Algebre bilineaire et analyse de Fourier
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Algebre bilineaire et analyse de Fourier Table des matieres Motivations 1 1. Rappels d'algebre lineaire 6 2. Formes bilineaires et semi-lineaires. 10 3. Produits scalaires euclidiens et hermitiens. 23 4. Formes quadratiques. Reduction des coniques et des quadriques. 45 5. Series de Fourier. 58 Dans tout ce cours, K designera R ou C. Motivations On considere une barre d'un materiau homogene de longueur finie L (non nulle !), la temperature initiale (au temps t = 0) etant donnee par une fonction ? : [0, L]? R, x 7? ?(x). On suppose que la temperature est nulle aux extremites de la barre. Si D est le coefficient de diffusion, l'equation regissant la temperature T (x, t) en chaque point a un instant t > 0 est donnee par ∂T ∂t = D ∂2T ∂x2 . Oublions d'abord la condition T (x, 0) = ?(x). Autrement dit, on cherche les solutions verifiant seulement les conditions au bord T (0, t) = T (L, t) = 0. Cherchons d'abord une solution non nulle de la forme T (x, t) = f(x)g(t) (avec f et g verifiant des hypotheses convenables).
Voir
- signal periodique
- resolution de l'equation de la chaleur
- ∂t ∂t
- probleme legerement
- materiau homogene de longueur finie
- somme infinie
- fourier associee
- serie de fourier
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Alg`ebrebilin´eaireetanalysedeFourier
Tabledesmatie`res Motivations 1.Rappelsd’alg`ebrelin´eaire 2.Formesbiline´airesetsemi-line´aires. 3. Produits scalaires euclidiens et hermitiens. 4.Formesquadratiques.Re´ductiondesconiquesetdes quadriques. 5.Se´riesdeFourier.
1 6 10 23 45 58
Dans tout ce cours,KdesigneraRouC. ´ Motivations Onconside`reunebarred’unmate´riauhomoge`nedelongueurfinieL (nonnulle!),latempe´ratureinitiale(autempstanetontd)´=0´neeapr une fonctionϕ: [0, L]→R, x7→ϕ(x).retura´emptelaeuqesoppusnO estnulleauxextr´emit´esdelabarre.SiDest le coefficient de diffusion, l’´equati´egissantlatempe´ratureT(x, t)enchaquepoin`tuainsnattn on r t >dost´ennarepe0 ∂T=∂D∂2xT2. ∂t Oublions d’abord la conditionT(x,0) =ϕ(x). Autrement dit, on cherche lessolutionsve´rifiantseulementlesconditionsaubordT(0, t) =T(L, t) = 0. Cherchons d’abord une solution non nulle de la formeT(x, t) =f(x)g(t) (avecfetgrefii´vaalorsnocsanevselbnO.)tdanhyesthpose`e f(x)g0(t) =Df00(x)g(t), soit f00(x)g0(t) = f(x)Dg(t). Commexettes,cdantepenind´lbseraaiuevxnodtsqeuqli’uialeilpm existeα∈Rtel que f00(x)g0(t) = f(x=)Dg(t)α. Ainsi, on a f00(x)−αf(x) = 0 etg0(t)−Dαg(t) = 0. 1
2 On a doncg(t) =λeDαtpourλ∈R, et doncg(t)6= 0 pour toutt≥0 (car on chercheTnon identiquement nulle). La contrainteT(0, t) = T(L, tsrolaenıˆartne0=)f(0) =f(L) = 0. Siα= 0, on af00(x) = 0, et doncf(x) =ax+b. Les conditions f(0) =f(L) = 0 imposent alors facilementf(x) = 0 pour toutx, ce quiesta`exclureparhypoth`esesurT. Siα >0, on poseα=ω2. Alorsfest de la formef(x) =ach(ωx) + bsh(ωx), a, b∈R. Puisquef(0) = 0, on aa= 0. Puisquef(L) = 0, on absh(L) = 0. Comme sh(L)6= 0 puisqueL6= 0, on ab= 0 et doncf estidentiquementnulle,cequiesta`exclure. On a doncα <0, et doncα=−ω2. Mais alors on a f(x) =acos(ωx) +bsin(ωx), a, b,∈R. Puisquef(0) = 0, on aa= 0, et puisquef(L) = 0 on absin(ωL) = 0. Puisque l’on chercheTnon nulle, on ab6= 0 et donc sin(ωL) = 0. AinsiωL=πnpourn≥0, et donc pour chaquen, on a une solution de la forme bnsin(xLπn)e−Lπ22n2Dt, ou`bn∈R. Autrement dit, on a π2 ∂∂t(bnsin(xLπn)−L2n2Dt) =∂x∂D22(bnsin(πnxL)e−π2Ln22Dt). e On a alors une solution T(x, t) =Xbnsin(xπLn)e−π2Ln22Dt. n≥1 En effet, on a )e−π2n2 ∂∂Tt=Pn≥1t∂∂(bnsin(nπLxL22Dt2) =Pn≥1Dx∂∂22(bnsin(nπLx)e−Lπ2nDt) =D∂∂2xT2 Oui, mais...vireoitatensa´evensogrgd´nelauc,lno´aceahgndanscec XA priori, rien ne le justifie, car. Xest une sommeinfiniede n≥1n≥1 fonctions, donc en fait une limite d’une suite de fonctions. En fait, en ge´n´eral,l’interversionestillicite(ilyadescontre-exemples). [Soit par exemplefn:R→R, x7→sin(nnx.)aiClemerp,tntruotuo x∈R, on afn(x)→0 lorsquen→+∞. Ainsi, on a (limfn)0(0) = 0.
