+i 3′ ′′ i
5z = z et z =e z.
2
1. Préciserlanatureetlesélémentscaractéristiquesdesapplications f etg.
π π−2i −i3 52. Onconsidèrelespoints A etB d’affixesrespectivesa =2e etb =4e .0 0 0 0
Soient (A ) et (B ) les suites de points définies par les relations de récur-n n
rences:
A = f (A ) et B =g(B ).n+1 n n+1 n
Onnote a etb lesaffixesrespectivesde A etB .n n n n
a. QuelleestlanaturedechacundestrianglesOA A ?n n+1
b. Endéduirelanaturedupolygone A A A A A A .0 1 2 3 4 5
3. a. Montrerque les points B sont situés sur un cercledontonprécisera len
centreetlerayon.
? ?−−−→ −−−−−→
b. Indiquerunemesuredel’angle OB , OB .n n+2
c. EndéduirelanaturedupolygoneB B B B B .0 2 4 6 8
4. a. Exprimer a etb enfonctionden.n n
b. Montrerquelesentiersn pourlesquelslespoints A etB sontsimulta-n n
némentsurl’axedesréelssontlessolutionsdusystème(S)delaPARTIE
A.
Antilles-Guyane 4 septembre2008BaccalauréatS A.P.M.E.P.
EXERCICE 3 7points
Communàtouslescandidats
Soit f lafonctiondéfiniesurRpar:
x4e
f(x)=x+2− .
xe +3
OndésigneparC sacourbereprésentativedansleplanrapportéàunrepèreortho-? ?→− →−
normal O, ı ,  d’unitégraphique2cm.
1. a. Déterminerlalimitede f en−∞.
b. DémontrerqueladroiteD d’équationy=x+2estasymptoteàlacourbe1
C.
c. ÉtudierlapositiondeC parrapportàD .1
′ ′2. a. Onnote f lafonctiondérivéede f.Calculer f (x)etmontrer que,pour
toutréelx,ona:
? ?x 2e −3′f (x)=
xe +3
b. Étudier les variationsde f surR etdresser letableau devariationsdela
fonction f.
3. a. Que peut-on dire de la tangenteD à la courbeC au point I d’abscisse2
ln3?
b. Enutilisantlesvariationsdelafonction f ,étudierlapositiondelacourbe
C parrapportàD .2
4. a. Montrer que la tangenteD à la courbeC au point d’abscisse 0 a pour3
1
équation: y= x+1.
4
b. Étudier la position delacourbeC par rapportàla tangenteD sur l’in-3
tervalle]−∞; ln3].
′′On pourra utiliser la dérivée seconde de f notée f définie pour tout x
deRpar:
x x12e (e −3)′′f (x)= .
x 3(e +3)
5. OnadmetquelepointIestcentredesymétriedelacourbeC.
Tracer lacourbeC,lestangentesD ,D etles asymptotes àlacourbeC.On3 3
rappellequel’unitégraphiquechoisieest2cm.
xe
6. a. Détermineruneprimitivedelafonctiong définiesurRpar:g(x)= .
xe +3
b. Soitλunréelstrictementnégatif.
OnnoteA(λ)l’aire,enunitésd’aire,dudomainelimitéparD ,C etles1
droitesd’équations x=λetx=0.
? ?
λMontrerqueA(λ)=4ln4−4ln e +3 .
c. Calculer lim A(λ).
λ→−∞
EXERCICE 4 4points
Communàtouslescandidats
OndisposededeuxurnesU etU .1 2
L’urneU contient2billesverteset8billesrougestoutesindiscernablesautoucher.1
Antilles-Guyane 5 septembre2008BaccalauréatS A.P.M.E.P.
L’urneU contient3billesverteset7billesrougestoutesindiscernablesautoucher.2
Unepartieconsiste,pourunjoueur,àtirerauhasardunebilledel’urneU ,notersa1
couleuretremettrelabilledansl’urneU puisdetirerauhasardunebilledel’urne1
U ,notersacouleuretremettrelabilledansl’urneU .2 2
Àlafindelapartie,silejoueuratirédeuxbillesvertesilgagneunlecteurMP3.S’ila
tiréunebilleverte,ilgagneunoursenpeluche.Sinonilnegagnerien.
Onnote
V l’évènement :«lejoueurtireuneboulevertedansU »1 1
V l’évènement :«lejoueurtireuneboulevertedansU ».2 2
LesévènementsV etV sontindépendants.1 2
1. Montrer, àl’aide d’un arbrepondéré, que la probabilitéde gagner un lecteur
MP3estp=0,06.
2. Quelleestlaprobabilitédegagnerunoursenpeluche?
3. Vingt personnes jouent chacune une partie. Déterminer la probabilité que
deuxd’entreellesexactementgagnentunlecteurMP3.
