Cet ouvrage fait partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le lire en ligne
En savoir plus

APPLICATION DE HODGE TATE DUALE D'UN GROUPE DE LUBIN TATE IMMEUBLE DE BRUHAT TITS DU GROUPE LINEAIRE ET FILTRATIONS

56 pages
APPLICATION DE HODGE-TATE DUALE D'UN GROUPE DE LUBIN-TATE, IMMEUBLE DE BRUHAT-TITS DU GROUPE LINEAIRE ET FILTRATIONS DE RAMIFICATION LAURENT FARGUES Resume. L'un des buts de cet article est de decrire l'isomorphisme entre les tours de Lubin- Tate et de Drinfeld au niveau de leurs squelettes apres quotient par GLn(OF ) ? O?D ou bien I ?O?D ou OD est l'ordre maximal dans l'algebre a division d'invariant 1 n sur F et I un sous- groupe d'Iwahori de GLn. Nous donnons des applications a l'etude des sous-groupes canoniques sur les espaces de Lubin-Tate, la description des orbites de Hecke spheriques dans ces espaces, les domaines fondamentaux pour les correspondances de Hecke et l'application des periodes de Gross-Hopkins. Nous-y etudions egalement en detail les filtrations de ramification (inferieure et superieure) et l'application de Hodge-Tate d'un groupe formel p-divisible de dimension un. Abstract. One of the goals of this article is to describe the isomorphism between Lubin-Tate and Drinfeld towers at the level of their skeletons after taking quotient by GLn(OF ) ?O?D or I?O?D where OD is the maximal order in the division algebra with invariant 1 n over F and I a Iwahori subgroup of GLn. We give applications to the theory of canonical subgroups on Lubin- Tate spaces, the description of spherical Hecke orbits in those spaces, fundamental domains for Hecke correspondences and the Gross-Hopkins period mapping.

  • action des correspon- dances de hecke

  • hodge-tate

  • groupe formel

  • filtrations de ramification

  • espace des polygones de newton

  • point dans l'immeuble


Voir plus Voir moins

APPLICATION DE HODGE-TATE DUALE D’UN GROUPE DE LUBIN-TATE,
´IMMEUBLE DE BRUHAT-TITS DU GROUPE LINEAIRE ET FILTRATIONS
DE RAMIFICATION
LAURENT FARGUES
´ ´Resume. L’un des buts de cet article est de d´ecrire l’isomorphisme entre les tours de Lubin-
×
Tate et de Drinfeld au niveau de leurs squelettes apr`es quotient par GL (O )×O ou bienn F D
× 1I×O ou` O est l’ordre maximal dans l’alg`ebre a` division d’invariant sur F et I un sous-DD n
groupe d’Iwahori de GL . Nous donnons des applications a` l’´etude des sous-groupes canoniquesn
sur les espaces de Lubin-Tate, la description des orbites de Hecke sph´eriques dans ces espaces,
les domaines fondamentaux pour les correspondances de Hecke et l’application des p´eriodes de
Gross-Hopkins. Nous-y ´etudions ´egalement en d´etail les filtrations de ramification (inf´erieure et
sup´erieure) et l’application de Hodge-Tate d’un groupe formel p-divisible de dimension un.
Abstract. One of the goals of this article is to describe the isomorphism between Lubin-Tate
×and Drinfeld towers at the level of their skeletons after taking quotient by GL (O )×O orn F D
× 1I×O whereO is the maximal order in the division algebra with invariant over F and I aDD n
Iwahori subgroup of GL . We give applications to the theory of canonical subgroups on Lubin-n
Tate spaces, the description of spherical Hecke orbits in those spaces, fundamental domains for
Hecke correspondences and the Gross-Hopkins period mapping. We also study in details the
ramification filtrations (upper and lower) and the Hodge-Tate map of a one dimensional formal
p-divisible group.
Introduction
Soit F une extension de degr´e fini de Q et n ≥ 1 un entier. L’un des buts de cet article estp
de d´ecrire l’isomorphisme entre les squelettes des tours de Lubin-Tate et de Drinfeld apr`es quo-
× ×tient par GL (O )×O ou bien I ×O ou` O est l’ordre maximal dans l’alg`ebre `a divisionn F DD D
1d’invariant etI un sous-groupe d’Iwahori de GL . Aucun des r´esultats de cet article ne d´ecoulenn
de l’existence de cet isomorphisme. Par exemple, le fait que l’isomorphisme entre les deux tours
induise une application au niveau des “squelettes” ne d´ecoule pas de son existence. Les r´esultats
de cet article donnent des compl´ements sur la structure de cet isomorphisme. R´eciproquement ils
ne sont pas n´ecessaires a` sa construction.
L’isomorphismeentrelestoursdeLubin-TateetdeDrinfeldauniveaudespointsdeFaltings([6],
cf. ´egalement le chapitre II de [7] pour une version plus d´etaill´ee) est un isomorphisme GL (F)×n
×D -´equivariant en niveau infini

