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87 EXERCICES  DE  MATHÉMATIQUES posés à l'oral des concours 1994 et 1995  des écoles d'ingénieurs de Yamoussoukro.  
      Exercice 1. Soit un espace vectoriel sur un corps de dimension 3 et un endomorphisme de . Prouver que  •si et alors la matrice de (dans une base quelconque) est semblable à
   
.
  si et alors la matrice de (dans une base quelconque) est semblable à  
   
.
  Exercice 2. Soit un espace vectoriel sur un corps de dimension 3 et  un endomorphisme de . On suppose que , . On considère un endomorphisme de tel que .  Montrer que est une combinaison linéaire de .  
 
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.
 Exercice 3. Soit un espace vectoriel sur un corps . a) Soit deux endomorphismes et de tels que (1).  Montrer que, pour tout entier n 1, . b)  Si est de dimension finie, montrer qu'il est impossible de trouver et vérifiant (1). c) Sur , on définit et par: .  Calculer   Exercice 4. Soit un espace vectoriel sur un corps de dimension . On considère (n+1) formes linéaires sur .  Montrer que      Si n=p, donner une condition nécessaire et suffisante pour que soit une base de .   Exercice 5.  On considère une matrice carrée d'ordre n à coefficients réels et on suppose que, pour tout , et que, pour tout , . a) Montrer que 1 est valeur propre de . b) Montrer que si est valeur propre de , alors .   Exercice 6. On considère la fraction rationnelle . Déterminer et pour que les résidus en 1 et -1 soient nuls. Rappel : : Dans une décomposition en éléments simples, on appelle résidu relatif au pole le coefficient de .   Exercice 7. Étudier la loi définie sur R par:      
 
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.
.
 Exercice 8. Soit la loi définie sur par      Montrer que est un groupe abélien.   Exercice 9. Montrer que .  On définit deux suites et par et pour tout entier n,   .  Montrer que . En déduire une méthode de calcul de .   Exercice 10. On considère deux réels et tels que . Étudier les suites et définies par , et, pour tout entier n,    Exercice 11.  Montrer que
.
 ne dépend pas de l'entier n.
.
Calculer . Calculer ensuite valeur (après en avoir montré l'existence) de   Exercice 12. Pour et , calculer  En déduire .   Exercice 13. On considère la fonction donnée par  .  
 
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. En déduire la
.
a) Pour tout réel , on pose . Montrer que admet un minimum en 0. b)  admet elle un minimum en ?   Exercice 14.  Pour tout entier n 1, on pose . Déterminer le rayon de convergence de la série entière . Soit sa somme sur . Montrer que est équivalent à quand x tend vers . Indication  : on peut par exemple commencer par écrire sous forme d'une série entière dont on cherchera ensuite un équivalent.   Exercice 15. Montrer que la dérivée nième de est de la forme un polynôme de degré n ayant n racines réelles.   Exercice 16. Calculer l'inverse de la matrice:  
.
où est
  Exercice 17. Soit t un réel et n un entier. Calculer l'inverse de la matrice carrée d'ordre n+1, , donnée par  
 
