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Cours d'introduction aux mathématiques générales

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Cours d'introduction aux mathématiques générales

Publié par :
Ajouté le : 21 juillet 2011
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Universit´eParis8 U.F.R. L.I.T.
Introductionauxmathsg´en´eralesB.Mariou Automne 2004
Coursdintroductionauxmathe´matiquesge´ne´rales premi`erepartie
0Lireet´ecriredesmathe´matiques2 Lesphrases2Lesparagraphes4D´emontrer6 1 Ensembles et applications8 ´ Lathe´orieaxiomatiquedesensembles8El´ementsdeth´eoriena¨ıvedesensembles9Applications11 2 Les entiers naturels14 — L’ensembleINet la recurrence 14 — Ensembles finis 15 ´ 3Arithm´etique18 Divisibilit´eetdivisioneuclidienne18Plusgrandcommundiviseur19Th´eore`medeBezout20Nombres premiers 22 4Structuresalg´ebriquesge´ne´rales24 — Relations binaires et lois internes 24 — Groupes 25 — Anneaux et corps 27 5Lecorpsdesre´els29 Sesele´ments,sesope´rations,sonordre,sacomple´tude29Propri´ete´dArchim`ede,rationnelsdansIR30 — ´ Intervallesre´els31
Benoˆıt Mariou — octobre 2004 — documents disponibles surf./rir8samhtil-tufr6p://v-pa.unitthlmthat/m/BhscoM/s.ur
Chapitre0.Lireet´ecriredesmath´ematiques
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´ ´ 0 — LIRE ET ECRIRE DES MATHEMATIQUES Uncoursdemathe´matiquesestundiscoursdansunelangueparticuli`ere.Cettelangueestprochedelalangue naturelle mais elle comporte aussi une partie purement symbolique. Quilviennedulangagecourantouquilsoitsymbolique,untermedudiscoursmathe´matiqueatoujoursunsens pr´ecisetsonutilisationestcodie´e. Voiciquelquesunesdesre`gleslesplususit´ees.Leurconnaissancevouspermettra,daborddelirecorrectement chacunedesphrasesduntextemathe´matique(§editsuenepsrouev,)1maˆıenenantltrisdrnae´erxeetlstea structure (§nement(unraisonurcoisndsumeˆesmdetpmoctnadners2),eveuoudripeorndn§3).
1 Les phrases. Dansuntextemath´ematique,laplupartdesphrasesconcernentdesobjetsoudesproprie´te´smathe´matiques. Certaines de cesphrasessont volontairementecrites en langue naturelleafin de commenter, introduire, ´ reformuler des notions purement techniques. Ici, on ne s’attarde pas sur ce type de phrases ; mais il faut bien garder`alespritquecettepartienonsymboliquedudiscoursapourbutdaideecterlela`rupmocdneraler partie symbolique. Lesphrases techniqueseneddsrueemfpxlniostsceonitg´en´eralementusunsanivs:te 1.(de´nition/notation)Nommeroud´enirunobjetouunepropri´et´e. 2.(assertion)Armerquunepropri´ete´estvraie. Exemples. 1)D´enitions/Notations. a)”Pourxalee,ler´ronbmvaleur absoluedexest le plus grand des deux nombresxetx.” Cettephrasede´nitlanotiondevaleur absolueldur´eex. b)”Un entier estpairs’il est divisible par 2.” Cettephrased´enitlapropri´ete´rtieaeprˆpour les entiers. c)”Posonsa=R01et2dt.” d)”NotonsIl’intervalle[0,1].” e)”Sixutse,el´eerbromnn|x|elrualavgien´dseeluedabsox.” Cestroisderni`eresphrasesintroduisentdesnotations:nouvellesrepre´sentationssymboliquesdobjets/pro-pri´ete´sde´j`ade´nis. f)”Soitxnutif.posiemtncietslrt´ree Iciencore,ilsagitdunenotation:onsaitquilexistedesre´elsstrictementpositifs,onenconside`reun,on le nommex. Danstouslescas,lesde´nitions/notationspeuventˆetree´vite´es:cesontdesraccourcispermettantdenommer bri`evementdesconceptscomplexes. 2) Assertions. a)”Le nombre2772est entier.” b)mbreunnoisteIlexeimepusritnerpreari´er`eu2100.” c)tuonbmeroPruotr´eelxtel quex2>2, on ax >1.” d)”Pour tout entiern,nest pair si et seulement sin2est multiple de 4.” Lesassertions(oupropositions)sontdesphrasessusceptiblesdeˆtrevraiesoufausses.Eng´en´eral,onn´ecrit
Chapitre0.Lireete´criredesmath´ematiques
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quedesassertionsvraies.Toutletravailmathe´matiqueconsiste`ajustiercetteve´rite´,i.e.nequurertnoma` certaine assertion est vraie.
