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Alg`ebrebilin´eaireetanalysedeFourier
Tabledesmatie`res Motivations 1.Rappelsdalg`ebrelin´eaire 2.Formesbiline´airesetsemi-line´aires. 3. Produits scalaires euclidiens et hermitiens. 4.Formesquadratiques.Re´ductiondesconiquesetdes quadriques. 5.Se´riesdeFourier.
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Dans tout ce cours,KdesigneraRouC. ´ Motivations Onconside`reunebarredunmate´riauhomoge`nedelongueurnieL (nonnulle!),latempe´ratureinitiale(autempstanetontd)´=0´neeapr une fonctionϕ: [0, L]R, x7→ϕ(x).retura´emptelaeuqesoppusnO estnulleauxextr´emit´esdelabarre.SiDest le coefficient de diffusion, l´equati´egissantlatempe´ratureT(x, t)enchaquepoin`tuainsnattn on r t >dost´ennarepe0 ∂T=D2xT2. ∂t Oublions d’abord la conditionT(x,0) =ϕ(x). Autrement dit, on cherche lessolutionsve´riantseulementlesconditionsaubordT(0, t) =T(L, t) = 0. Cherchons d’abord une solution non nulle de la formeT(x, t) =f(x)g(t) (avecfetgrei´vaalorsnocsanevselbnO.)tdanhyesthpose`e f(x)g0(t) =Df00(x)g(t), soit f00(x)g0(t) = f(x)Dg(t). Commexettes,cdantepenind´lbseraaiuevxnodtsqeuqliuialeilpm existeαRtel que f00(x)g0(t) = f(x=)Dg(t)α. Ainsi, on a f00(x)αf(x) = 0 etg0(t)Dαg(t) = 0. 1
2 On a doncg(t) =λeDαtpourλR, et doncg(t)6= 0 pour toutt0 (car on chercheTnon identiquement nulle). La contrainteT(0, t) = T(L, tsrolaenıˆartne0=)f(0) =f(L) = 0. Siα= 0, on af00(x) = 0, et doncf(x) =ax+b. Les conditions f(0) =f(L) = 0 imposent alors facilementf(x) = 0 pour toutx, ce quiesta`exclureparhypoth`esesurT. Siα >0, on poseα=ω2. Alorsfest de la formef(x) =ach(ωx) + bsh(ωx), a, bR. Puisquef(0) = 0, on aa= 0. Puisquef(L) = 0, on absh(L) = 0. Comme sh(L)6= 0 puisqueL6= 0, on ab= 0 et doncf estidentiquementnulle,cequiesta`exclure. On a doncα <0, et doncα=ω2. Mais alors on a f(x) =acos(ωx) +bsin(ωx), a, b,R. Puisquef(0) = 0, on aa= 0, et puisquef(L) = 0 on absin(ωL) = 0. Puisque l’on chercheTnon nulle, on ab6= 0 et donc sin(ωL) = 0. AinsiωL=πnpourn0, et donc pour chaquen, on a une solution de la forme bnsin(xLπn)eLπ22n2Dt, ou`bnR. Autrement dit, on a π2 t(bnsin(xLπn)L2n2Dt) =xD22(bnsin(πnxL)eπ2Ln22Dt). e On a alors une solution T(x, t) =Xbnsin(xπLn)eπ2Ln22Dt. n1 En effet, on a )eπ2n2 Tt=Pn1t(bnsin(nπLxL22Dt2) =Pn1Dx22(bnsin(nπLx)eLπ2nDt) =D2xT2 Oui, mais...vireoitatensa´evensogrgd´nelauc,lno´aceahgndanscec XA priori, rien ne le justifie, car. Xest une sommeinfiniede n1n1 fonctions, donc en fait une limite d’une suite de fonctions. En fait, en ge´n´eral,linterversionestillicite(ilyadescontre-exemples). [Soit par exemplefn:RR, x7→sin(nnx.)aiClemerp,tntruotuo xR, on afn(x)0 lorsquen+. Ainsi, on a (limfn)0(0) = 0.
