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Sujets de baccalauréat, Dérivation Année 2010

68 pages
Etudiez les annales et les cours 2011/2012 pour la classe de terminale S.
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[BaccalauréatS2010\
L’intégraledeseptembre2009à
juin2010
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles–Guyaneseptembre2009 ........................3
FranceetRéunionseptembre2009 ......................8
Polynésieobligatoireseptembre2009 ..................13
AmériqueduSudnovembre2009 ......................18
Nouvelle-Calédonienovembre2009 ................... 22
Pondichéryavril2010 ...................................27
AmériqueduNord3juin2010 ..........................31
Liban3juin2010 ....................................... 35
Antilles-Guyane18juin2010 ...........................38
Asie21juin2010 ........................................43
Centresétrangers14juin2010 ..........................48
LaRéunion22juin2010 ................................54
Métropole23juin2010 .................................58
Polynésie10juin2010 ..................................64BaccalauréatS:l’intégrale2010 A.P.M.E.P.
2[BaccalauréatSAntilles-Guyane\
septembre2009
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
VRAIOUFAUX
Pourchacunedespropositionssuivantes,diresielleestvraieoufausseetjustifierla
réponsedonnée.
PARTIEA
∗ nSoit(u )lasuitedéfiniepourtoutn∈N paru =(−1) .n n
1. Lasuite(u )estbornée.n
2. Lasuite(u )converge.n
un
3. Lasuitedetermegénéral converge.
n
4. Toutesuite(v )àtermesstrictementpositifsetdécroissanteconvergevers0.n
PARTIEB
1. Si A etB sontdeuxévènementsindépendantsavecP(B) =0etP(B) =1,alors
P(A∩B)=P (A).B
2. Si X estunevariablealéatoiresuivantlaloiuniformesur[0;1],alors
P(X ∈[0,1; 0,6])=0,6.
1
3. SiX estunevariablealéatoiresuivantlaloibinomialedeparamètres100et ,
3? ?1002
alorsP(X>1)=1− .
3
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialité
? ?→− →− →−
L’espaceestmunid’unrepèreorthonormal O, ı ,  , k .
OnconsidèrelespointsA(1; −1; 4),B(7; −1; −2)etC(1; 5; −2).
−→ −→ −→
1. a. CalculerlescoordonnéesdesvecteursAB, AC etBC.
b. MontrerqueletriangleABCestéquilatéral.
→−
c. Montrerquelevecteur n (1; 1; 1)estunvecteurnormalauplan(ABC).
d. En déduire que x+y+z−4= 0 est une équation cartésienne du plan
(ABC).
2. SoitD ladroitedereprésentationparamétrique

x = −2t
y = −2t−2 où t∈R.

