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CAVITÉ SPHÉRIQUE DANS UN MASSIF INFINI ÉLASTOVISCOPLASTIQUE
Géométrie et matériau considéré Une cavité sphérique de rayona(définie en coordonnées sphériques r,q,j, parr[a,+¥[) est creusée instantanément (p(t) =Ppourt<0 etp(t) =0 pourt0 oùtest le temps) dans un massif infini initialement sous contraintes homogènes et isotropes : s(r,t=0) =PIPest la pression à l’infini (Figure cidessus). Le ∼ ∼ matériau est un matériau viscoplastique de Bingham tel que : 1 e e= [(1+n)Sntrace(S)I]avecS=s(PI) ∼ ∼∼ ∼∼ ∼E 3s<Jsy> p˙e= 2Jh 1 1/2 avecs=Strace(S)IetJ= ((3/2)si j:si j) ∼ ∼∼ ∼ 3 Eest le module d’Young,nle coefficient de Poisson,syla limite d’élasticité etC=sy/2 la cohésion;hdésigne le module de viscosité. On appelle constante de temps du matériau la quantité a=E/2(1n)h. On suppose dans la suite que la pression géostatiquePest telle queP>2sy/3.
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1. Mise en équations 1.1.Inconnues principales: Compte tenu de la symétrie du problème on utilise les coordonnées sphériques (r,q,j). Par ailleurs, 3 le changement de variabler= (r/a)s’avère utile : 1/3 r=aravecr[1,+¥[(1) La paroi de la cavité correspond àr=1. L’unique composante non nulle du vecteur déplacement estur=u(r,t)fonction de la variable d’espaceret du temps réelt. Les déformations totales non nulles sont la déformation circonférentielleeq=ej=u/ret la déformation radialeer=u,r; d’où : u=req(2) ¶ ¶ et, commer=3r: r¶r er=3req,r+eq(3) En ce qui concerne les contraintessr(radiale) etsq=sj (orthoradiales) l’état de référence (pourt<0) est caractérisé par : sr(r,t) =sq(r,t) =P. Les variations des contraintes sont :Sr=sr+PetSq=sq+P, d’où : sr=SrP(4) sq=SqP(5) s ss L’équation d’équilibre,r,r+2(rq)/r=0 devient alors : Sr,r+Srou encore : sq= (1/2)r r Sq= (3/2)Sr,r+Sr(6)
p pp Par ailleurs : trace(˙e) =0 ete(r,0) =0, donc : trace(e) =0, et : ∼ ∼p p er+2e=0, soit : q p p e=e/2 (7) qr Il nous reste donc en tout trois inconnues principales qui sonteq,Sr p eter. Les relations (2) à (7) permettent de déterminer aisément toutes les autres inconnues. 1.2. Loi de comportement: La décomposition des déformations totales en partie élastique et partie non élastique s’écrit : p er= [(1+n)Srn(Sr+2Sq)]/E+e r p )]/E+e eq= [(1+n)Sqn(Sr+2Sq q On peut aussi, et c’est plus avantageux, combiner ces deux équations pour en déduire deux relations dont l’une utilise la trace et l’autre le p déviateur (en utilisant trace(e) =0) : er+2eq= (12n)(Sr+2Sq)/E p p e ee rq= (1+n)(SrSq)/E+erq p En rers expressions (3,6et7) : mplaçanter,Sqeteqpar leu n r 3req,r+3eq= (12)(3Sr,r+3Sr)/E p 3req r=3[(1+n)/2]pSr/E+ (3/2)e. ,r,r La première relation devient : [reqr(12n)Sr/E],r=0 Donc[req(12n)Sr/E]est une fonction du tempstseul que l’on choisit sous la forme : [(1+n)/(2E) + (12n)/E]A(t) d’où : eq= [(12n)/E]Sr[(1+n)/(2E) + (12n)/E]A(t)/r
En particulier :
eq+ [(1+n)/(2E)]Sr= [(1+n)/(2E) + (12n)/E](SrA/r)
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Ainsi, les deux dernières relations deviennent, en posant 2µ=E/(1+ n) (µmodule de cisaillement) :
eq=Sr/(4µ) + (3/2)[(1n)/E][SrA(t)/r]
p r ahe [SrA(t)/],r= (2/3)/r r
(8)
(9)
1.3. Loi d’évolution: le critère estF(s) =|srsq| −syou encore F=|SrSq| −sy. Nous verrons que la solution est telle queSrSq. Pour le moment, il s’agit d’une hypothèse :
Sr,rvérifier0 àa posteriori
Alors :F=SrSqsy, soit :
F=(3/2)rSr,rsy
0 Par ailleurs :S= (2/3)(SrSq)et :J=SrSq. D’où : r
p ˙e=<F> /h r
(10)
(11)
(12)
1.Réponse instantanéeLorsque les contraintes subissent un saut (c’est le cas ici à l’instant t=0), il s’ensuit une discontinuité dans le temps (saut) pour les déformations totales. En revanche, les déformations viscoplastiques demeurent nulles car leur vitesse est finie (loi d’évolution). La réponse instantanée du massif est donc élastique. La déterminer, et en déduire qu’instantanément (à t=0) p il apparaît une zone plastique (dans laquelle la vitesse˙eest non nulle), d’épaisseur finie sisyest strictement positive, et s’étendant à tout le massif lorsque la cohésion est nulle (sy=0). Le plus gros du travail est fait. En effet lorsque la réponse est p élastique (er=0), la relation (9) devient : SrA(0)/r=B(t) La constante d’intégration est nulle carSr(+¥,0) =0. Il vient successivement :Sr(r,0) =A(0)/r, puis :Sr(1,0) =P, d’où : A(0) =PetSr(r,0) =P/r 2 r L’inégalité (10) est bien vérifiée :Sr,r=P/(dérivée partielle négative), et :F= (3/2)P/rsy. 2.1. Cas oùsy>0 : On pose :g0=P/(2sy/3)>1 p – Pourrg0on aF0 donc , d’après (12) : ˙er=0 (zone élastique). p ˙ – Pourr<g0on a :er= (3/2)P/rsy>0. Le rayon de la zone 1/3 viscoplastique à l’instant 0 est donc :C0=ag, 0 1/3 d’où :C0=a[P/(2sy/3)]. 2.2. Cas oùsy=0 :F= (3/2)P/rest partout positif, donc tout le p massif rentre instantanément en viscoplasticité ( ˙er>0).