3 Par contre, on af0n(x) = cos(nx) et donc lim(f0n)(0) = 1. Pire,lalimitedefonctionsd´erivables(mˆemeinnimentde´rivables)peut mˆemenepaseˆtrecontinue! Soitfn: [0,1]R, x7→xn. Alors pour toutx6= 1, on afn(x)0 et fn(1)1 lorsquen+.] Maislaissonspourlinstantcesre´criminationsmatheuses. Pouravoirlexistencedunesolutionve´riantT(x,0) =ϕ(x), on doit ne´cessairementavoir ϕ(x) =Xbnsin(Lxπn) pour toutx[0, L]. n1 La question naturelle est donc : quelles sont les fonctionsϕqui peuvent sed´ecomposerdelamaniereprecedente? ` ´ ´ Remarquons que le membre de droite est une fonction 2Luqeoiid´pre-impaire.Pouravoirunechancedobtenirle´galite´,ilestnaturelde prolongerϕen une fonctionψ:RR2Lqidomieuriapledea-p´eri facon suivante. On pose ¸
ψ(x) =ϕ(x) pour toutx]L,0], et on prolongψ`Rt´e.Laqueriodiciivnetseitnoer´prapreitnetuot e a donca`savoirsionpeutde´composerlesignalpe´riodiqueψieers´ende sinus. Plusg´ene´ralement,peut-onde´composerunsignalf:RCT-perodique sous la forme ´ f(x) =a20+Xancos(2nxπT) +bn(2insTxnπ), n1 avecan, bnC? EnutilisantlesformulesdeMoivre,celarevient`asavoirsionpeut e´crire f(x) =c0+Xcne2iTnπx+cne2iTnπx=Xcke2iTkπx . n1kZ SinZ, on a donc 2inπ2i f(x)eTx=Xcke(kTn)πx. kZ On a alors π Z0Tf(x)e2iTnπxdx=kXZckZ0Te2i(Tkn)xdx.
4 Lemme 0.1.PourmZ, on a Z0Te2miTπxd0Tisisonmn= 0 x= D´emonstration.C’est un simple calcul.Reprenonslescalculspre´ce´dents.Enutilisantlelemme,onobtient alors quecn=T1ZTf(x)e2iTnπxdxlerainreegt´dereine`onetectt.On 0 parcn(f). [Remarquonsque,l`aencore,riennejustiequelonpuisse´echanger sommeinnieetinte´grale.Encoreunefois,ilyadescontre-exemples. Soitfn: [0,1]R, x7→+12nxn2x4. Clairement, pour toutx[0,1], on afn(x)0 lorsquen+. On a donc Z10limfn(x)dx= 0. En revanche, on a Z10fn(x)dx= Arctan(n)πroqseul2n+.] Modulo ce point technique, on aboutit donc ` la tion suivante : si a ques f:RCest un signalTriod-p´e,a-tiqueno-f(x) =Xcn(f)e2iTnπx? nZ Las´eriededroiteestappel´ees´eriedeFourierassocie´ea`f. Onv´eriefacilementquelleestaussie´galea ` a0(f) 22+Xan(f2s(co)nTπ) +bn(f) sin(T), n1 ou on a ` an(f) =T2Z0Tf(xoc(s2)nTπx)dx, n0 bn(f) =T2Z0Tf(x2(nis)xTπn)dx, n1. Ceprobl`emeaaussiunint´erˆetpropre,endehorsducontextedele´quation de la chaleur, puisqu’il pose la question de savoir si on peut reconstituer unsignalpe´riodiquea`partirdesesharmoniques. Le´quationdelachaleurestuncasparticulierdune´equationdediu-sion,quipeutmode´liserbiendautresphe´nom`enes.Ladiusionestle
5 processus par lequel, lorsque vous laissez tomber un morceau de sucre dansunverredeau,lesucresere´partitgraduellementparleau,ou lorsqu’un polluant se propage dans l’air, ou lorsque n’importe quelle substancedissoutesere´panddansnimportequeluide. L´etudedess´eriesdeFourierintervientd`esquelonadesph´enom`enes ondulatoires.Parexempleenastrophysique,le´tudespectraledela lumi`ere´emiseparunee´toilepermetdede´terminersacomposition. Consid´eronsmaintenantunproble`melegerementdie´rent.Etantdonn´e ´ ` un signalTiqueriod-p´efixemdrmena`irese,peut-onlapproisatisfatean par une somme d’harmoniques 2 