APPLICATION DE HODGE TATE DUALE D'UN GROUPE DE LUBIN TATE IMMEUBLE DE BRUHAT TITS DU GROUPE LINEAIRE ET FILTRATIONS

APPLICATION DE HODGE-TATE DUALE D’UN GROUPE DE LUBIN-TATE,
´IMMEUBLE DE BRUHAT-TITS DU GROUPE LINEAIRE ET FILTRATIONS
DE RAMIFICATION
LAURENT FARGUES
´ ´Resume. L’un des buts de cet article est de d´ecrire l’isomorphisme entre les tours de Lubin-
×
Tate et de Drinfeld au niveau de leurs squelettes apr`es quotient par GL (O )×O ou bienn F D
× 1I×O ou` O est l’ordre maximal dans l’alg`ebre a` division d’invariant sur F et I un sous-DD n
groupe d’Iwahori de GL . Nous donnons des applications a` l’´etude des sous-groupes canoniquesn
sur les espaces de Lubin-Tate, la description des orbites de Hecke sph´eriques dans ces espaces,
les domaines fondamentaux pour les correspondances de Hecke et l’application des p´eriodes de
Gross-Hopkins. Nous-y ´etudions ´egalement en d´etail les filtrations de ramification (inf´erieure et
sup´erieure) et l’application de Hodge-Tate d’un groupe formel p-divisible de dimension un.
Abstract. One of the goals of this article is to describe the isomorphism between Lubin-Tate
×and Drinfeld towers at the level of their skeletons after taking quotient by GL (O )×O orn F D
× 1I×O whereO is the maximal order in the division algebra with invariant over F and I aDD n
Iwahori subgroup of GL . We give applications to the theory of canonical subgroups on Lubin-n
Tate spaces, the description of spherical Hecke orbits in those spaces, fundamental domains for
Hecke correspondences and the Gross-Hopkins period mapping. We also study in details the
ramification filtrations (upper and lower) and the Hodge-Tate map of a one dimensional formal
p-divisible group.
Introduction
Soit F une extension de degr´e fini de Q et n ≥ 1 un entier. L’un des buts de cet article estp
de d´ecrire l’isomorphisme entre les squelettes des tours de Lubin-Tate et de Drinfeld apr`es quo-
× ×tient par GL (O )×O ou bien I ×O ou` O est l’ordre maximal dans l’alg`ebre `a divisionn F DD D
1d’invariant etI un sous-groupe d’Iwahori de GL . Aucun des r´esultats de cet article ne d´ecoulenn
de l’existence de cet isomorphisme. Par exemple, le fait que l’isomorphisme entre les deux tours
induise une application au niveau des “squelettes” ne d´ecoule pas de son existence. Les r´esultats
de cet article donnent des compl´ements sur la structure de cet isomorphisme. R´eciproquement ils
ne sont pas n´ecessaires a` sa construction.
L’isomorphismeentrelestoursdeLubin-TateetdeDrinfeldauniveaudespointsdeFaltings([6],
cf. ´egalement le chapitre II de [7] pour une version plus d´etaill´ee) est un isomorphisme GL (F)×n
×D -´equivariant en niveau infini
∼
LT Dr∞ ∞
×n−1˚ Dr /O =ΩLT /GL (O )=B ∞∞ n F D
n−1˚ou`LT d´esigne “la tour de Lubin-Tate en niveau infini”,Dr celle de Drinfeld,B la boulep-∞ ∞
n−1adique“ouverte”endimensionn−1etΩ⊂P l’espacedeDrinfeld.Ilinduitunhom´eomorphisme
2000 Mathematics Subject Classification. 14Gxx.
Key words and phrases. Lubin-Tate spaces, Drinfeld spaces, p-divisible groups, Hodge-Tate decomposition,
Bruhat-Tits building.
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//2 frenchLAURENT FARGUES
des espaces analytiques p-adiques de Berkovich associ´es
∼
|LT |−→|Dr |∞ ∞
×
Par passage au quotient par GL (O )×O il induit donc une applicationn F D
× n−1˚O \|B |−→ GL (F)\|Ω|nD
On va d´ecrire cette application au niveau des squelettes de ces deux espaces.
Plutˆot que de tenter de d´ecrire le r´esultat g´en´eralexplicitons ce que cela signifie sur la figure 1
×
dans le cas de GL pour le quotient par GL (Z )×O :2 2 p D
– L’espace de Lubin-Tate sans niveau (la tour de Lubin-Tate quotient´ee par GL (Z )) est2 p
1˚une boule ouverte p-adique au sens de Berkovich B . Dans ce cas l`a appelons squelette de
˚1B un rayon de cette boule ]0,+∞]. Il y a une r´etraction (la fl`eche verticale de gauche)
˚1|B |−→]0,+∞] donn´ee par la valuation de la coordonn´ee dans la boule.