LT Dr∞ ∞
×n−1˚ Dr /O =ΩLT /GL (O )=B ∞∞ n F D
n−1˚ou`LT d´esigne “la tour de Lubin-Tate en niveau infini”,Dr celle de Drinfeld,B la boulep-∞ ∞
n−1adique“ouverte”endimensionn−1etΩ⊂P l’espacedeDrinfeld.Ilinduitunhom´eomorphisme
2000 Mathematics Subject Classification. 14Gxx.
Key words and phrases. Lubin-Tate spaces, Drinfeld spaces, p-divisible groups, Hodge-Tate decomposition,
Bruhat-Tits building.
1
//2 frenchLAURENT FARGUES
des espaces analytiques p-adiques de Berkovich associ´es

|LT |−→|Dr |∞ ∞
×
Par passage au quotient par GL (O )×O il induit donc une applicationn F D
× n−1˚O \|B |−→ GL (F)\|Ω|nD
On va d´ecrire cette application au niveau des squelettes de ces deux espaces.
Plutˆot que de tenter de d´ecrire le r´esultat g´en´eralexplicitons ce que cela signifie sur la figure 1
×
dans le cas de GL pour le quotient par GL (Z )×O :2 2 p D
– L’espace de Lubin-Tate sans niveau (la tour de Lubin-Tate quotient´ee par GL (Z )) est2 p
1˚une boule ouverte p-adique au sens de Berkovich B . Dans ce cas l`a appelons squelette de
˚1B un rayon de cette boule ]0,+∞]. Il y a une r´etraction (la fl`eche verticale de gauche)
˚1|B |−→]0,+∞] donn´ee par la valuation de la coordonn´ee dans la boule.
×– L’espace de Drinfeld sans niveau (la tour de Drinfeld apr`es quotient parO ) est l’espace ΩD
de Drinfeld ayantpourC -pointsC \Q . Son squelette est l’arbre de Bruhat-TitsI de GL .p p p 2
Il y a une r´etraction (la fl`eche verticale de droite)|Ω|−→I qui apr`es quotient par GL (Z )2 p
fournit une r´etraction GL (Z )\|Ω|−→GL (Z )\I.2 p 2 p
2– SiD d´esigne une demi-droite simpliciale d’origine la classe du r´eseauZ dans l’arbreI alorsp