−4Onjustifieralaréponseetondonneraunevaleurapprochéedurésultatà10
près.
4. Onappellen lenombredepersonnesparticipantàlaloterieunjourdonnéet
jouantuneseulefois.
Onnote p laprobabilitéquel’une aumoinsdecespersonnesgagneunlec-n
teurMP3.
Déterminerlapluspetitevaleurden vérifiantp >0,99.n
Antilles-Guyane 6 septembre2008Durée:4heures
[BaccalauréatSMétropole&LaRéunion\
septembre2008
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
Dansunekermesseunorganisateurdejeuxdisposede2rouesde20caseschacune.
LaroueAcomporte18casesnoireset2casesrouges.
LaroueBcomporte16casesnoireset4casesrouges.
Lorsdulancerd’unerouetouteslescasesontlamêmeprobabilitéd’êtreobtenues.
Larègledujeuestlasuivante:
• Lejoueurmise1(etlancelaroueA.
• S’il obtient une case rouge,alors il lance laroue B,note lacouleur dela case
obtenueetlaparties’arrête.
• S’ilobtientunecasenoire,alorsilrelancelaroueA,notelacouleurdelacase
obtenueetlaparties’arrête.
1. Traduirel’énoncéàl’aided’unarbrepondéré.
2. SoientEetFlesévènements:
E:«àl’issuedelapartie,les2casesobtenuessontrouges»;
F:«àl’issuedelapartie,uneseuledesdeuxcasesestrouge».
Montrerquep(E)=0,02etp(F)=0,17.
3. Siles2casesobtenuessontrougeslejoueurreçoit10(;siuneseuledescases
estrougelejoueurreçoit2(;sinonilnereçoitrien.
X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur
(rappellejoueurmise1().
a. DéterminerlaloideprobabilitédeX.
b. Calculer l’espérance mathématique de X et en donner une interpréta-
tion.
4. Lejoueurdécidedejouern partiesconsécutivesetindépendantes(n désigne
unentiernaturelsupérieurouégalà2)
a. Démontrerque laprobabilité p qu’il lanceaumoins unefois laroueBn
nesttellequep =1−(0,9) .n
b. Justifier que la suite de terme général p est convergente et préciser san
limite.
c. Quelleestlapluspetitevaleurdel’entiern pourlaquelle p >0,9?n
EXERCICE 2 3points
Communàtouslescandidats
Onseproposededéterminertouteslesfonctions f définiesetdérivablessurl’inter-
valle]0;+∞[vérifiantl’équationdifférentielle
′ 2(E) : xf (x)−(2x+1)f (x)=8x .
1. a. Démontrerquesi f estsolutionde(E)alorslafonctiong définiesurl’in-
f(x)
tervalle]0; +∞[par g(x)= estsolutiondel’équation différentielle
x
′ ′(E ) : y =2y+8.BaccalauréatS A.P.M.E.P.
′b. Démontrer que si h est solution de (E ) alors la fonction f définie par
f(x)=xh(x)estsolutionde(E).
′2. Résoudre(E )etendéduiretouteslessolutionsde(E),
3. Existe-t-il une fonction f solution de l’équation différentielle (E) dont la re-
présentationgraphiquedansunrepèredonnépasseparlepointA(ln2; 0)?Si
ouilapréciser.
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
Cetexerciceestunquestionnaireàchoixmultiple(QCM).
Pour chaque question,une seule despropositions estexacte.Le candidatporterasur
lacopie,sansjustification,lalettrecorrespondantàlaréponsechoisie.Ilseraattribué
unpointsilaréponseestexacte,zérosinon. ?? ? ?π−→ −→
Dansleplanorienté,ABCDestuncarrédirect AB, AD = .OnnoteIsoncentre
2
etJlemilieude[AI].
1. Cestlebarycentredespointspondérés(A,m),(B,1)et(D,1)lorsque:
a. m=−2 b. m=2 c. m=−1 d. m=3
π
2. a. Bestl’imagedeCparlarotationdecentreIetd’angle .
2
2
b. Lerapportdel’homothétie decentreCquitransformeIenJest .
3
c. LetriangleDABestinvariantparlasymétriedecentreI.
1−−→ 1−−→
d. Jestl’imagedeIparlatranslationdevecteur BA + DB.
2 4
−−→ −−→
3. L’ensembledespoints M duplantelsquekMA +MCk=ABest:
a. lamédiatricede[AC].
b. lecerclecirconscritaucarréABCD.
c. lamédiatricede[AI].
d. lecercleinscritdanslecarréABCD.