×– L’espace de Drinfeld sans niveau (la tour de Drinfeld apr`es quotient parO ) est l’espace ΩD
de Drinfeld ayantpourC -pointsC \Q . Son squelette est l’arbre de Bruhat-TitsI de GL .p p p 2
Il y a une r´etraction (la fl`eche verticale de droite)|Ω|−→I qui apr`es quotient par GL (Z )2 p
fournit une r´etraction GL (Z )\|Ω|−→GL (Z )\I.2 p 2 p
2– SiD d´esigne une demi-droite simpliciale d’origine la classe du r´eseauZ dans l’arbreI alorsp
∼
D est un domaine fondamental pour l’action de GL (Z ) surI etD−→GL (Z )\I.2 p 2 p
– L’isomorphisme entre les deux tours induit une application ]0,+∞]−→D
– On d´ecrit alors compl`etement la structure simpliciale sur ]0,+∞] d´eduite de celle surD par
l’application pr´ec´edente.
– Apr`esquotientparune“petite”partiede]0,+∞]l’applicationinduitunisomorphisme(fl`eche
du bas).
Le r´esultat est du mˆeme type pour GL , bien qu’un peu plus compliqu´e `a ´enoncer.n
Ω
GL (Z )
2 p
x
v(x)
q GL (Z )q+1 2 p
+ 1 1 1 0
q+1 2q(q+1) q (q+1)
isomorphisme
Fig. 1. Le cas de GL2
Ind´ependamment de l’isomorphisme entre les deux tours la structure simpliciale que nous ex-
plicitons sur l’espace de Lubin-Tate a de nombreuses applications comme l’´etude des sous-groupes
canoniques, la d´etermination de domaines fondamentaux pour les correspondances de Hecke et
l’´etude du morphisme des p´eriodes.
L’un des autres buts de cet article est d’´etudier en d´etails la filtration donn´ee par la valuation des
points de torsion sur un groupe formel p-divisible de dimension un.
D´ecrivons succinctement le contenu de chacune des parties de l’article :
8´frenchAPPLICATION DE HODGE-TATE ET IMMEUBLE DU GROUPE LINEAIRE 3
– Dans le premier chapitre nous donnons une formule pour la valuation p-adique des p´eriodes
de Hodge-Tate du dual de Cartier d’un groupe p-divisible formel de dimension un sur un
anneau de valuation (pas forc´ement discr`ete) complet pour une valuation de hauteur 1. En
fait, nous consid´erons plus g´en´eralement le cas d’un O-module formel π-divisible ou` O est
l’anneau des entiers d’une extension de degr´e fini de Q . Dans ce cas la bonne notion dep
dualit´e remplac¸ant la dualit´e de Cartier est celle d´efinie par Faltings ([5]). Le lecteur ne
connaissant pas la th´eorie de [5] pourra supposerO =Z .p
– Danslesecondchapitreon´etudielafiltrationdonn´eeparlavaluationsurlespointsdetorsion
d’un groupe formelπ-divisible de dimension 1. Cette filtration fournit une famille de r´eseaux
danslemodule deTaterationnelV .L’imagedansl’immeuble de Bruhat-Titsde PGL(V )dep p
cetensembleestunensemblefinidesommets.Deplus les´el´ementsde valuationsuffisamment
petite d´ecrivent un simplexe S de cet immeuble. L’un des principaux r´esultats est que cet
ensemble est contenu dans un appartement et peut ˆetre reconstruit g´eom´etriquement dans
l’immeuble `a partir du simplexeS et du sommet donn´e par le r´eseauT ⊂V ou` T d´esignep p p
le module de Tate.
Nous donnons ´egalement une description combinatoire du simplexe S `a partir du polygone
de Newton de la multiplication par π sur une loi de groupe formel associ´ee.
– Letroisi`emechapitreestinspir´eparlestravauxd’Abbes-SaitoetAbbes-Mokrane([1]).Lafil-
trationsurlespointsdetorsion´etudi´eedansledeuxi`emechapitresecomportebienparrestric-
tion `a un sous-groupe: siH est un groupe formelp-divisible de dimension 1 etG ⊂G ⊂H2 1
des sous-groupes plats finis alors ∀λ{x∈ G | v(x)≥ λ}∩G ={x∈ G | v(x) ≥ λ}. Par1 2 2
contre cette filtration dite de “ramificationinf´erieure” ne se comporte pas bien par isog´enies.
C’estlecasdelafiltrationd´efinieentouteg´en´eralit´esdans[1].Danslecasquenous´etudions,
celui des sous-groupes plats finis d’un groupe formel p-divisible de dimension 1, l’alg`ebre de
ces groupes est monog`ene et la filtration de ramification sup´erieure de [1] est obtenue par
r´eindexation de la filtration de ramification inf´erieure via une fonction de Herbrand. Cela
est expliqu´e dans l’appendice B. La terminologie “inf´erieure/sup´erieur” provient par analo-
gie avec la th´eorie des groupes de ramification des groupes de Galo