Algebre bilineaire et analyse de Fourier

Description

Algebre bilineaire et analyse de Fourier Table des matieres Motivations 1 1. Rappels d'algebre lineaire 6 2. Formes bilineaires et semi-lineaires. 10 3. Produits scalaires euclidiens et hermitiens. 23 4. Formes quadratiques. Reduction des coniques et des quadriques. 45 5. Series de Fourier. 58 Dans tout ce cours, K designera R ou C. Motivations On considere une barre d'un materiau homogene de longueur finie L (non nulle !), la temperature initiale (au temps t = 0) etant donnee par une fonction ? : [0, L]? R, x 7? ?(x). On suppose que la temperature est nulle aux extremites de la barre. Si D est le coefficient de diffusion, l'equation regissant la temperature T (x, t) en chaque point a un instant t > 0 est donnee par ∂T ∂t = D ∂2T ∂x2 . Oublions d'abord la condition T (x, 0) = ?(x). Autrement dit, on cherche les solutions verifiant seulement les conditions au bord T (0, t) = T (L, t) = 0. Cherchons d'abord une solution non nulle de la forme T (x, t) = f(x)g(t) (avec f et g verifiant des hypotheses convenables).

• signal periodique


• resolution de l'equation de la chaleur


• ∂t ∂t


• probleme legerement


• materiau homogene de longueur finie


• somme infinie


• fourier associee


• serie de fourier

Sujets

• Signal périodique
• Série (mathématiques)
• Série de Fourier
• multiplication
• cours

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Extrait

Alg`ebrebilin´eaireetanalysedeFourier

Tabledesmatie ` res Motivations 1.Rappelsd’alg`ebrelin´eaire 2.Formesbiline´airesetsemi-line´aires. 3. Produits scalaires euclidiens et hermitiens. 4.Formesquadratiques.Re´ductiondesconiquesetdes quadriques. 5.Se´riesdeFourier.

1 6 10 23 45 58

Dans tout ce cours,KdesigneraRouC. ´ Motivations Onconside`reunebarred’unmate´riauhomoge`nedelongueurfinieL (nonnulle!),latempe´ratureinitiale(autempstanetontd)´=0´neeapr une fonctionϕ: [0, L]→R, x7→ϕ(x).retura´emptelaeuqesoppusnO estnulleauxextr´emit´esdelabarre.SiDest le coefficient de diffusion, l’´equati´egissantlatempe´ratureT(x, t)enchaquepoin`tuainsnattn on r t >dost´ennarepe0 ∂T = ∂ D ∂ 2 x T 2 . ∂t Oublions d’abord la conditionT(x,0) =ϕ(x). Autrement dit, on cherche lessolutionsve´rifiantseulementlesconditionsaubordT(0, t) =T(L, t) = 0. Cherchons d’abord une solution non nulle de la formeT(x, t) =f(x)g(t) (avecfetgrefii´vaalorsnocsanevselbnO.)tdanhyesthpose`e f(x)g 0 (t) =Df 00 (x)g(t), soit f 00 (x)g 0 (t) = f(x)Dg(t) . Commexettes,cdantepenind´lbseraaiuevxnodtsqeuqli’uialeilpm existeα∈Rtel que f 00 (x)g 0 (t) = f(x = )Dg(t) α. Ainsi, on a f 00 (x)−αf(x) = 0 etg 0 (t)−Dαg(t) = 0. 1

2 On a doncg(t) =λe Dαt pourλ∈R, et doncg(t)6= 0 pour toutt≥0 (car on chercheTnon identiquement nulle). La contrainteT(0, t) = T(L, tsrolaenıˆartne0=)f(0) =f(L) = 0. Siα= 0, on af 00 (x) = 0, et doncf(x) =ax+b. Les conditions f(0) =f(L) = 0 imposent alors facilementf(x) = 0 pour toutx, ce quiesta`exclureparhypoth`esesurT. Siα >0, on poseα=ω 2 . Alorsfest de la formef(x) =ach(ωx) + bsh(ωx), a, b∈R. Puisquef(0) = 0, on aa= 0. Puisquef(L) = 0, on absh(L) = 0. Comme sh(L)6= 0 puisqueL6= 0, on ab= 0 et doncf estidentiquementnulle,cequiesta`exclure. On a doncα <0, et doncα=−ω 2 . Mais alors on a f(x) =acos(ωx) +bsin(ωx), a, b,∈R. Puisquef(0) = 0, on aa= 0, et puisquef(L) = 0 on absin(ωL) = 0. Puisque l’on chercheTnon nulle, on ab6= 0 et donc sin(ωL) = 0. AinsiωL=πnpourn≥0, et donc pour chaquen, on a une solution de la forme b n sin(x L πn )e − L π 2 2 n 2 Dt , ou`b n ∈R. Autrement dit, on a π 2 ∂ ∂ t (b n sin(x L πn ) − L 2 n 2 Dt ) = ∂x ∂ D 2 2 (b n sin( πn x L )e − π 2 Ln 2 2 Dt ). e On a alors une solution T(x, t) = X b n sin(x π L n )e − π 2 Ln 2 2 Dt . n≥1 En effet, on a )e − π 2 n 2 ∂ ∂ T t = P n≥1 t ∂ ∂ (b n sin( nπ L x L 2 2 Dt 2 ) = P n≥1 D x∂ ∂ 2 2 (b n sin( nπ L x)e − L π 2 n Dt ) =D ∂ ∂ 2 x T 2 Oui, mais...vireoitatensa´evensogrgd´nelauc,lno´aceahgndanscec X A priori, rien ne le justifie, car. X est une sommeinfiniede n≥1n≥1 fonctions, donc en fait une limite d’une suite de fonctions. En fait, en ge´n´eral,l’interversionestillicite(ilyadescontre-exemples). [Soit par exemplef n :R→R, x7→ sin(n n x . ) aiClemerp,tntruotuo x∈R, on af n (x)→0 lorsquen→+∞. Ainsi, on a (limf n ) 0 (0) = 0.

3 Par contre, on af 0 n (x) = cos(nx) et donc lim(f 0 n )(0) = 1. Pire,lalimitedefonctionsd´erivables(mˆemeinfinimentde´rivables)peut mˆemenepaseˆtrecontinue! Soitf n : [0,1]→R, x7→x n . Alors pour toutx6= 1, on af n (x)→0 et f n (1)→1 lorsquen→+∞.] Maislaissonspourl’instantcesre´criminationsmatheuses. Pouravoirl’existenced’unesolutionve´rifiantT(x,0) =ϕ(x), on doit ne´cessairementavoir ϕ(x) = X b n sin( L x πn ) pour toutx∈[0, L]. n≥1 La question naturelle est donc : quelles sont les fonctionsϕqui peuvent sed´ecomposerdelamaniereprecedente? ` ´ ´ Remarquons que le membre de droite est une fonction 2Luqeoiid´pre- impaire.Pouravoirunechanced’obtenirl’e´galite´,ilestnaturelde prolongerϕen une fonctionψ:R→R2Lqidomieuriapledea-p´eri facon suivante. On pose ¸

ψ(x) =ϕ(−x) pour toutx∈]−L,0], et on prolongψ`Rt´e.Laqueriodiciivnetseitnoer´prapreitnetuot e a donca`savoirsionpeutde´composerlesignalpe´riodiqueψieers´ende sinus. Plusg´ene´ralement,peut-onde´composerunsignalf:R→CT- perodique sous la forme ´ f(x) = a 2 0 + X a n cos( 2n x π T ) +b n ( 2 ins T x nπ ), n≥1 aveca n , b n ∈C? EnutilisantlesformulesdeMoivre,celarevient`asavoirsionpeut e´crire f(x) =c 0 + X c −n e − 2iTnπ x +c n e 2iTnπ x = X c k e 2iTkπ x . n≥1 k∈Z Sin∈Z, on a donc 2inπ 2i f(x)e − T x = X c k e (k T −n)π x . k∈Z On a alors π Z 0 T f(x)e − 2iTnπ x dx= k∈ X Z c k Z 0 T e 2i( T k−n) x dx.