3 Par contre, on af0n(x) = cos(nx) et donc lim(f0n)(0) = 1. Pire,lalimitedefonctionsd´erivables(mˆemeinfinimentde´rivables)peut mˆemenepaseˆtrecontinue! Soitfn: [0,1]→R, x7→xn. Alors pour toutx6= 1, on afn(x)→0 et fn(1)→1 lorsquen→+∞.] Maislaissonspourl’instantcesre´criminationsmatheuses. Pouravoirl’existenced’unesolutionve´rifiantT(x,0) =ϕ(x), on doit ne´cessairementavoir ϕ(x) =Xbnsin(Lxπn) pour toutx∈[0, L]. n≥1 La question naturelle est donc : quelles sont les fonctionsϕqui peuvent sed´ecomposerdelamaniereprecedente? ` ´ ´ Remarquons que le membre de droite est une fonction 2Luqeoiid´pre-impaire.Pouravoirunechanced’obtenirl’e´galite´,ilestnaturelde prolongerϕen une fonctionψ:R→R2Lqidomieuriapledea-p´eri facon suivante. On pose ¸
ψ(x) =ϕ(−x) pour toutx∈]−L,0], et on prolongψ`Rt´e.Laqueriodiciivnetseitnoer´prapreitnetuot e a donca`savoirsionpeutde´composerlesignalpe´riodiqueψieers´ende sinus. Plusg´ene´ralement,peut-onde´composerunsignalf:R→CT-perodique sous la forme ´ f(x) =a20+Xancos(2nxπT) +bn(2insTxnπ), n≥1 avecan, bn∈C? EnutilisantlesformulesdeMoivre,celarevient`asavoirsionpeut e´crire f(x) =c0+Xc−ne−2iTnπx+cne2iTnπx=Xcke2iTkπx . n≥1k∈Z Sin∈Z, on a donc 2inπ2i f(x)e−Tx=Xcke(kT−n)πx. k∈Z On a alors π Z0Tf(x)e−2iTnπxdx=k∈XZckZ0Te2i(Tk−n)xdx.
4 Lemme 0.1.Pourm∈Z, on a Z0Te2miTπxd0Tisisonmn= 0 x= D´emonstration.C’est un simple calcul. Reprenonslescalculspre´ce´dents.Enutilisantlelemme,onobtient alors quecn=T1ZTf(x)e−2iTnπxdxlerainreegt´dereine`onetectt.On 0 parcn(f). [Remarquonsque,l`aencore,riennejustifiequel’onpuisse´echanger sommeinfinieetinte´grale.Encoreunefois,ilyadescontre-exemples. Soitfn: [0,1]→R, x7→+12nxn2x4. Clairement, pour toutx∈[0,1], on afn(x)→0 lorsquen→+∞. On a donc Z10limfn(x)dx= 0. En revanche, on a Z10fn(x)dx= Arctan(n)→πroqseul2n→+∞.] Modulo ce point technique, on aboutit donc ` la tion suivante : si a ques f:R→Cest un signalTriod-p´e,a-tiqueno-f(x) =Xcn(f)e2iTnπx? n∈Z Las´eriededroiteestappel´ees´eriedeFourierassocie´ea`f. Onv´erifiefacilementqu’elleestaussie´galea ` a0(f) 2nπ 2+Xan(f2s(co)nTπ) +bn(f) sin(T), n≥1 ou on a ` an(f) =T2Z0Tf(xoc(s2)nTπx)dx, n≥0 bn(f) =T2Z0Tf(x2(nis)xTπn)dx, n≥1. Ceprobl`emeaaussiunint´erˆetpropre,endehorsducontextedel’e´quation de la chaleur, puisqu’il pose la question de savoir si on peut reconstituer unsignalpe´riodiquea`partirdesesharmoniques. L’e´quationdelachaleurestuncasparticulierd’une´equationdediffu-sion,quipeutmode´liserbiend’autresphe´nom`enes.Ladiffusionestle
5 processus par lequel, lorsque vous laissez tomber un morceau de sucre dansunverred’eau,lesucresere´partitgraduellementparl’eau,ou lorsqu’un polluant se propage dans l’air, ou lorsque n’importe quelle substancedissoutesere´panddansn’importequelfluide. L’´etudedess´eriesdeFourierintervientd`esquel’onadesph´enom`enes ondulatoires.Parexempleenastrophysique,l’e´tudespectraledela lumi`ere´emiseparunee´toilepermetdede´terminersacomposition. Consid´eronsmaintenantunproble`melegerementdiffe´rent.Etantdonn´e ´ ` un signalTiqueriod-p´efixemdrmena`irese,peut-onl’approisatisfatean par une somme d’harmoniques 