4. L’ensembledespoints M duplantelsque:
? ? ? ?−−→ −−→ −−→ −−→ −−→
2MA +MB +MD · MA −MC =0
est:
a. lamédiatricede[AC].
b. lecerclecirconscritaucarréABCD.
c. lamédiatricede[AI].
d. lecercleinscritdanslecarréABCD.
EXERCICE 4 4points
Communàtouslescandidats
Onconsidèrelasuitenumérique(J )définie,pourtoutentiernaturelnnonnul,parn
Zn p
−tJ = e 1+tdt.n
1
1. Démontrerquelasuite(J )estcroissante.n
Métropole&LaRéunion 8 septembre2008BaccalauréatS A.P.M.E.P.
2. Dans cettequestion,le candidatestinvité àportersursacopieles étapesdesa
démarchemêmesiellen’aboutitpas.
Ondéfinitlasuite I ,pourtoutentiernatureln nonnul,par:( )n
Zn
−tI = (t+1)e dt.n
1
p
a. Justifierque,pourtoutt>1,ona t+16t+1.
b. Endéduireque J 6I .n n
c. CalculerI enfonctionden.Endéduirequelasuite(J )estmajoréeparn n
unnombreréel(indépendantden).
d. Quepeut-onenconclurepourlasuite J ?( )n
EXERCICE 5 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
? ?→− →−
Leplancomplexeestrapportéaurepèreorthonormaldirect O, u , v .
Onréaliseraunefigureenprenant2cmcommeunitégraphiquesurchaqueaxe.
OnconsidèrelespointsA,BetId’affixesrespectivesz =1, z =5etz =3+i.A B I
On note (C) le cercle de centre O et de rayon 1, (Δ) la médiatrice de [AB] et (T) la
tangenteaucercle(C)enA.
′ ′Àtoutpoint M d’affixez,différentdeA,onassocielepointM d’affixez telleque:
z−5′z = .
z−1
′LepointM estappelél’imagedeM.
PartieA
′1. Déterminersousformealgébriquel’affixedupointI imagedeI.
′VérifierqueI appartientà(C).
MB′2. a. JustifierquepourtoutpointM distinctdeAetB,ona:OM = .
MA
b. JustifierquepourtoutpointM distinctdeAetB,ona:? ? ? ?−−−→−→ −−→ −−→′OA, OM = MA, MB .
PartieB
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte
dansl’évaluation.
Dans la suite de l’exercice, M désigne un point quelconque de (Δ). On cherche à
′construiregéométriquementsonimageM .
′1. DémontrerqueM appartientà(C).
2. On note (d) la droite symétrique de la droite (AM) par rapport à la tangente
(T).(d)recoupe(C)enN.
a. JustifierquelestrianglesAMBetAON sontisocèles.
? ? ? ?−→ −−→ −−→ −→
Aprèsavoirjustifiéque AO, AN = AM , AB démontrerque
? ? ? ?−→ −−→ −−→ −−→
OA, ON = MA, MB .
′b. EndéduireuneconstructiondeM .
Métropole&LaRéunion 9 septembre2008BaccalauréatS A.P.M.E.P.
EXERCICE 5 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
? ?→− →−
Leplancomplexeestrapportéaurepèreorthonormaldirect O, u , v .
Onréaliseraunefigureenprenant4cmcommeunitégraphiquesurchaqueaxe.
OnconsidèrelepointAd’affixez =1.A
PartieA
k estunréelstrictementpositif; f estlasimilitude directedecentreOderapportk
π
etd’angle .
3
OnnoteA =Aetpourtoutentiernatureln, A = f (A ).0 n+1 n
′1. a. ÉtantdonnéunpointM d’affixez,déterminerenfonctiondez l’affixez
′dupoint M imagedeM par f.
b. ConstruirelespointsA ,A ,A etA danslecasparticulieroùk estégal0 1 2 3
1
à .
2
2. a. Démontrerparrécurrencequepourtoutentiern,l’affixez dupoint An n
inπn
3estégaleàk e .
b. En déduire les valeurs de n pour lesquelles le point A appartient à lanh ?→−
demidroite O; u et,danscecas,déterminerenfonction dek etden
l’abscissede A .n
PartieB
Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte
dansl’évaluation.
Désormais,k désigneunentiernaturelnonnul.
1. Donnerladécompositionenfacteurspremiersde2008.
2. Déterminer,enexpliquantlaméthodechoisie,lapluspetitevaleurdel’entier
6naturelk pourlaquellek estunmultiplede2008.
3. Pourquellesvaleursdesentiersnetklepoint A appartient-ilàlademidroitenh ?→−
O; u avecpourabscisseunnombreentiermultiplede2008?
Métropole&LaRéunion 10 septembre2008