D est un domaine fondamental pour l’action de GL (Z ) surI etD−→GL (Z )\I.2 p 2 p
– L’isomorphisme entre les deux tours induit une application ]0,+∞]−→D
– On d´ecrit alors compl`etement la structure simpliciale sur ]0,+∞] d´eduite de celle surD par
l’application pr´ec´edente.
– Apr`esquotientparune“petite”partiede]0,+∞]l’applicationinduitunisomorphisme(fl`eche
du bas).
Le r´esultat est du mˆeme type pour GL , bien qu’un peu plus compliqu´e `a ´enoncer.n
Ω
GL (Z )
2 p
x
v(x)
q GL (Z )q+1 2 p
+ 1 1 1 0
q+1 2q(q+1) q (q+1)
isomorphisme
Fig. 1. Le cas de GL2
Ind´ependamment de l’isomorphisme entre les deux tours la structure simpliciale que nous ex-
plicitons sur l’espace de Lubin-Tate a de nombreuses applications comme l’´etude des sous-groupes
canoniques, la d´etermination de domaines fondamentaux pour les correspondances de Hecke et
l’´etude du morphisme des p´eriodes.
L’un des autres buts de cet article est d’´etudier en d´etails la filtration donn´ee par la valuation des
points de torsion sur un groupe formel p-divisible de dimension un.
D´ecrivons succinctement le contenu de chacune des parties de l’article :
8´frenchAPPLICATION DE HODGE-TATE ET IMMEUBLE DU GROUPE LINEAIRE 3
– Dans le premier chapitre nous donnons une formule pour la valuation p-adique des p´eriodes
de Hodge-Tate du dual de Cartier d’un groupe p-divisible formel de dimension un sur un
anneau de valuation (pas forc´ement discr`ete) complet pour une valuation de hauteur 1. En
fait, nous consid´erons plus g´en´eralement le cas d’un O-module formel π-divisible ou` O est
l’anneau des entiers d’une extension de degr´e fini de Q . Dans ce cas la bonne notion dep
dualit´e remplac¸ant la dualit´e de Cartier est celle d´efinie par Faltings ([5]). Le lecteur ne
connaissant pas la th´eorie de [5] pourra supposerO =Z .p
– Danslesecondchapitreon´etudielafiltrationdonn´eeparlavaluationsurlespointsdetorsion
d’un groupe formelπ-divisible de dimension 1. Cette filtration fournit une famille de r´eseaux
danslemodule deTaterationnelV .L’imagedansl’immeuble de Bruhat-Titsde PGL(V )dep p
cetensembleestunensemblefinidesommets.Deplus les´el´ementsde valuationsuffisamment
petite d´ecrivent un simplexe S de cet immeuble. L’un des principaux r´esultats est que cet
ensemble est contenu dans un appartement et peut ˆetre reconstruit g´eom´etriquement dans
l’immeuble `a partir du simplexeS et du sommet donn´e par le r´eseauT ⊂V ou` T d´esignep p p
le module de Tate.
Nous donnons ´egalement une description combinatoire du simplexe S `a partir du polygone
de Newton de la multiplication par π sur une loi de groupe formel associ´ee.
– Letroisi`emechapitreestinspir´eparlestravauxd’Abbes-SaitoetAbbes-Mokrane([1]).Lafil-
trationsurlespointsdetorsion´etudi´eedansledeuxi`emechapitresecomportebienparrestric-
tion `a un sous-groupe: siH est un groupe formelp-divisible de dimension 1 etG ⊂G ⊂H2 1
des sous-groupes plats finis alors ∀λ{x∈ G | v(x)≥ λ}∩G ={x∈ G | v(x) ≥ λ}. Par1 2 2
contre cette filtration dite de “ramificationinf´erieure” ne se comporte pas bien par isog´enies.
C’estlecasdelafiltrationd´efinieentouteg´en´eralit´esdans[1].Danslecasquenous´etudions,
celui des sous-groupes plats finis d’un groupe formel p-divisible de dimension 1, l’alg`ebre de
ces groupes est monog`ene et la filtration de ramification sup´erieure de [1] est obtenue par
r´eindexation de la filtration de ramification inf´erieure via une fonction de Herbrand. Cela
est expliqu´e dans l’appendice B. La terminologie “inf´erieure/sup´erieur” provient par analo-
gie avec la th´eorie des groupes de ramification des groupes de Galois des corps locaux : les
groupes de ramification inf´erieure se comportent bien par restriction `a un sous-groupe de
Galois tandis que ceux de ramification sup´erieure se comportent bien vis `a vis d’un quotient.
Nous ´etudions cette filtration de ramification sup´erieure ainsi que son image dans l’im-
meuble de la mˆeme fac¸on que dans le chapitre deux.
– Dans le quatri`eme chapitre on ´etudie le point de la r´ealisation g´eom´etrique de l’immeuble
d´efiniparl’applicationdeHodge-Tateduduald’unO-moduleformelπ-divisiblededimension
un. Ce point est la classe d’´equivalence de la norme sur le module de Tate rationnel donn´ee
par la valuation de l’application de Hodge-Tate ´etudi´ee dans le premier chapitre. On donne