z = −2t−3
a. MontrerqueladroiteD estperpendiculaireauplan(ABC).
b. Montrer que les coordonnées du point G, intersection de la droiteD et
duplan(ABC)sont(3; 1;0).BaccalauréatS:l’intégrale2010 A.P.M.E.P.
c. MontrerqueGestl’isobarycentredespointsA,BetC.
3. SoitS lasphèredecentreGpassantparA.
a. DonneruneéquationcartésiennedelasphèreS .
b. Déterminerlescoordonnéesdespointsd’intersectionEetF,deladroite
D etdelasphèreS .
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantchoisil’enseignementdespécialité
L’annexeestàrendreaveclacopie
? ?→− →− →−
L’espaceestmunid’unrepèreorthonormé O, ı ,  , k .
2 2On considère la surface S d’équation z = x +y , et la surface S d’équation z =1 2
xy+2x.
PARTIEA
OnnoteP le plan d’équation x=2, E l’intersection dela surface S et duplanP1 1
etE l’intersectiondelasurfaceS etduplanP.2 2 ? ?→−→−
Enannexe,leplanP estreprésentémunidurepère A ;  , k oùAestlepointde
coordonnées(2;0;0).
1. a. Déterminerlanaturedel’ensembleE .1
b. Déterminerlanaturedel’ensembleE .2
2. a. ReprésenterlesensemblesE etE surlafeuilleannexe.1 2
? ?→−→− →−
b. Danslerepère O, ı ,  , k donnerlescoordonnéesdespointsd’inter-
sectionBetCdesensemblesE etE .1 2
PARTIEB
Onpourrautilisersansdémonstrationlapropriétésuivante:
«soient a, b etc desentiersaveca premier.Si a divisebc alors a diviseb ou a divise
c.»
L’objectifdecettepartieestdedéterminerlespointsd’intersection M(x ; y ; z)des
surfacesS etS où y etz sontdesentiersrelatifsetx unnombrepremier.1 2
OnconsidèreuntelpointM(x ; y ; z).
1. a. Montrerque y(y−x)=x(2−x).
b. Endéduirequelenombrepremierx divise y.
2. Onpose y=kx aveck∈Z.
a. Montrerquex divise2,puisquex=2.
b. Endéduirelesvaleurspossiblesdek.
3. Déterminer les coordonnées possibles de M et comparer les résultats avec
ceuxdelaPARTIEA,question2.b.
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
? ?→− →−
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v d’unité
graphique1cm.
Faireunefigurequel’oncomplèteraaufuretàmesuredesquestions.
Antilles-Guyane 4 septembre2009BaccalauréatS:l’intégrale2010 A.P.M.E.P.
1. PlacerlespointsA,BetCd’affixesrespectives
z =−11+4i, z =−3−4i et z =5+4i.A B C
z −zA B
2. Calculerlemoduleetunargumentduquotient etendéduirelanature
z −zC B
dutriangleABC.
π
3. SoitEl’imagedupointCparlarotationR decentreBetd’angle .
4? p ?
Montrerquel’affixedeEvérifiez =−3+ 8 2−4 i.E
PlacerlepointE.
p
2
4. SoitDl’imagedupointEparl’homothétieH decentreBetderapport .
2
MontrerqueDestlecentreducerclecirconscritautriangleABC.
PlacerlepointD.
5. Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud’ini-
tiative,mêmenonfructueuse,serapriseencomptedansl’évaluation.
SoitD la droite parallèle à la droite (EC) passant par le point D. On note F le
pointd’intersection deladroiteD etdela droite(BC),Ilemilieu dusegment
[EC]etJlemilieudusegment[DF].
MontrerqueB,IetJsontalignés.
EXERCICE 4 6points
Communàtouslescandidats
Soit f lafonctiondéfiniepourtoutnombreréelx del’intervalle]0 ;1]par:
f(x)=1+xlnx.
′Onnote f lafonctiondérivéedelafonction f surl’intervalle]0 ;1]. ? ?→− →−
C estlacourbereprésentativedelafonction f dansunrepèreorthonormal O, ı ,  .
T estladroited’équation y=x.
LacourbeC etladroiteT sontreprésentéessurleschémaci-dessous.
1. a. Justifierque lim f(x)=1.
x→0
b. Enutilisant lesigne de xlnx sur ]0; 1], montrer que, pour tout nombre
réelx∈]0; 1],ona f(x)61.
′2. a. Calculer f (x)pourtoutnombreréelx∈]0; 1].
b. VérifierqueladroiteT esttangenteàlacourbeC aupointd’abscisse1.
3. Onnote g lafonctiondéfiniepourtoutnombreréelx∈]0; 1]par
g(x)=1+xlnx−x.
a. Étudier les variations de g sur l’intervalle ]0; 1] et dresser le tableau de
variationdeg.
Onnechercherapaslalimitedeg en0.
b. EndéduirelespositionsrelativesdelacourbeC etdeladroiteT.
4. Soitαunnombreréeltelque0<α<1.
Z1? ?
Onpose I(α)= 1−f(x) dx.
α
a. Àl’aided’uneintégrationparparties,montrerque
2 2α 1 α
I(α)= lnα+ − .
2 4 4
Antilles-Guyane 5 septembre2009BaccalauréatS:l’intégrale2010 A.P.M.E.P.
b. Déterminer limI(α).
α→0
c. Interprétergraphiquementlerésultatprécédent.
d. À l’aide des résultats précédents, déterminer, en unités d’aire, l’aire du
domainecomprisentrelacourbeC,ladroiteT etl’axedesordonnées.
Antilles-Guyane 6 septembre2009BaccalauréatS:l’intégrale2010 A.P.M.E.P.
ANNEXE
Exercice2
Candidatsayantchoisil’enseignementdespécialité
Àrendreaveclacopie
z
10
5
→−
k
→− yA
−5  5
−5
Antilles-Guyane 7 septembre2009BaccalauréatS:l’intégrale2010 A.P.M.E.P.
Durée:4heures
[BaccalauréatSMétropole&LaRéunion\
septembre2009
EXERCICE1 (6points)
Communàtouslescandidats
Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle[0; +∞[par
? ?2f(x)=ln x +4 .
PARTIEA
1. Étudierlesensdevariationdelafonction f surl’intervalle[0; +∞[.
2. Soitg lafonctiondéfiniesurl’intervalle[0; +∞[parg(x)= f(x)−x.
a. Étudierlesensdevariationdelafonctiong surl’intervalle [0; +∞[.
b. Montrerquesurl’intervalle [2; 3]l’équation g(x)=0admetuneunique
solutionquel’onnoteraα.
−1Donnerlavaleurarrondiedeαà10 .
c. Justifierquelenombreréelαestl’uniquesolutiondel’équation f (x)=x.
PARTIEB
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même
nonfructueuse,serapriseencomptedansl’évaluation.
Onconsidèrelasuite u définieparu =1etpourtoutentiernaturelnpar:u =( )n 0 n+l
f(u ).n
La courbeC représentative de la fonction f et la droiteΔ d’équation y = x sont
tracéessurlegraphiquedonnéenannexe(àrendreaveclacopie).
1. À partir de u , en utilisant la courbeC et la droiteΔ, on a placé u sur l’axe0 1
des abscisses. De la même manière, placer les termes u et u sur l’axe des2 3
abscissesenlaissantapparentslestraitsdeconstruction.
2. PlacerlepointI delacourbeC quiapourabscisseα.
3. a. Montrerque,pourtoutnombreentiernatureln,ona16u 6α.n
b. Démontrerquelasuite(u )converge.n
c. Déterminersalimite.
EXERCICE2: (5points)
Communàtouslescandidats
? ?→− →− →−
L’espaceestmunid’unrepèreorthonormal O; i ; j ; k .
Métropole&LaRéunion 8 septembre2009BaccalauréatS:l’intégrale2010 A.P.M.E.P.
′1. OndésigneparP lepland’équationx+y−1=0etparP lepland’équation
y+z−2=0.
′Justifier que les plansP etP sont sécants et vérifier que leur intersection

