2K Composition de mathématiques 2h calculatrice autorisée 20X08

Léonard De Pise

Description

2K Composition de mathématiques 2h calculatrice autorisée 20X08 I) Démontrer que pour tous réels a et b, on a : ?? ? ?? ?a 3 2 + b 2 2 + ?? ? ?? ?a 2 ? b 3 2 2 = a 2 + b2 II) Dans un livre de Léonard de Pise datant de 1225, on trouve l'égalité : (a2 + b2) (c2 + d2) = (ac + bd)2 + (bc ? ad)2 où a, b, c et d sont des réels. 1) Démontrer cette égalité. 2) Utiliser cette égalité pour écrire 13 ? 41 sous la forme d'une somme de 2 carrés d'entiers naturels. 3) Même question pour 82 ? 40. III)Soient : I, l'ensemble des réels x tels que ?5 < x < 3 J, l'ensemble des réels x tels que x < 1 K, l'ensemble des réels x tels que x > 1 ou x < ? 2 1) Ecrire I, J et K sous forme d'intervalles ou de réunions d'intervalles. 2) Déterminer I V J ; I U J ; I V K. IV) Résoudre dans R les équations suivantes : (E1) : (9 x2 ? 1)2 ? 4 (3 x + 1)2 = 0 (E2) : (3 x + 1) 2 ? 4 (x ? 3)2 5 x2 ? 5 =

• a?4 b5


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• Publié par: cours_de_mathematiques
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• Langue: Français

Extrait

  2 K  2 de mathématiques Composition c h al   c   ul   atrice autorisée       I) Démontrer que pour tous réealsetb, on a :      a   3    2  + 2   b    2 +      a 2 − b 3 2    2 =a 2 +b 2    

20X08

  II) Dans un livre de Léonard de Pise datant de, on1225tilagé’l evuort : é  (a 2 +b  2 ) (c 2 +d 2 ) =a(c+b d) 2 +b(c−a d) 2  oùa, b,cetdsont des réels. 1) Démontrer cette égalité. 2) Utiliser cette égalité pour écrire 13 × 41 las ofuosr me d’une somme de 2 carrés d’entiers nat.u rels 3) Même question pour 82 × 40.     III)Soient : I, l’ensemble des réexlstels que −5 x 3  J, l’ensemble des réex quels telsx < 1  K, l’ensemble des réexls tels quex > 1 oxu − 2 1) Ecrire I, J et K sous forme d’intervalles roéuu ndieo ns d’intervalles.  2) Déterminer I J ;I J ;I K.     IV) Résoudre dans les équations suivantes : (E 1  () :x9 2  − 1 2  4 () −x3 + 1 2 ) = 0 − (E )  (3x+ 1 2 ) 4x( − 3 2 ) 2   :   5 x 2  = − 5  0   2x− 3 2x+ 3 (E 3 ) : x  =  + 1x− 2     V) On donne l'expression suivante :x) =82 (Ax  2 − 7 +x2 (−2x + 1) − (x 12 − 2 ) 1) Factoriser Ax() 2) Résoudre dans les inéquations suivantes : (I 1 ) :xA)(0 (I 2 ) :xA)( < 5x + 4 3) En déduire les solutions, dans, du système 3 (I) :       (A (A    x x  )  )  5  0  <x + 4 dre dans l’inéquation ( 4  A( I) : x) 4) Résou  25x 2 − 16 1      

BAREME PROBABLE : I) 1,5pts II) 3,5pts pts III) st    )VVI )p63s pt 6

  2 K  1 de mathématiques DS c h al   c   ul   atrice autorisée  17IX07   I) Pour chacun des nombres ci-dessous, donner ules pletit ensemble de nombres auquel il appartient.   A = 1,6 × 1 5  C 250,   1 5 8  − =0B =  D =      3 6  + 3    2  

  ) 1) Calculer :   E 1   6 = 20  3 × + 8   0 2 II 2 4 × 64 × 4 12   2)aetbétant deux réels non nuls, simplifier : ( F  2 a   −4 = b ( 3 2 )   3 a   −4 × (   b 5 5 )  a 2− 2  b ) −2   −1 3) Calculer et donner le résultat en écriture tsicfi 9 = 2  G   : × 4 ene qu  ×1  01  − 0 8 1   6 − 2  0× +    0,05 ×  − 1 − 1 1 1 0 7 0 5       5 3 III) Ecrire sans radical au dénominateur : H =        2 3 − 2     IV)Factoriser : I = 2 2 −x − 3 Jx= (2x − 3) +x 2  −x − 3 −x (+ 1) (6 −x)4 x     V) On donnen  2  = 3 4 × 1 4  15 × 2  Décomposer1 .n en produit de facteurs premiers.     VI)Par combien de zéros se termine l’écriture doud upitr des nombres premiers compris entre 1 et 2?0 07     

BAREME PROBABLE :      I) 4pts    II) 62ptpst s   III)  )p2st Vt)s  4 p t sVI    V) 2p

  K 2    

DS de mathématiques 1 c h al   c   ul   atrice autorisée  

I) Donner les plus petits ensembles de nombres uaeulxsq appartiennent les nombres suivants :  10 −3     3 ;     ;   −  2 6 1    ;; 16    + 5 5 3         2       II) Calculer : A = ( 2 5 2 − 5 )   (  2018 − )  

+ 2 B =  3  + 1 3 2 − 3 C  (− 7 × 1 –5 0) 5 × (0,21 ×   1 – 0 14 ) – 2 = (0,3  × 1 3 0) – 6 × (42 × 6 1)0 3      

III) Simplifier : A = 8   (2  a  a   2     b b ) 3 5   ( ×  a − b a) 3           a (av*ec 4  etb  *)    

18IX06

IV)1) Décomposer  1512  en produit de facteurs ieprse.m 2) Donner, sans justifier, le plus petit entieru renla tnon nul par lequel il faut multiplier 1512r ouop lirenbte  carré d’un entier.    