   Exercice 18. Pour tout élément de l'ensemble des polynômes à coefficients complexes, on pose:  
.
 Montrer que définit un isomorphisme de sur lui-même.   
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 Exercice 19. Calculer  
.
   Exercice 20. Dans un espace vectoriel E de dimension finie, on considère deux sous espaces vectoriels A et B de même dimension. Montrer qu'il existe un sous espace vectoriel X tel que  .  Indication:  on pourra s'inspirer, en dimension quelconque, du cas de la dimension 2.   
Exercice 21. Résoudre
.
.
  Exercice 22. Calculer    Exercice 23. Soit une application de classe C1 de dans telle que . Montrer que .
Indication:  on pourra utiliser la fonction donnée par .   Exercice 24. Determiner le rayon de convergence et la somme de la série entière  .   Exercice 25. Nature de la série . Indication:  on pourra faire une comparaison avec une intégrale impropre.    
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Exercice 26. Donner un équivalent, quand de faire un encadrement à l'aide d'une intégrale impropre.   Exercice 27. Résoudre l'équation différentielle Indication:  on pourra essayer une solution de la forme   Exercice 28. Montrer que, pour tout , déduire la somme de la série .    Exercice 29. Soit une matrice à coefficients réels Montrer que  
   Exercice 30. Montrer que   Exercice 31. Convergence et calcul de   Exercice 32. Diagonaliser la matrice  
.
.
.
.
. Indication:  on pourra
.
.
. En
 orthogonale.
  Exercice 33.  Soit un endomorphisme d'un espace vectoriel tel que, pour tout , soit liée. Montrer que est une homothétie.   
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 Exercice 34. Calculer le déterminant de la matrice A d'ordre n et de terme général  .    Exercice 35. Déterminer les puissances et les racines carrées de la matrice  
.
   Exercice 36. Préciser la transformation de l'espace euclidien dont la matrice est:  
.
   Exercice 37.  a)  On considère les 3 formes linéaires , , sur . Forment-elles une base duale de ? b)  Soit K  un corps et des formes linéaires sur le K -espace vectoriel . Montrer que pour que celles-ci forment une base du dual de il faut et il suffit qu'il existe des vecteurs de tels que l'on ait .   Exercice 38. Soit une matrice carrée réelle d'ordre n telle que, pour tout , . a) Montrer que . b)  Soit où désigne la matrice unité d'ordre n. Montrer que est inversible et calculer .   Exercice 39. Soit l'espace vectoriel des applications polynomiales en la variable , de degré inférieur ou égal à n (n 1). Montrer que l'application    est une norme sur .   
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 Exercice 40. Calculer la somme des carrés des distances entre un sommet du polygone régulier d'ordre n inscrit dans le cercle trigonométrique et les autres sommets.  
 
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 Exercice 41.  On considère une application continue de R  dans R . Montrer l'équivalence des deux propositions suivantes:  i) L'image réciproque de tout compact est un compact.  ii) .  Exercice 42. On fixe un réel . Montrer qu'il existe une application de classe C2 telle que   
.
.
 Former une équation différentielle vérifiée par . En déduire une expression de   Exercice 43. On munit R de la distance a) Comparer cette distance à . b) Montrer que n'est pas complet.   Exercice 44. Soit . On considère l'application  
 Étudier la continuité et la différentiabilité de .   Exercice 45. Calculer  
.
    Exercice 46. On considère une application   a) Montrer que existe pour toute valeur de n.
 
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donnée par:
 
continue bornée. On pose .
.
 
b) Calculer (on pourra effectuer un changement de variable).   Exercice 47.  On considère une application continue telle que, pour tout , .  a) Exprimer en fonction de . b) Calculer .   Exercice 48. On considère la suite de fonctions définie par  
 
 pour tout et tout . a) Étudier la convergence simple de la suite . b) Calculer et .   Exercice 49. Développer en série entière l'application   Exercice 50. Soit la fonction définie pour par      a) Soit n un entier naturel. Établir la formule  
.
.
.
 b) Donner un développement en série entière de .   Exercice 51. On considère deux endomorphismes et de l'espace vectoriel que      a) Montrer que .
 
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.
tels
b) En déduire que .   Exercice 52. Soit une matrice carrée d'ordre n, à coefficients réels, et symétrique. On suppose qu'il existe un entier k 2 tel que . Montrer que .   Exercice 53.  Soit une matrice (m,n) à coefficients réels et une matrice (n,m) `a coefficients réels, avec .  Montrer que l'on a ou .   Exercice 54. Les matrices suivantes sont-elles semblables?, diagonalisables?     
.
, résoudre l'équation
 
  Exercice 55.  Etant données d'inconnue .   Exercice 56. On définit l'application de dans R par: . Montrer que est une forme quadratique dont on déterminera la signature. indication  : on pourra démontrer et utiliser le fait que est la somme directe orthogonale (pour ) du sous espace des matrices symétriques et du sous espace des matrices antisymétriques.   Exercice 57. Prouver que . Indication : on pourra effectuer le changement de variable .   Exercice 58. Déterminer le volume dans de la boule euclidienne de centre 0 et de rayon R>0. On pourra commencer par les ca n=2 et n=3 puis envisager le cas général.   Exercice 59. Soit une application continue, différente de l'application nulle et vérifiant et . On considère les suites d'applications et définies par et .  Montrer que et convergent simplement sans converger uniformément.   
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