x=1−t
estladroiteD,dontunereprésentationparamétriqueest: y=t ,oùt

z=2−t
désigneunnombreréel.
2. a. DétermineruneéquationduplanRpassantparlepointOetorthogonal
àladroiteD.
b. DémontrerquelepointI,intersectionduplanRetdeladroiteD,apour
coordonnées(0; 1; 1).
? ?
1 1
3. SoientAetBlespointsdecoordonnéesrespectives − ; 0; et(1; 1; 0).
2 2
a. VérifierquelespointsAetBappartiennentauplanR.
′ ′b. OnappelleA etB lespointssymétriquesrespectifsdespointsAetBpar
rapportaupointI.
JustifierquelequadrilatèreABA’B’estunlosange.
c. Vérifier que le point Sde coordonnées(2 ; −1; 3) appartient à la droite
D.
′ ′d. CalculerlevolumedelapyramideSABA B .
OnrappellequelevolumeV d’unepyramidedebased’airebetdehauteur
1
h est:V = b×h.
3
EXERCICE3: (4points)
Communàtouslescandidats
PARTIEA
xSoit f lafonctiondéfiniesurl’ensembledesnombresréelspar f(x)=e .
OnappelleC lacourbereprésentativedelafonction f dansunrepèreorthonormalf? ?→− →−
O ; i ; j .
1. Soit a unnombreréel.DémontrerquelatangenteàlacourbeC aupoint Mf
d’abscissea coupel’axedesabscissesaupointP d’abscissea−1.
2. Soit N le projeté orthogonal du point M sur l’axe des abscisses. Démontrer
−→ →−
queNP=− i
PARTIEB
′Soit g une fonction dérivable sur l’ensemble des nombres réels telle que g (x) =0
pourtoutnombreréelx.
OnappelleC lacourbereprésentativedelafonctiong dansunrepèreorthonormalg? ?→− →−
O ; i ; j .
Soit a un nombre réel. On considère le point M de la courbeC d’abscisse a et leg
pointN projetéorthogonaldupointM surl’axedesabscisses.
SoitP lepointd’intersectiondelatangenteT àlacourbeC aupoint M avecl’axea g
desabscisses.
Legraphiqueci-dessousillustrelasituationdelapartieB.
Métropole&LaRéunion 9 septembre2009BaccalauréatS:l’intégrale2010 A.P.M.E.P.
y
Cg 2
1
→−
j
M
N P
→−O x−1 1 2i
? ?
g(a)
1. DémontrerquelepointPapourcoordonnées a− ; 0 .
′g (a)
2. Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud’initiative
mêmenonfructueuse,serapriseencomptedansl’évaluation.
−→ →−
Existe-t-ilunefonction g vérifiantg(0)=2etNP= i ?
EXERCICE4: (5points)
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Unréparateurdevélosaacheté30%desonstockdepneusàunpremierfournisseur,
40%àundeuxièmeetleresteàuntroisième.
Le premier fournisseur produit 80 % de pneus sans défaut, le deuxième 95 % et le
troisième85%.
1. Leréparateurprendauhasardunpneudesonstock.
a. Construireunarbredeprobabilitétraduisantlasituation,etmontrerque
laprobabilitéquecepneusoitsansdéfautestégaleà0,875.
b. Sachantquelepneuchoisiestsansdéfaut,quelleestlaprobabilitéqu’il
provienne du deuxième fournisseur? On donnera la valeur arrondie du
−3résultatà10 .
2. Le réparateur choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que
le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix
pneusàuntirageavecremisededixpneus.
Quelle est alors la probabilité qu’au plus un des pneus choisis présente un
−3défaut?Ondonneralavaleurarrondieà10 .
3. Onnote X lavariablealéatoirequidonnelenombredekilomètresparcourus
par un pneu, sans crevaison. On fait l’hypothèse que X suit une loi exponen-
tielledeparamètreλ.
Rk −λxOnrappelleque,pourtoutnombreréelk positif:P(X6k)= λe dx0
−500λ −1000λa. MontrerqueP(5006X61000)=e −e .
b. Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud’ini-
tiativemêmenonfructueuse,serapriseencomptedansl’évaluation.
Métropole&LaRéunion 10 septembre2009
bbb