2.Evolution dans le cassy= 0 Montrer que les contraintes demeurent constantes en tout point du
massif (fluage) et que les déformations évoluent linéairement avec le
3 temps. Remarque a. Même dans un liquide (sy=0) on peut faire un trou. b. Aussi bien le caractère fluage que l’évolution linéaire sont particuliers à ce matériau. Si on prenait par exemple le modèle de Norton (en élevant<Jsy>à une puissance réelle) on aurait un phénomène non linéaire et complexe dans lequel les contraintes aussi varient dans le temps.
Les équations (11) et (12) deviennent respectivement : r F= (3/2)Sr,r0 ˙ p r er= (3/2)Sr,r/h Quant à (9), elle donne, après dérivation par rapport au temps : ˙ ˙ a [SrA(t)/r],r=Sr,r ˙ ˙ Donc :Sr+aSrA(t)/r=D(t). La constante d’intégrationDest ˙ nulle car lorsquertend vers l’infini, on aSr=0 etSr=0. D’où : ˙ ˙˙ Sr+aSr=A(t)/r. Pourr=1, on aSr=PetSr=0, si bien que : ˙ A(t) =aPA(t) =Pat+A(0) CommeA(0) =P(paragraphe 2), on obtientA(t) =P(1+at), et : ˙ Sr+a(SrP/r) =0 avecSr(r,0) =P/r D’où l’expression deSr, constante dans le temps : Sr(r,t) =P/r On trouve donc :SrA/r=(P/r)at, et, d’après (8) : eq=[1/4µ+ (3/2)[(1n)/E]at](P/r)
Le fluage est linéaire : la variation relative du rayon de la cavité eq(1,t)est négative et son intensité augmente linéairement avec le temps conduisant à une fermeture totale au bout d’un temps fini. ATTENTION : Il convient de ne garder de ce résultat que le caractère qualitatif (dans un “liquide visqueux” un trou évolue inexorablement vers la fermeture). En revanche l’aspect quantitatif est une extrapolation dangereuse, car le calcul n’est valable qu’en petite déformation. L’analyse quantitative de la fermeture réelle de la cavité ne peut se faire que dans le cadre des transformations finies.
3.Réponse asymptotique dans le cassy>0 L’étude de l’évolution dans la situationsy>0conduit à une
équation différentielle dans le temps dont la solution fait intervenir l’exponentielle intégrale (primitive deexp(x)/x). C’est pourquoi ici, on se contentera de déterminer la réponse du matériau lorsque t tend vers l’infini (état asymptotique) en montrant qu’il se détermine en résolvant un problème d’élastoplasticité relatif au matériau de von Mises parfait et standard associé à la limite d’élasticitésy. On en déduit donc que dans un matériau élastoviscoplastique on peut toujours faire un trou. Cependant, dans le cas où la cohésion est nulle, le trou finit par se fermer, alors que, dans le cas d’un matériau cohérent, la fermeture du trou (convergence) finit par se stabiliser avec une valeur maximale (en intensité) finie qui peut être déterminée par un calcul élastoplastique.
p L’état asymptotique(t= +¥)correspond à ˙e=0, doncF=0 dans la zone plastiquer[1,g¥[etF<0 dans la zone élastique r]g¥,+¥[. p Dans la zone élastique, on aer=0, et donc, d’après (9) et le fait que
Sr=0 pourr= +¥on obtient :
Sr(r,+¥) =A(+¥)r
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3/2)rrsy= (3/2)A¥/rsy. Or, pou Le critère estF=(Sr,r r=g¥, on aF=0, donc :A¥= (2/3)syg¥. D’où :
sir[g¥,+¥[:Sr(r,+¥) = (2/3)syg¥/r
Dans la zone plastique, on aF=0, donc, commeSr(1,+¥) =P: Sr=(2/3)syln(r) +P Ainsi : sir[1,g¥]:Sr(r,+¥) = (2/3)syln(r) +P La continuité de la contrainte radiale (équilibre) enr=g¥conduit à : (2/3)syln(g¥) +P= (2/3)syg¥/g¥ D’où : g¥=exp(P/(2sy/3)1) Connaissantg¥(doncA¥) et connaissantSr, les relations (8) p et (9) fournissent les déformationseqeter. En particulier la fermeture de la cavité (même au bout d’un temps infini) reste bornée par la valeur ainsi trouvée en tant que solution d’un simple problème d’élastoplasticité. Cependant, ces résultats ne peuvent pas être utilisés pour un “liquide visqueux" (cohésion nulle) car en faisant tendresyvers zéro on obtientg0¥,g¥¥, etSr=P (incompatible avec la condition à la limiteSr(r= +¥) =0) et de plusA¥¥conduit à des déformations infinies.