Vocabulaire particulier.ressionsieursexpirtsqieuacartce´uvansulpOseocsiduds´htamsruueiqatemintaer.C sontspe´ciquesauxd´enitions/notations:soit,notons,posons,on dit que,on appelle,d´esigne, . . .
Structure des assertions.ˆtneertesulpmoouscinplomesexLesassertionsatniC.retnseosbasiques peuv comme :nest pair”n,ee´toA(nraurpo)(querelpppenddeelled´en) ; n2est multiple de 4”ee,t´noB(n). D’autres sont obtenues encoordonnantassertions plus simples , par exemple :des C(n): ”sinest pair alorsn2est multiple de 4”, qui est de la forme”siA(n)alorsB(n). Dautres,enn,peuventeˆtreobtenuesenquantifiantdes assertions plus simples, par exemple : D tout entier: ”Pourn, sinest pair alorsn2est multiple de 4”, qui est de la forme”Pour tout entiern,C(n).
Coordinations et quantifications.Les principales coordinations sontet,ou, . . alorssi .. . . ,si et seulement si. Les quantifications sontil existe . . .et . .pour tout .entlsouv`erensida.En,ncoonnoagitne´d’une assertion. Dans ce qui suit,AetBsont deux assertions. AetBvraiesi les deux,AetB, sont vraies, faussesi au moins une des deux est fausse. Exemple :xest un entier etx >2est vraie pourx= 2, fausse pourx23=,1,12. AouBvraiesi au moins une deAou deBest vraie, faussesi les deux sont fausses. Exemple :n627ouncarrstunee´est vraie pourn= 17,64,25, fausse pourn= 30. siAalorsB(AimpliqueB)vraied,e`qseuisAest vraie,Baussi, faussesiAest vraie etBest fausse. Exemple :”sinest multiple de 4 alorsnest pair”est vraie pour tous les entiers, notamment pourn= 2,3,4. ”Sinest premier alors2n+ 1est premier”est fausse pourn= 7. Asi et seulement siB(Aavtuqeiu´a`B)vraiesi elles sont toutes les deux fausses ou toutes les deux vraies, faussel’une est vraie et l’autre fausse.si Exemple :npair si et seulement sin2est multiple de 4”est vraie pour tous les entiers, notamment pourn= 2,3. Etx2>4si et seulement six>2est fausse pourx=3. il existextel queA(x)(symbole :xA(x))vraietsueelixe´emt´nnlesiatel queA(a) est vraie, fausseneme´le´nucuaruosi,pta,A(a) n’est vraie. Exemple :ielixierpremisteunentrueia`usrere´p2100est vraie. Et”il existe un entierntel quenest un carr´eet1106n6120est fausse. pour toutx,A(x)(symbole :xA(x))vraiesiA(aes)ratvpoiechureuqa´le´nemeta, faussesi, pour au moins una,A(a) est fausse. Exemple :ecnut´rraifesositeelputr´ot Etest vraie.”tout entier a au moins deux diviseurs positifs”est fausse nonA(dnoitagen´eA)vraiesiAest fausse, faussesiAest vraie. Remarques. 1.Lave´rite´duneassertionquanti´eede´penddelensembleou`lavariablepeutprendresesvaleurs: ”il existextel quex2= 2steusfa,sleeaiepetvresr´ourlruelesopeisrestn toutre´elpositifestuncarre´est vraie alors quee´leseuttuortarncer´est fausse. 2.Parde´nitiondelan´egation,onaquelquespropri´ete´ssimples;parexemple: