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CAVITÉ SPHÉRIQUE DANS UN MASSIF INFINI

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1 CAVITÉ SPHÉRIQUE DANS UN MASSIF INFINI ÉLASTOVISCOPLASTIQUE E H ? ?y a p(t) P a l'infini Géométrie et matériau considéré Une cavité sphérique de rayon a (définie en coordonnées sphériques r,?,?, par r ? [a,+∞[) est creusée instantanément (p(t) = P pour t < 0 et p(t) = 0 pour t ≥ 0 où t est le temps) dans un massif infini initialement sous contraintes homogènes et isotropes : ? ? (r, t = 0) =?PI ? où P est la pression à l'infini (Figure ci-dessus). Le matériau est un matériau viscoplastique de Bingham tel que : ? ? e = 1 E [(1+?)S ? ??trace(S ? )I ? ] avec S ? = ? ? ? (?PI ? ) ?˙ ? p = 3 2 s ? J < J??y > ? avec s ? = S ? ? 1 3trace(S?)I? et J = ((3/2)si j : si j) 1/2 E est le module d'Young, ? le coefficient de Poisson, ?y la limite d'élasticité et C = ?y/2 la cohésion ; ? désigne le module de viscosité.

  • ?pr ? ?

  • cavité sphérique

  • rayon de la zone viscoplastique

  • matériau

  • analyse quantitative de la fermeture réelle de la cavité

  • zone plastique

  • ?r ?


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CAVITÉ SPHÉRIQUE DANS UN MASSIF INFINI ÉLASTOVISCOPLASTIQUE
Géométrie et matériau considéré Une cavité sphérique de rayona(définie en coordonnées sphériques r,q,j, parr[a,+¥[) est creusée instantanément (p(t) =Ppourt<0 etp(t) =0 pourt0 oùtest le temps) dans un massif infini initialement sous contraintes homogènes et isotropes : s(r,t=0) =PIPest la pression à l’infini (Figure cidessus). Le ∼ ∼ matériau est un matériau viscoplastique de Bingham tel que : 1 e e= [(1+n)Sntrace(S)I]avecS=s(PI) ∼ ∼∼ ∼∼ ∼E 3s<Jsy> p˙e= 2Jh 1 1/2 avecs=Strace(S)IetJ= ((3/2)si j:si j) ∼ ∼∼ ∼ 3 Eest le module d’Young,nle coefficient de Poisson,syla limite d’élasticité etC=sy/2 la cohésion;hdésigne le module de viscosité. On appelle constante de temps du matériau la quantité a=E/2(1n)h. On suppose dans la suite que la pression géostatiquePest telle queP>2sy/3.
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1. Mise en équations 1.1.Inconnues principales: Compte tenu de la symétrie du problème on utilise les coordonnées sphériques (r,q,j). Par ailleurs, 3 le changement de variabler= (r/a)s’avère utile : 1/3 r=aravecr[1,+¥[(1) La paroi de la cavité correspond àr=1. L’unique composante non nulle du vecteur déplacement estur=u(r,t)fonction de la variable d’espaceret du temps réelt. Les déformations totales non nulles sont la déformation circonférentielleeq=ej=u/ret la déformation radialeer=u,r; d’où : u=req(2) ¶ ¶ et, commer=3r: r¶r er=3req,r+eq(3) En ce qui concerne les contraintessr(radiale) etsq=sj (orthoradiales) l’état de référence (pourt<0) est caractérisé par : sr(r,t) =sq(r,t) =P. Les variations des contraintes sont :Sr=sr+PetSq=sq+P, d’où : sr=SrP(4) sq=SqP(5) s ss L’équation d’équilibre,r,r+2(rq)/r=0 devient alors : Sr,r+Srou encore : sq= (1/2)r r Sq= (3/2)Sr,r+Sr(6)
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