4 Lemme 0.1.Pourm∈Z, on a Z 0 T e 2mi T π x d  0 Tis ison m n = 0 x= D´emonstration.C’est un simple calcul. Reprenonslescalculspre´ce´dents.Enutilisantlelemme,onobtient alors quec n = T 1 Z T f(x)e − 2iTnπ x dxlerainreegt´dereine`onetectt.On 0 parc n (f). [Remarquonsque,l`aencore,riennejustifiequel’onpuisse´echanger sommeinfinieetinte´grale.Encoreunefois,ilyadescontre-exemples. Soitf n : [0,1]→R, x7→ +1 2 n xn 2 x 4 . Clairement, pour toutx∈[0,1], on af n (x)→0 lorsquen→+∞. On a donc Z 1 0 limf n (x)dx= 0. En revanche, on a Z 1 0 f n (x)dx= Arctan(n)→ π roqseul 2 n→+∞.] Modulo ce point technique, on aboutit donc ` la tion suivante : si a ques f:R→Cest un signalTriod-p´e,a-tiqueno- f(x) = X c n (f)e 2iTnπ x ? n∈Z Las´eriededroiteestappel´ees´eriedeFourierassocie´ea`f. Onv´erifiefacilementqu’elleestaussie´galea ` a 0 (f) 2nπ 2 + X a n (f 2 s(co) n T π ) +b n (f) sin( T ), n≥1 ou on a ` a n (f) = T 2 Z 0 T f(xoc(s 2 ) n T π x)dx, n≥0 b n (f) = T 2 Z 0 T f(x 2 (nis)x T πn )dx, n≥1. Ceprobl`emeaaussiunint´erˆetpropre,endehorsducontextedel’e´quation de la chaleur, puisqu’il pose la question de savoir si on peut reconstituer unsignalpe´riodiquea`partirdesesharmoniques. L’e´quationdelachaleurestuncasparticulierd’une´equationdediffu- sion,quipeutmode´liserbiend’autresphe´nom`enes.Ladiffusionestle

