Fonctions de plusieurs variables

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Niveau: Secondaire, Lycée
Chapitre 2 Fonctions de plusieurs variables Introduction Le calcul differentiel dans l'etude des fonctions x 7? f(x) de la variable reelle x, a pour objectif essentiel de preciser, soit sur la forme explicite de f , soit dans une definition implicite de f , solution d'une equation differentielle par exemple, le comportement local ou global de f . C'est a dire, domaine de definition, mo- notomie eventuelle, comportement aux bornes du domaine de definition, et (ou) extremums. Un principe essentiel stipule qu'en un extremum (local) x0, on a la condition (reciproque fausse !) f ?(x0) = 0 Fig. 2.1 – Graphe d'une fonction de deux variables et ses extremums (maxima) locaux 37

• fondamentale dite de cauchy-schwarz


• moyen des coordonnees polaires


• coordonnees polaires


• exprimee au moyen des coordonnees polaires


• axe vertical


• position du point dans le plan


• equation de mouvement

Sujets

• Coordonnées polaires

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• Publié par: sucun
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• Langue: Français

Extrait

Chapitre 2

Fonctions de plusieurs variables

Introduction Lecalculdiffe´rentieldansl’´etudedesfonctionsx7→f(xde)abrivalallee´rele xseestneiboejtcfiiser,soildepr´eceemrilpxrustofaltecideruopa,f, soit dans unede´finitionimplicitedefxleurteile,mspo,noitauqe´enu’dnopaleeltienerff´di le comportement local ou global defn,ioitfin-mori,eodamnidedee´.C’est`ad notomiee´ventuelle,comportementauxbornesdudomainedede´finition,et(ou) extremums. Un principe essentiel stipule qu’en un extremum (local)x 0 , on a la condition(r´eciproquefausse!)

f 0 (x 0 ) = 0

Fig.2.1 – Graphe d’une fonction de deux variables et ses extremums (maxima) locaux

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38 DE PLUSIEURS VARIABLES FONCTIONSCHAPITRE 2. Onsouhaitee´tendreceprincipeauxfonctionsdeplusieursvariables(Fig.2.1). Laraisonestquedanslagrandemajorite´dessituationsrencontr´ees,enMathe´- matiquesetdanssesapplications,Physique,Biologie,etc.,lessyste`mesdont one´tudielecomportementdynamique,de´pendentnonpasd’unevariablex (souvent le tempstmais de plusieurs variables, par exemple temps et coor-), donn´eesd’espace.Lecastypiqueestdonn´eparunpointduplan(resp.espace) M= (x, y), (resp.M= (x, y, z)dontlaisopnoitrrapoppaaurtysnsemt`e d’asfi´`al’avanced´ependdedeux(resp.trois)param`etres=coordonn´ees. xe xe Noterqu’unpointduplanpeuteˆtrerep´ere´aumoyendescoordonn´eespolaires, etsphe´riquespourunpointdel’espace.Enm´ecaniquerelativiste,unpointde l’espacetempsestde´critparquatrecoordonn´ees,troisd’espace(x, y, z) et une de tempstloes.Limenexpr´en´tengalhpsiedeu’ssyqiquecsantendieralnisereat quantite´s,d´ependantesdelapositiondupointdansleplanoul’espace,sontdes invariantsdumouvement.Laphysiquespe´cifieles”loisdumouvement”. LeprincipedemoindreactiondeEuler-Lagrange(Chapitre3)conduit`ades questionsd’extremummaispourdesfonctionsdeplusieursvariables,etmeˆme d’une”infinit´e”devariables.Siparexemplel’actionalracnofnnodpee´stetion f(x, y),l’energiele long d’une trajectoiret7→x(t)∈Rest alors t 2 J= Z f(x(t), x 0 (t))dt t 1 L’e´quationdumouvementoud’Euler-Lagrangeestcommenousleverronsl’´tion equa auxd´eriv´eespartiellesquicorrespond`alaminimisationdeJ ∂f d ∂f ∂x dt  ∂y  = 0 − Ceciseg´en´eralisea`dessyste`mesme´caniquesenne´nnodroapse’dseeccoL.se de´rive´espartiellespeuventeˆtreite´r´ees,donnantunsensa`l’´equationΔf0=o,`u Δrepre´sentel’ope´rateurdeLaplace: Δ = ( ∂x ∂ ) 2 + ( ∂ ∂y ) 2 .´eL’atqunΔio(f) = 0 estl’e´quationdeLaplace.L’´equationenencadr´eestdite”´equationdeKorteweg- de Vries”. Un calcul montre que la fonction suivante est solution u(t, x)= 1 2 (h x− 1 t 2 −a ) 2 c 2.1 Quelques notions metriques Rappelons que l’espace euclidienR 2 est implicitement muni de ladistance euclidienne d(M 1 , M 2 ) = p (x 2 −x 1 ) 2 + (y 2 −y 1 ) 2 −−−→ Letermededroiterepre´sentelanormedu vecteurM 1 M 2 ,uqouenecs´rorins −−−→ kM 1 M 2 kneidilcueecapsentl’leme´erag´enlpsurereis´dcanonO.aruaR n , de dimensionn. Un point deR n ´nnoseesescoord´er´eparsertpeM= (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n ) (one´crirasouventx= (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n ). La distance euclidienne est : v n d(M 1 , M 2 ) = u t i X (x 2,i −x 1,i ) 2 =1