V) Factoriser : A = (x3 − 5)²x 2) −( −x(3− 5)x 2)( − B = 2x  2 + 4 2x+ 4 C =x( + 1)x  2 ( + 2) +x3 2 (+x)    

VI)1) Pour toutm 1 odérent = n de , r que :  + n +  n + 1 − n n 1 1 1 1 1 2 + + ) En déduire la valeur de  1 S     + =     2  +  2 + 3  +  3 + 4 ……… 999 + 1000          

BAREME PROBABLE :      I) 3pts    II) 5,)5 p1t,s5 p t s  V)III IV) 2pts 2,5pts VI) 5,5pts

  2 des  de mathématiques 2 Composition c h al   c   ul   atrice autorisée  23X06     I) 1) Dans chacun des cas suivants, représente ri nlteesrvalles I et J sur une droite graduée,  puis déduire I J etI J.   a) I = [− 7 ; − 1] et J = ]– 2 ; 5[ b) I = ]− ; 1] et J = [1;[ + c) I = [3 ; 4] et J = ] +3[ ; 2) Résoudre dans :   2         4     −( 3 x      x +  − 1 1  )     x −  0 <  3 1   0 −      II) Soit Ax() =x (x− 1 2  4) −x  3 . 1) Développer Ax(). 2) Factoriser Ax(). 3) a) Calculer    A 3 1    , A( 5) et A(1). b) Résoudre dans les équations : 1  A: ) E (x( )=x et 2 ( E) :  Ax) = − (x4 3    c) Résoudre dans les inéquations : 1 )  :A I(x()(3x − 1) (x3 + 4) et 2 ) I(  : x A ( +    x  1 )  0     III)1) Démontrer que, pour tous réealsetb :a  3  +b  3 =a( +b) (a 2 −a b+b 2 ) 2) Résoudre dans l’équation : (E)x  3 : (1 +−) x (+ 1)x 2 ( + 2x + 5) = 0 3) Pour chaque solution de (E), préciser le pltuist appaeitr .tnet c steutoln iobmer eonuqle suaenpele dsemb     IV) Résoudre dans  :  E( ) :  (2   x + 1 2 )− 4 x 2 − 4x  0 <        

BAREME PROBABLE :      I) 3pts    II) 10I,)5 p4tspt s    2,5ptsII IV)

 

  2 JK  DS de mathématiques 2 c h al   c   ul   atrice autorisée  21IX04   I) Simplifier et calculer: 1) A = 2   5000  0, × 0   3 ( 5 − 3 − 2 2 × − 7 1 ) 2   2) B = (   1 +  1 1 0 − 0 51 1−5 ) 2 − 1  3) C = 3     50 6 0 0     − −    7 4   0 1 5 5 4)D= (   − ( a a ) 3 2  b (  4 ) − − a 2 ( b  4 ( ) a− 2 )b −b)   −3 ( a  *, b *)          II) Résoudre les équations suivantes dans : 1) 3 (4x − 3) (x2 + 1) =x4 2  − 3x  2) (x− 1)x 4) =( −x (− 1)x 2 ( − 3x) 3) −2x  2 + 7x − 3 = 0 4) x =  3 −  1 x x   1 − 2 + 1 +      x 2 − 2 − 1  x+ 2  = 5) x−x+      III)1) Démontrer que le carré d’un entier qui oaur5 cphiffre des unités se termine par 25. 2) Thibaud a une méthode pour calculer un tel c:arré 65 2  don × 7 = 42: 6 2  c=  56  2542 115 2 : 11 × 12 = 132 don 2 c = 125321 5 Cette méthode de calcul marche-t-elle pour n’impeo rqtuel entier terminé par 5 ? (justifier !!)      IV)1) Vérifier que pour toxut de,x 8 − 1 =x (− 1)x( 7 +x  6 +x  5 +x  4 +x  3 +x  2 +x + 1) 1 1 2) En déduire le calcul de A =  2 1  1+  1   4 +  +   64128    1  + + 32  + 1 816   1  + 3) Un jardinier a vendu à son premier client ltaié  mdoei ses pommes plus une demi-pomme, au deuxième  client, la moitié du reste plus une demi-pommet,r oaisui ème, la moitié du reste plus une demi-pomm e,… jusqu’au septième client après lequel il ne re stpaliuts de pomme. Combien de pommes avait le jar  ?ineid                          

BAREME APPROXIMATIF :      I) 5pts    II)I I)6 p4tsp ts    )IVIstp5