5 processus par lequel, lorsque vous laissez tomber un morceau de sucre dansunverred’eau,lesucresere´partitgraduellementparl’eau,ou lorsqu’un polluant se propage dans l’air, ou lorsque n’importe quelle substancedissoutesere´panddansn’importequelfluide. L’´etudedess´eriesdeFourierintervientd`esquel’onadesph´enom`enes ondulatoires.Parexempleenastrophysique,l’e´tudespectraledela lumi`ere´emiseparunee´toilepermetdede´terminersacomposition. Consid´eronsmaintenantunproble`melegerementdiffe´rent.Etantdonn´e ´ ` un signalTiqueriod-p´efixemdrmena`irese,peut-onl’approisatisfatean par une somme d’harmoniques 2 P n := a 2 0 + n X a k cos( πk T x ) +b k 2 n(si πxk T )? k=1 Onpeutde´montrerquelameilleureapproximationdef(dans un sens quel’onpre´cisera)commesommedenharmoniques est obtenue pour a k =a k (f), b k =b k (f) pourk= 0, . . . , n. Encore une fois, on peut alors se demander ce qui se passe lorsque n→+∞.iRidatneenioprquriaselri´eFedeiruoedrefconverge versf. L’approximationd’unsignalparunesommefiniedesinusoı¨desinter- vientdefa¸conomnipr´esentedanslacompressionnum´eriqueparla- quelledesdonne´esimages,lesaudiosetvid´eossontcompress´eesdans une taille beaucoup plus petite rendant possible leur transmission via lete´l´ephone,l’internet,lese´missionssurlesondesetlesre´seauxinfor- matiques. C’est ce que l’on fait en particulier lorsque l’on convertit en formatMP3.Lorsqu’unsoneste´mis(c’est-`a-direunevibrationdans l’air),sahauteurestcaract´erise´eparsafr´equencefondamentale,c’est- ` direν= 2 T k 0 π , `k 0 le premier entierk≥1 tel que (a k , b k )6= (0,0). a- ou Enrevanche,letimbredusonestd´etermin´eparlesautresharmoniques. Danslechapitre5,one´tudieraleprobl`emedeconvergencedess´eries de Fourier ; en particulier on donnera des conditions surfpour qu’elle soite´galealasommedesase´riedeFourier,etonappliqueralathe´orie ` a`lar´esolutiondel’e´quationdelachaleur.Lesd´emonstrations,trop techniques, seront omises. Dans les chapitres 2−-spere4arieoh´raotnatlinrid,uouoniuqeuqirbe´gl mettraderesoudreleprobl`emed’approximationd’unsignalensomme ´ finied’harmoniques.Enparticulier,onge´n´eraliseralanotiondeproduit scalaire et de projection orthogonale (bien connues pourR 2 etR 3 ). Oncommenceparquelquesrappelsd’alg`ebrelin´eaire. Dans tout le cours, la lettreKraneigesd´RouC.

6 1.Rappels’dla ` gbeeril ´ naeeir UnK-espace vectoriel est un ensembleVmuni d’une loi interne V×V→V,(x, y)7→x+y, et d’une loi externe K×V→V,(λ, x)7→λ∙x, appel´eeparfoismultiplication par un scalaire, satisfaisant aux pro- prie´te´ssuivantes: (1)Ilexisteune´le´ment0 V tel que 0 V +x=x+ 0 V =xpour tout x∈V. (2)x+ (y+z) = (x+y) +zpour toutx, y∈V (3)x+y=y+xpour toutx, y∈V (4) Pour toutx∈Veli,tsix´nueel´ementx 0 ∈Vtel quex+x 0 = x 0 +x= 0 V . Cete´le´mentx 0  ot´est alors unique, et est n e−x. (5) 1∙x=xpour toutx∈M (6) (λµ)∙x=λ∙(µ∙x) pour toutλ, µ∈K, x∈V (7)λ∙(x+y) =λ∙x+λ∙ypour toutx, y∈V, λ∈K (8) (λ+µ)∙x=λ∙x+µ∙xpour toutx∈V, λ, µ∈K. Exemples 1.1.K n , K[X],M n (K), C 0 (I,Res),l’ensembldeseustise´reell ou complexes. Unsous-espace vectorielWdeVest un sous-ensemble deVnon vide, stable par addition et multiplication par un scalaire. Dans ce cas, c’est unK-espace vectoriel pour les lois deV. Remarque 1.2.Un sous-espace vectorielWdeVcontient toujours 0 V , car six∈W, alors 0∙x= 0 V ∈W. Exemple 1.3.natio´equand’Unplax+by+cz= 0 (a, b, c∈R) est un sous-espace vectoriel deR 3 . SoitVunK-espace vectoriel, et soitFune famille de vecteurs deV. Uneeomcsinoibanaeriil´nel´ed’´asfdaemlimlelnetFest un vecteur deVde la forme m X λ i e i , i=1 o`uλ 1 , . . . , λ m ∈Kete 1 , . . . , e m ∈ F. Lesous-espace vectoriel deVarepr´ndgeenFest l’ensemble Vect(Fd)seocbmniiaossnlin´eairesd’´el´nemeedstF. Autrement dit, m Vect(F) ={ X λ i e i |λ 1 , . . . , λ m ∈K, e 1 , . . . , e m ∈ F, m≥0}. i=1