2.1. QUELQUES NOTIONS METRIQUES39 Sin= 3, on utilisera souvent (x, y, z) au lieu de (x 1 , x 2 , x 3 ). On sait que en toute dimensionnngiatr´ereaiuli’la`tiatilage´nstanteditisfcesacte d(M 1 , M 3 )≤d(M 1 , M 2 ) +d(M 2 , M 3 ) demani`eree´quivalentepourdeuxvecteurs −→ u , − v → , → k − u+ −→ v k ≤ k− uk → + k− vk → . Parall`element`al’ine´galite´triangulaire,onretiendraauniveauvectoriella d´efinitionduproduit scalairede deux vecteursx, y∈R n : hx, yi=x 1 y 1 +∙ ∙ ∙+x n y n de sorte quekxk= p hx, xiiadtlei’´ngelati´eage´´tilirteugnairla´eedulconfeeL’in. fondamentale dite deCauchy-Schwarz:re,C.Spourabr´eg |hx, yi| ≤ kxk kyk Dansleplancetteine´galit´ede´couledelaformule [ hx, yi=kxkkykcos (x, y) Remarque. eseluxdeucear´arbmemser.SestlasreuvedeCnoe´`lveiuavtn:eepUn etonfaitladiff´erence,onserame`nea`prouverque n n n ( X x 2 i )( X y i 2 )−( X x i y i ) 2 ≥0 i=1i=1i=1 Siond´eveloppeavecunpeudesoinlescarre´s,ilrestepourletermedegauche: X x i 2 y j 2 − X x i x j y i y j = X (x i y j −x j y i ) 2 i6=j i6= j i<j expressionpositiveounulle.Onobserveraquel’e´galit´e(dansl’ine´galite´)´equivaut`ay estproportionnela`xlati´nge.SnEe´.Cileffetlei’iudt´ddeeresulaiiang´etralitge´ni’L. suffitd’eleveraucarre´lesdeuxmembres,etdeprouverque ´ kx+yk 2 −(|xk+kyk) 2 ≤0 End´eveloppantcetteexpression,onvoitfacilementqu’ellesere´duit`a(hx, yi)− kxkkyk qui est bien≤0. La terminologie suivante est classique et intuitivement correcte. On appelle boule ouverte(resp.ee´mref) de centrea∈R n et rayonr >0, l’ensemble B(a, r) ={x∈R n ,kx−ak< r}(resp.≤r) Desqu’onalanotiondeboule,onpeutd´efinirlaconvergenceconvenablement: De´finition2.1.1.Une suite{x n } n=1,2... de points deR n converge versxsi pour tout bouleB(x, r) de centrex, il existeN=N(r) tel que les pointsx n , n≥Nsont contenus dansB(x, r). On peut montrer quex n →xsiciahnestlumeteeseedeonn´oordquecx n convergeverslacoordonn´eecorrespondantedex. Par exemple ( n 1 ,1− q 1 + n 1 2 ) converge vers (0,0).