des formules int´egrales pour cette norme en fonction des filtrations ´etudi´ees aux chapitres 2
et 3. Cette formule est particuli`erement simple lorsque formul´ee en termes de la filtration de
ramification sup´erieure (proposition 14).
L’un des principaux corollaires de ces formules est que ce point dans l’immeuble est contenu
dans la r´ealisation g´eom´etrique|S| du simplexe S d´efini au chapitre 2.
– Dans le chapitre 5 ond´efinit et´etudie une structure simpliciale sur le squelette de l’espace de
Lubin-Tatesansniveau.Le bonobjetn’estpasenfaitce squelettemaisplutoˆtunquotientde
celui-ci, l’espace des polygones de Newton. On d´ecrit compl`etementune structure simpliciale
sur cet espace des polygones de Newton ainsi que l’action de certains op´erateurs de Hecke
sur cet espace simplicial.
La d´efinition de cette structure simpliciale est inspir´ee des r´esultats des chapitres 2 et 4.
– Dans le chapitre 6 on montre que la bijection entre les points des tours de Lubin-Tate et de
Drinfeldinduitunisomorphismeentrel’espacedespolygonesdeNewtonmunide lastructure
simpliciale d´efinie au chapitre 5 et le quotient de l’immeuble de PGL par un sous-groupen
compact maximal.
– Le chapitre 7 est consacr´e aux applications de la structure simpliciale sur l’espace des poly-
gones de Newton et de l’action des op´erateurs de Hecke sur celle-ci. Certains raisonnements
sur l’espace de Lubin-Tate s’interpr`etent naturellement sur un appartement de l’immeuble.4 frenchLAURENT FARGUES
Parexemple ond´emontreque l’existence de sous-groupescanoniquesen un sens g´en´eralis´e
est´equivalent`acequelepointdansl’immeublesoitcontenudansuncertaindemi-appartement.
Cela d´emontre par un simple raisonnement g´eom´etrique que le “bord” de l’espace de Lubin-
Tate est recouvertpar des ouverts admissibles sur lesquels il y a des sous-groupescanoniques
puisque c’est le cas dans l’immeuble. L’application quotient par un sous-groupe canonique
se comprend ´egalement tr`es facilement sur l’immeuble, de mˆeme que l’action des correspon-
dances de Hecke.
Coupl´e aux r´esultats des chapitres pr´ec´edents cela donne une condition n´ecessaire et suffi-
sante pour l’existence de sous-groupes canoniques g´en´eralis´es en termes de l’application de
Hodge-Tate du groupe p-divisible formel de dimension 1, comme dans [1].
Ong´en´eralise´egalementledomainefondamentaldeGross-Hopkins([8])grˆace`acette´etude
sur l’immeuble : n’importe quel domaine fondamental poly`edral dans le simplexe standard
n+1Convexe(e ,...,e ) ⊂ R sous l’action du groupe des rotations engendr´ees par e →0 n 0
e ,e →e ,...,e →e fournit un domaine fondamental pour l’action des correspondances1 1 2 n 0
de Hecke dans l’espace de Lubin-Tate.
– Dansle chapitre8 ong´en´eraliselesr´esultatspr´ec´edentsaucasde l’espacede Lubin-Tateavec
structure de niveau Iwahori. Dans ce cas l`a l’espace est une couronnep-adique g´en´eralis´eeet
sonsqueletteunsimplexe“ouvert”.Ond´efinitet´etudiealorscommeauparavantunestructure
simpliciale sur ce simplexe et montre que via l’isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate
et de Drinfeld ce simplexe ouvert est isomorphe au quotient de l’immeuble par un sous-
groupe d’Iwahori. Enfin on peut comprendre facilement graˆce a` cette ´etude le morphisme de
l’espace de Lubin-Tate avec niveau Iwahori vers celui sans niveau au niveau des squelettes.
Ce chapitre ne contient aucune d´emonstration, les d´emonstrations ´etant semblables `a celles
du cas de l’espace de Lubin-Tate sans niveau elles sont laiss´ees au lecteur.
– Enfin l’appendice A contient des rappels sur l’immeuble de Bruhat-Tits de PGL .n
Certains des aspects de cet article apparaissent d´eja dans les travaux de Yu [12]. Cet article
peut donc ˆetre en quelques sortes consid´er´e comme une suite de [12], suite qui permet de com-
prendre pourquoi les calculs effectu´es dans [12] font apparaˆıtre l’appartement d’un immeuble de
Bruhat-Tits.
Remerciements : L’auteur tient a` remercier Alain Genestier et Vincent Lafforgue pour de nom-
breuses discussions sur le sujet. C’est en particulier Alain Genestier qui a sugg´er´e d’introduire le
simplexe de la d´efinition 4, simplexe qui a sugg´er´e a` l’auteur d’´etudier plus en d´etails les filtrations
de ramification. Ils ont ´egalement sugg´er´e a` l’auteur l’´etude du cas Iwahori faite au chapitre 8.
1. Une formule pour la valuation p-adique de l’application de Hodge-Tate du
dual d’un groupe de Lubin-Tate
Soit F|Q une extension de degr´e fini et O = O son anneau des entiers. On note π unep F
uniformisante de O et q le cardinal de son corps r´esiduel. On appelle O-module π-divisible un
groupep-divisible sur une base au dessus deO , muni d’une action deO telle que l’action induiteF
sur l’alg`ebre de Lie soit l’action canonique.
Soit K|F un corps valu´e complet pour une valuation v a` valeurs dans R ´etendant celle de F.
Soit H unO-module π-divisible formel de dimension 1 et de hauteur finie n surO .K
Supposons d’abord que O = Z . Le but de cette section est de donner une formule pourp
l’application compos´ee
α DH vDT (H )−−−−→ω ⊗O ≃O −→R ∪{∞}p H b b +K K
D D D Dou` α D est l’application de Hodge-Tate de H : si x ∈ T (H ), x : Q /Z −→ H et x :p p pH OcK
H −→μ ∞ alorsO p /Oc cK K
dTD ∗α D(x) = (x )H
T´frenchAPPLICATION DE HODGE-TATE ET IMMEUBLE DU GROUPE LINEAIRE 5
PourO plus g´en´eral queZ nous donnons une formule pour la compos´eep
Oα ∨ v∨ H
T (H )−−−→ω ⊗O ≃O −→R ∪{∞}p H b b +
K K
∨ou` H est le dual strict au sens de Faltings ([5]). Si LT d´esigne un groupe de Lubin-Tate de
∨ ∨O-hauteur 1 alors `a x∈T (H ) est associ´e un morphisme x :H −→LT qui d´efinit doncp O /Oc cK K
O ∨ ∗α ∨(x) =(x ) β apr`es choix d’un g´en´erateurβ de ω .LTH
bIl est clair que pour le probl`eme auquel on s’int´eresse on peut supposer que K = K, ce que
nous ferons dans la suite.
On va ´egalement faire l’hypoth`ese suppl´ementaire suivante.
Hypoth`ese : Soit k le corps r´esiduel de K, un corps alg´ebriquement clos. Il existe alors uneK
unique section ǫ comme morphisme de O -alg`ebresF
ǫ
O /πO kK K K
On demande alors que lesO-modulesπ-divisibles (H⊗ k )⊗ O /πO etH⊗ O /πOO K k ,ǫ K K O K KK K K
soient isog`enes. Cela est encore ´equivalent a` supposer que pour un λ v´erifiant 0 < λ ≤ 1, si
m = {x ∈ O | v(x) ≥ λ}, alors H ⊗O /m est isomorphe a` un groupe constant via ǫ,λ K K λ
(H⊗ k )⊗ O /m . Une autre condition ´equivalente consiste a` dire que H provient d’unO K k ,ǫ K λK K
point de l’espace des d´eformations de Lubin-Tate du groupe H⊗ k a` valeurs dans O .O K KK
Remarquons que cette hypoth`ese est automatique siH est d´efini sur l’anneau des entiers d’une
extension de F dont la valuation est discr`ete. Les groupes p-divisibles ne la satisfaisant pas ont
peu d’int´erˆet.
Convention : Dans cet article tous les groupes p-divisibles sur un anneauO , avec K|F valu´eeK
b
compl`ete, satisfairont a` l’hypoth`ese pr´ec´edente lorsqu’on ´etend les scalaires a` K
1.1. P´eriodes de Hodge-Tate de certains sch´emas en groupes de type (p,...,p).
1.1.1. Le cas O =Z . Soit G un sch´ema en groupes fini localement libre d’ordre p sur une basep
affineSpec(R)audessusdeSpec(Z ).D’apr`es[11],ouplusg´en´eralement[9],ilexistealorsγ,δ∈Rp
tels que γδ =w, ou` w∈Z est une constante universelle de valuationp-adique 1, tels quep
pG ≃ Spec(R[T]/(T −δT))
D p
G ≃ Spec(R[U]/(U −γU))
Alors,
ω ≃ R/δR.dTG
ω D ≃ R/γR.dUG
et
D
α D :G −→ ωGG
u −→(u mod δ).dT
Si R =O avecK comme pr´ec´edemment alorsv(γ)+v(δ) =1 etK
v(γ)D∀u∈G (O ) v(u)=K
p−1
et donc on connaˆıt le sous-moduleO .Imα D de ω D d`es que l’on connaitv(Ann ω ) =v(δ) ouK GG G
bien v(Ann ω D)=v(γ).G
/v/v//6 frenchLAURENT FARGUES
1.1.2. Le cas O g´en´eral. Soit R une O-alg`ebre. Soit G un sch´ema en groupes fini et localement
libre sur Spec(R). Supposons le muni d’une action deO/πO et de type (p,...,p) relativement `a
cette action. L’anneauR ´etant uneO-alg`ebre il y a un caract`ere
Teichmu¨ller× × ×χ:(O/πO) −−−−−−−→O −→R
Z/rZD’apr`es [9] il existe alors (γ ,δ ) ∈ R tels que γ δ = w ∈Z est de valuation p-adiquei i i∈Z/rZ i i p
1, localement sur Spec(R) G≃ Spec(A) avec
p
A =R[T ] /(T −δ T )i i∈Z/rZ i i+1i
×et l’action de (O/πO) sur A induite par l’action de O/πO sur G se fait sur T `a travers lei
ipcaract`ereχ . On a alors
M
ω ≃ R/δ R.dTG i−1 i
i∈Z/rZ
Supposons maintenant de plus que l’action de O sur ω soit l’action naturelle induite par laG
structure deO-alg`ebre de R. Alors,
×∀i =r−1 δ ∈Ri
et donc, si
r−1 r−2p p p
δ =δ δ ...δ δr−10 1 r−2
on a
qA≃R[T]/(T −δT)
Le complexe de co-Lie de G s’identifie alors `a
×δ
l ≃ [R−−→R]G
plac´e en degr´es−1 et 0. Supposons maintenant queG est muni d’une action stricte deO au sens