2 Pn:=a20+nXakcos(πkTx) +bk2n(siπxkT)? k=1 Onpeutde´montrerquelameilleureapproximationdef(dans un sens quel’onpre´cisera)commesommedenharmoniques est obtenue pour ak=ak(f), bk=bk(f) pourk= 0, . . . , n. Encore une fois, on peut alors se demander ce qui se passe lorsque n→+∞.iRidatneenioprquriaselri´eFedeiruoedrefconverge versf. L’approximationd’unsignalparunesommefiniedesinusoı¨desinter-vientdefa¸conomnipr´esentedanslacompressionnum´eriqueparla-quelledesdonne´esimages,lesaudiosetvid´eossontcompress´eesdans une taille beaucoup plus petite rendant possible leur transmission via lete´l´ephone,l’internet,lese´missionssurlesondesetlesre´seauxinfor-matiques. C’est ce que l’on fait en particulier lorsque l’on convertit en formatMP3.Lorsqu’unsoneste´mis(c’est-`a-direunevibrationdans l’air),sahauteurestcaract´erise´eparsafr´equencefondamentale,c’est-` direν=2Tk0π, `k0le premier entierk≥1 tel que (ak, bk)6= (0,0). a- ou Enrevanche,letimbredusonestd´etermin´eparlesautresharmoniques. Danslechapitre5,one´tudieraleprobl`emedeconvergencedess´eries de Fourier ; en particulier on donnera des conditions surfpour qu’elle soite´galealasommedesase´riedeFourier,etonappliqueralathe´orie ` a`lar´esolutiondel’e´quationdelachaleur.Lesd´emonstrations,trop techniques, seront omises. Dans les chapitres 2−-spere4arieoh´raotnatlinrid,uouoniuqeuqirbe´gl mettraderesoudreleprobl`emed’approximationd’unsignalensomme ´ finied’harmoniques.Enparticulier,onge´n´eraliseralanotiondeproduit scalaire et de projection orthogonale (bien connues pourR2etR3). Oncommenceparquelquesrappelsd’alg`ebrelin´eaire. Dans tout le cours, la lettreKraneigesd´RouC.
6 1.Rappels’dla`gbeeril´naeeir UnK-espace vectoriel est un ensembleVmuni d’une loi interne V×V→V,(x, y)7→x+y, et d’une loi externe K×V→V,(λ, x)7→λ∙x, appel´eeparfoismultiplication par un scalaire, satisfaisant aux pro-prie´te´ssuivantes: (1)Ilexisteune´le´ment0Vtel que 0V+x=x+ 0V=xpour tout x∈V. (2)x+ (y+z) = (x+y) +zpour toutx, y∈V (3)x+y=y+xpour toutx, y∈V (4) Pour toutx∈Veli,tsix´nueel´ementx0∈Vtel quex+x0= x0+x= 0V. Cete´le´mentx0 ot´est alors unique, et est n e−x. (5) 1∙x=xpour toutx∈M (6) (λµ)∙x=λ∙(µ∙x) pour toutλ, µ∈K, x∈V (7)λ∙(x+y) =λ∙x+λ∙ypour toutx, y∈V, λ∈K (8) (λ+µ)∙x=λ∙x+µ∙xpour toutx∈V, λ, µ∈K. Exemples 1.1.Kn, K[X],Mn(K), C0(I,Res),l’ensembldeseustise´reell ou complexes. Unsous-espace vectorielWdeVest un sous-ensemble deVnon vide, stable par addition et multiplication par un scalaire. Dans ce cas, c’est unK-espace vectoriel pour les lois deV. Remarque 1.2.Un sous-espace vectorielWdeVcontient toujours 0V, car six∈W, alors 0∙x= 0V∈W. Exemple 1.3.natio´equand’Unplax+by+cz= 0 (a, b, c∈R) est un sous-espace vectoriel deR3. SoitVunK-espace vectoriel, et soitFune famille de vecteurs deV. Uneeomcsinoibanaeriil´nel´ed’´asfdaemlimlelnetFest un vecteur deVde la forme m Xλiei, i=1 o`uλ1, . . . , λm∈Kete1, . . . , em∈ F. Lesous-espace vectoriel deVarepr´ndgeenFest l’ensemble Vect(Fd)seocbmniiaossnlin´eairesd’´el´nemeedstF. Autrement dit, m Vect(F) ={Xλiei|λ1, . . . , λm∈K, e1, . . . , em∈ F, m≥0}. i=1