Pn:=a20+nXakcos(πkTx) +bk2n(siπxkT)? k=1 Onpeutde´montrerquelameilleureapproximationdef(dans un sens quelonpre´cisera)commesommedenharmoniques est obtenue pour ak=ak(f), bk=bk(f) pourk= 0, . . . , n. Encore une fois, on peut alors se demander ce qui se passe lorsque n+.iRidatneenioprquriaselri´eFedeiruoedrefconverge versf. Lapproximationdunsignalparunesommeniedesinusoı¨desinter-vientdefa¸conomnipr´esentedanslacompressionnum´eriqueparla-quelledesdonne´esimages,lesaudiosetvid´eossontcompress´eesdans une taille beaucoup plus petite rendant possible leur transmission via lete´l´ephone,linternet,lese´missionssurlesondesetlesre´seauxinfor-matiques. C’est ce que l’on fait en particulier lorsque l’on convertit en formatMP3.Lorsquunsoneste´mis(cest-`a-direunevibrationdans lair),sahauteurestcaract´erise´eparsafr´equencefondamentale,cest-` direν=2Tk0π, `k0le premier entierk1 tel que (ak, bk)6= (0,0). a- ou Enrevanche,letimbredusonestd´etermin´eparlesautresharmoniques. Danslechapitre5,one´tudieraleprobl`emedeconvergencedess´eries de Fourier ; en particulier on donnera des conditions surfpour qu’elle soite´galealasommedesase´riedeFourier,etonappliqueralathe´orie ` a`lar´esolutiondele´quationdelachaleur.Lesd´emonstrations,trop techniques, seront omises. Dans les chapitres 2-spere4arieoh´raotnatlinrid,uouoniuqeuqirbe´gl mettraderesoudreleprobl`emedapproximationdunsignalensomme ´ niedharmoniques.Enparticulier,onge´n´eraliseralanotiondeproduit scalaire et de projection orthogonale (bien connues pourR2etR3). Oncommenceparquelquesrappelsdalg`ebrelin´eaire. Dans tout le cours, la lettreKraneigesd´RouC.
6 1.Rappelsdla`gbeeril´naeeir UnK-espace vectoriel est un ensembleVmuni d’une loi interne V×VV,(x, y)7→x+y, et d’une loi externe K×VV,(λ, x)7→λx, appel´eeparfoismultiplication par un scalaire, satisfaisant aux pro-prie´te´ssuivantes: (1)Ilexisteune´le´ment0Vtel que 0V+x=x+ 0V=xpour tout xV. (2)x+ (y+z) = (x+y) +zpour toutx, yV (3)x+y=y+xpour toutx, yV (4) Pour toutxVeli,tsix´nueel´ementx0Vtel quex+x0= x0+x= 0V. Cete´le´mentx0 ot´est alors unique, et est n ex. (5) 1x=xpour toutxM (6) (λµ)x=λ(µx) pour toutλ, µK, xV (7)λ(x+y) =λx+λypour toutx, yV, λK (8) (λ+µ)x=λx+µxpour toutxV, λ, µK. Exemples 1.1.Kn, K[X],Mn(K), C0(I,Res),lensembldeseustise´reell ou complexes. Unsous-espace vectorielWdeVest un sous-ensemble deVnon vide, stable par addition et multiplication par un scalaire. Dans ce cas, c’est unK-espace vectoriel pour les lois deV. Remarque 1.2.Un sous-espace vectorielWdeVcontient toujours 0V, car sixW, alors 0x= 0VW. Exemple 1.3.natio´equandUnplax+by+cz= 0 (a, b, cR) est un sous-espace vectoriel deR3. SoitVunK-espace vectoriel, et soitFune famille de vecteurs deV. Uneeomcsinoibanaeriil´nel´ed´asfdaemlimlelnetFest un vecteur deVde la forme m Xλiei, i=1 o`uλ1, . . . , λmKete1, . . . , em∈ F. Lesous-espace vectoriel deVarepr´ndgeenFest l’ensemble Vect(Fd)seocbmniiaossnlin´eairesd´el´nemeedstF. Autrement dit, m Vect(F) ={Xλiei|λ1, . . . , λmK, e1, . . . , em∈ F, m0}. i=1