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Correction Devoir Surveillé n PSI

6 pages
Correction Devoir Surveillé n?5 PSI MATHEMATIQUES Problème I Question 1. 1.1. Pour x réel, la fonction fx : t 7? tx?1e?t est continue sur ]0,+∞[, à valeurs stricte- ment positives et fx(t) ? t?0 1 t1?x et t2fx(t) ?? t?+∞ 0 donc fx(t) = t?+∞ 0 ( 1 t2 ) . Par conséquent, par comparaison aux intégrales de Riemann, fx est intégrable sur ]0, 1] si et seulement si 1?x < 1 (c'est-à-dire x > 0) et fx est intégrable sur [1,+∞[ pour tout x. Par conséquent : L'ensemble de définition de la fonction ? est ]0,+∞[. 1.2. Fait en cours. 1.3. ?(1) = ∫ +∞ 0 e?tdt = lim T?+∞ [ ?e?t ]t=T t=0 = lim T?+∞ (1? e?T ) = 1 : ?(1) = 1. 1.4. Soient x > 0 et a, b tels que 0 < a < b ; j'intègre par parties sur le segment [a, b] : x ∫ b a tx?1e?tdt = [ txe?t ]t=b t=a + ∫ b a txe?tdt.

  • t2 au voisinage des infinis

  • endomorphisme surjectif de c0

  • périodicité

  • question précé- dente

  • lim t?

  • théorème de double

  • pi périodicité du cosinus

  • limite nulle

  • nulle en ±∞


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x1t 1.1.PourxrÉel, la fonctionfx:t7→t eest continue sur]0,+[, À valeurs stricte-ment positives et   1 1 2 fx(t)ett fx(t)−→0doncfx(t) = 0. 1x2 t0t+t+t t Par consÉquent, par comparaison aux intÉgrales de Riemann,fxest intÉgrable sur ]0,1]si et seulement si1x <1(c’est-À-direx >0) etfxest intÉgrable sur[1,+[ pour toutx. Par consÉquent : L’ensemble de dÉfinition de la fonctionΓest]0,+[. 1.2.Fait en cours. Z +  t=T ttT 1.3.Γ(1) =e dt= lime= lim(1e) = 1: t=0 T+T+0 Γ(1) = 1. 1.4.Soientx >0eta, btels que0< a < b; j’intÈgre par parties sur le segment[a, b]: Z Z b b  t=b x1t xt xt x te dt=t e+dt.t e t=a a a Commex >0, j’obtiens, À la limite poura0etb+:xΓ(x) = Γ(x+ 1), soit : x >0,Γ(x+ 1) =xΓ(x). Question 2. x 2.1.Par concavitÉ de la fonctionexp(ou Étude de la fonctione1x), j’ai : xR,expx1 +x; d’ oÙ, avecx=t: t0,exp(t)1t. Soient alorst0etn1; sitn,gn(t) = 0et j’ai bien0gn(t)exp(t); je suppose maintenant0t < n, je peux appliquer le rÉsultat ci-dessus Àt/net n+ j’utilise la croissance dex7→xsurR:   n t tt 01− ≤expd’oÙ01− ≤exp(t). n nn
Ainsi :
t0,n1,0gn(t)exp(t).
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