de [5] relevant l’action de O/πO sur G. D’apr`es [5] l’ensemble de ces rel`evements est un torseur
−1sous le groupe de cohomologie H (End(l ))≃Ann (δ). Supposons maintenant que R est sansG R
p-torsion. Cela implique Ann (δ) = (0). D’apr`es ce qui pr´ec`ede il existe donc une unique telleR
O-action stricte : c’est celle d´efinie dans le chapitre 3 de [5] sur le groupe not´e G . On a doncu,v
identifi´e G muni de son action stricte de O et d’apr`es le chapitre 3 de [5] le dual strict d’un tel
′ ′groupe est connu. Rappelons en effet qu’il existe alors γ ∈R tel que γδ =w ∈O ou` w est une
uniformisante de F et que le dual strict s’identifie `a
∨ qG ≃ Spec(R[U]/(U −γU))
Soit LT un groupe formel de Lubin-Tate de O-hauteur 1. Alors, d’apr`es [5], pour un choix de
coordonn´ee formelle V surLT l’accouplement
∨G×G −→LT[π]
est donn´e par
V −→T ⊗U
Soit alors
O ∨α ∨ :G −→ωGG
l’application de Hodge-Tate relative `aO. Avec l’identification
ω ≃R/δR.dTG
cette application s’identifie donc a`
u −→(u mod δ).dT
OLorsqueR=O avecK comme pr´ec´edemmenton en d´eduit que l’on connaˆıtO .Imα d`es que∨K K G
l’on connaˆıtv(Ann ω )=v(δ) ou bien v(Ann ω ∨)=v(δ).G G
O1.2. Calcul de la valuation p-adique de α (x).∨H
6´frenchAPPLICATION DE HODGE-TATE ET IMMEUBLE DU GROUPE LINEAIRE 7
1.2.1. Notations. Soit H un O-module π-divisible formel de dimension 1 et de O-hauteur n sur
O ∨ bSpec(O ). Nous allons calculer v(α (x)) pour x∈ T (H ). Nous noterons H le groupe formel∨K pHS
k bassoci´e sur Spf(O ). Alors H(O ) = H[π ](O )⊂H(O ). Il y a une “valuation”K K K Kk≥1
bv :H(O )−→]0,+∞]K
bqui d´efinit une filtration dite de ramification inf´erieure sur H(O ) et donc sur les points deK
torsion (cf. section 2). Cette “valuation” est d´efinie de la fac¸on suivante : fixons un isomorphisme
de Spf(O )-sch´emas formels point´esK
∼bH −→Spf(O [[T]])K
bou` H est point´e par sa section unit´e et Spf(O [[T]]) par la section T = 0. Cet isomorphismeK
b binduit une bijection H(O )≃{x∈O |v(x)> 0}. Si via cette bijection y∈H(O ) correspondK K K
a` x ∈ O on pose alors v(y) = v(x). On v´erifie aussitˆot que cette d´efinition ne d´epend pas deK
l’isomorphisme de sch´emas formels point´es choisi.
On utilisera syst´ematiquement le jeu entre la fibre g´en´erique et les mod`eles entiers en ´ecrivant
pour G un groupe fini localement libre surOK
G(O )=G(K)K
et
k kT (H) = lim H[π ](K)= lim H[π ](O )p K
←− ←−
k k
´Etant donn´e que K est alg´ebriquement clos on consid´erera toujours les fibres g´en´eriques des
groupes finis surO comme des groupes abstraits.K
SoitG un groupep-divisible sur Spec(O ) etD un sous-groupe fini de la fibre g´en´erique deG.K
adh kOn noteraD l’adh´erence sch´ematique deD dansG[p ] pourk>>0 (et cela ne d´epend pas de
k). Dans la suite il n’y aura jamais d’ambigu¨ıt´e pour un D donn´e sur le groupeG dans lequel on
prend l’adh´erence sch´ematique, c’est pourquoiG n’intervient pas dans la notation.
1.2.2. Premiers calculs. PourG un groupe fini localement libre muni d’une action stricte deO le
O ∨morphisme de faisceaux fppfα :G −→ω est naturel enG, tout morphisme strictf :G −→∨ G 1G
G induit un diagramme commutatif2
Oα ∨G2∨ ωGG 22
∨f
Oα ∨G1∨ ωG G11
∗ k k+1En particulier ∀k ∈ N l’inclusion H[π ] ֒→ H[π ] induit un diagramme commutatif de mor-
phismes de sch´emas en groupes
Oα ∨ k+1H [p ] ∼∨ k+1 k+1ω k+1H[π ]H [π ] ω /π ωH H
Oα ∨ kH [p ] ∼∨ k kω kH [π ] H[π ] ω /π ωH H
oo/////o///o8 frenchLAURENT FARGUES
et un diagramme de morphismes de groupes
Oα ∨H∨ ωT (H ) Hp
∨ k ∨ kT (H )/π T (H ) ω /π ωp p H H
≃ ≃
Oα k ∨H[π ]k∨ ω kH[π ]H[π ] (O )K
∨ k∨ k∨ou` T (H ) est le groupe des (x ) , x ∈ H[π ] (K) = H[π ] (O ), πx = x . Ainsi sip k k≥1 k K k+1 k
O Ox = (x ) pour calculer α (x) il suffit de calculer α (x ) pour tout k, qui s’identifie `a∨k k≥1 k ∨ kH H[π ]
O kα (x) mod π .∨H
∨ O ∨Soit donc x∈ T (H ) dont on veut calculer v(α (x)). On peut supposer que x∈/ πT (H )p D pH
c’est `a dire que le morphisme associ´e T (H)−→O (1) est surjectif ou` F(1) d´esigne le caract`erep F
Ode Lubin-Tate. On fera donc cette hypoth`ese. On constate que la valuation deα (x) ne d´ependDH
∨ ∨que du sous-module engendr´e O.x ⊂ T (H ) qui est facteur direct dans T (H ). Via la dualit´ep p
parfaite
∨T (H)×T (H )−→O (1)p p F
de tels sous-modules correspondent aux sous-O-modulesM ⊂T (H) facteur direct de rangn−1,p