40CHAPITRE 2. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES De´finition2.1.2.Une partieU⊂R n est diteouvertesi pour touta∈U, il existe unr >0 tel queB(a, r)⊂Uset.Leceme´lpmo’deriatntiarepunteeruveo ditefeere´m. Decetted´efinitioniln’estpasclairquelabouleouverteestouverte! Lemme 2.1.3.B(a, r)est ouverte. D´emonstration instructif de faire un dessin. Si: C’estb∈B(a, r), alorsρ:= d(b, a)< ret on va montrer queB(b, r−ρ)⊂B(a, r). Soitc∈B(b, r−ρ). Alors d(c, b)< r−ρonc,parl’in´egalD.na,oe´tiairtlugneriad(c, a)≤d(c, b) +d(b, a)< r−ρ+ρ=rce qui signifie quec∈B(a, r). Attention,unepartiepeutˆetreniouverte,niferme´e(exempledansR, l’in- tervalle semi-ouvert [0,uoseL.[1nerstrevesr´ntcocolensdarenorussevtnstuo des”domainesded´efinition”;ilsserontd´ecritsparunnombrefinid’in´egalit´es polynˆomialesstrictes.L’adjectif”ferme´”estjustifi´eparlapropri´ete´suivante: Proposition 2.1.4.Une partieF⊂R n ´ee,sietestfermstpiuoreslumene toute suite(x n ), x n ∈Fqui est convergente, alorslimx n ∈F. D´emonstration: SupposonsFte(esuiitune.Somre´efx k ) de points deFtelle quex k →x, soitkx k −xk →0. Six6∈F, doncx∈U=R n −F, alors comme Uest ouvert, il existe une boule (ouverte)Bde centrexet rayonr >0, telle queB⊂U. Mais pourk0, on sait quex k ∈B, donc en contradiction avec le fait quex k ∈F. Danslesensoppos´e,sionalaproprie´te´indique´esurlessuites,ils’agitde voir queU=R n −Fpartie ouverte. Dans le cas contraire, il y a un point,est une disonsx∈Utel que pour toutr >0, la boule ouverteB(x, r) n’est pas contenue dansU. Sir= k 1 (pour toutk), on peut donc trouver un pointx k ∈B(x, k 1 )∩F. Il est clair quex k →x6∈Fdiction.necontracnro`euaai`mneeequ, Pourfixerleside´esond´ebutepardeuxvariables(x, y), ´ ´ nter censees represe un point du planR 2 . Une fonction des deux variablesx, yn,toe´(ex, y)7→u= f(x, y), associe donc a un pointM= (x, yalacsnunalpud)l)eer´e(iru;f´edrcti laproce´duredefabricationdeu. Exemple 2.1.5. u= sin(xy), u= p 1−x 2 −y 2 , u=x 2 −y 2 Une fonction a naturellement unomdd´deneainoitinfie(DouU), un ouvert (pard´efinition)endehorsduquelellen’apasdesens.Parexemplef(x, y) = p 1−x 2 −y 2 tinionapuodrmoiaened´dfierul’t´inieerDedsiduueuq´tinD= {(x, y)/ x 2 +y 2 <1}esplemexrdoutponedeniamoitinfie´donL.seedxuuartse R 2 . Larepre´sentationgraphiqued’unefonctiondedeuxvariablesestdoncen3- dimensions !, en fait dans l’espaceR 3 nnodrooced(es´ex, y, u) ; on choisira pour axe desuPar exemple le graphe de la fonctionl’axe vertical. u= p 1−x 2 −y 2 estl’hemisph`ereNord,i.e.lespoints(x, y, utasiuqsia`oftn)x 2 +y 2 +u 2 = 1 et u >0. Ilestimportantdenoterqu’onsereservelapossibilit´edechangerlesva- riablestudion´eestilaqueredanutedalitnonsadelpmexeraP.ee´enlancfoce,