M =(O.x) .
k k∨ k−1∨Cela reste valable modulo π . Si x∈H[π ] (K)\H[π ] (K), modulo une unit´eα k ∨(x)H[π ]
ne d´epend que du sous-module engendr´eC =<x> et de tels sous-modules sont en bijection avec
⊥ k kles sous-modules C ⊂H[π ](K) facteurs directs de rang n−1 surO/π O.
Lemme 1. L’op´eration d’adh´erence sch´ematique commute a` la dualit´e de Cartier-Faltings : si
k∨C⊂H[π ] (K) est un sous-groupe alors
∨ adhadh k ⊥C ≃H[π ]/ C
D´emonstration. De la suite exacte
adh k∨ k∨ adh0−→C −→H[π ] −→H[π ] /C −→0
on d´eduit d’apr`es le th´eor`eme 8 de [5] la suite exacte
∨ ∨k∨ adh k adh0−→ H[π ] /C −→H[π ]−→ C −→0
⊥Le sous-groupe fini localement libre de gauche co¨ıncide en fibre g´en´erique avec C . Il est donc
adh⊥´egal a` C .
Proposition 1. Soit D⊂H un sous-groupe fini localement libre sur O . Alors ω ≃O /γOK D K K
ou` X
v(γ)= v(λ)
λ∈D\0
Le complexe de co-Lie de D est isomorphe au complexe
h i
γ
O −→OK K
D´emonstration. Avec un choix de bonnes “coordonn´eesformelles” (on entend par l`a un isomor-
bphisme de sch´emas formels point´es entre H et Spf(O [[T]])) a` la source et au but, l’isog´enie deK
groupes formels
b bH −→H/C
Y
s’´ecritT (T −x).
x∈D\{0}
//////´frenchAPPLICATION DE HODGE-TATE ET IMMEUBLE DU GROUPE LINEAIRE 9
Remarque 1. Dans cette derni`ere proposition l’assertion concernant la valuation de γ est l’ana-
logue de la proposition 4 du chapitre IV de [10] reliant valuation de la diff´erente et les groupes de
ramifications inf´erieurs d’une extension de corps locaux.
Corollaire1. SoientD ⊂D des groupes fini localement libres surO sous-groupes deH. Alors1 2 K
la suite
0−→ω −→ω −→ω −→0D /D D D2 1 2 1
est exacte.
−1D´emonstration. D’apr`es la proposition pr´ec´edente le groupe de cohomologieH du complexe
de co-Lie de nos groupes est nul puisqueO est sans p-torsion. K
k∨ ⊥ kSoitdoncmaintenantC =O.y⊂H[π ] (K)facteurdirectderang1etnotonsC ⊂H[π ](K)
son orthogonal. Consid´erons le diagramme
Oα =α1 adhC kadh ω adh ∨(C ) ω /π ωC H H
q q1 2
α2adh k−1 adh ω adh k−1 adh ∨(C /C[π ] )C /C[π ]
∨ adhadh k ⊥L’isomorphisme C ≃H[π ]/ C implique que si ω adh ∨ ≃O /γO alors(C ) K K
X
v(γ) =k− v(z)
⊥z∈C \{0}
′De mˆeme si ω k−1 adh ∨ ≃O /γO alorsK K(C[π ] )
X

v(γ )=k−1− v(z)
⊥ k−1z∈C [π ]\{0}
′′ ′′Soit maintenantγ tel que ω adh k−1 adh ∨ ≃O /γ O . On d´eduit donc du corollaire 1 queK K(C /C[π ] )
X
′′v(γ )= 1− v(z)
⊥ ⊥ k−1z∈C \C [π ]
adh k−1 adhNous allons maintenant utiliser les r´esultats de la section 1.2. Le groupe C /C[π ] est de
type (p,...,p) et son dual strict v´erifie les hypoth`eses de la section 1.2. Avec les notations du
diagramme pr´ec´edent, q (x) engendre les points a` valeurs dans K de ce groupe comme O/πO-1
′′module. On en d´eduit que α (q (x)) =β mod γ O ou`2 1 K
P
v(z)⊥ ⊥ k−1z∈C \C [π ]
v(β) =
q−1
et donc, si
′′v(β)<v(γ )
c’est `a dire si
X 1
v(z)< 1−
q
⊥ ⊥ k−1z∈C \C [π ]
alorsα (y) =0∈O /γO et1 K K
P
v(z)⊥ ⊥ k−1z∈C \C [π ]
v(α (y))=1
q−1
//6////10 frenchLAURENT FARGUES
k∨ ∨ ∨Si maintenant notre ´el´ement y ∈ H[π ] (K) provient d’un x ∈ T (H )\ πT (H ), puisquep p
kω adh D ֒→ω /π ω est une injection on aH H(C )
P
v(z)⊥ ⊥ k−1z∈C \C [π ]Ov(α (x)) = +k−v(γ)∨H q−1
P
Xv(z)⊥ ⊥ k−1z∈C \C [π ]
= + v(z)
q−1
⊥z∈C \{0}
D´efinition 1. Soit A un ensemble de points de torsion de H. On note
X
v(A) = v(z)
z∈A\{0}
R´esumons ce que nous avons d´emontr´e jusqu’a` maintenant.
∨ ∨ ⊥Proposition 2. Soit x ∈ T (H )\πT (H ) et M = (O.x) ⊂ T (H) facteur direct de rangp p p
k kn−1. Notons pour tout entier k≥ 1 M[π ] le sous-groupe des points de π -torsion associ´e dans
kH[π ](K). Si l’entier k est tel que
1k k−1v(M[π ]\M[π ])< 1−
q
alors
k k−1v(M[π ]\M[π ])O kv(α )(x) = +v(M[π ])∨H q−1
1 k k−1= qv(M[π ])−v(M[π ])
q−1
Reste a` voir qu’il existe un tel entier k, ce que nous allons faire sous une condition.
1.3. La formule finale. Rappelons maintenant ([8], [7] chapitre I) qu’il existe une loi de groupe
formelle associ´ee `a H telle que le polygone de Newton de la multiplication par π pour cette loi
soit l’enveloppe convexe des points
i n−1 n
(0,∞),(1,1),(v(x ),q),...,(v(x ),q ),...,(v(x ),q ),(0,q )1 i n−1
ou` x ,...,x ∈ K et ∀i v(x ) > 0 (cf. figure 2). Rappelons ´egalement la recette suivante :1 n−1 i
b bsi y ∈ H(O ) la valuation des points s’envoyant sur y par la multiplication par π sur H(O )K K
s’obtient en prenant l’enveloppe convexe du polygone pr´ec´edent et du point (0,v(y)).
1
v(x )j
v(x )i
v(x )k
i j k n
1 q q q q
Fig. 2. Le polygone de Newton de la multiplication par π

Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin