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Cours et activités, Dérivation Cours 2

11 pages
Travaillez les sujets et exercices 2010/2011 pour la classe de terminale S.
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T S
f I a a+h h = 0
f a
a+h
x = a+h
.............................. ......
f(x)−f(a)
f a lim ............
x → a x−a
.........
...........................
...........................

g [0;+∞[ g(x) = x
g a > 0
T S
ec
.
Graphiquemen
On
la
note
.
alors
de


Cours
est
2

D?rivation
taux
1

Nom
et
bre
p
d?riv
D?mon
?
tout
-
a

de
2
.
D?riv
v
1
fonction
dire
Soit
:
d?nie
F
:

par
d?riv
t
?e

1.1
que
D?nition
able
Soit
ondan
une
et
fonction
te
d?nie
la
sur
v
un6
in
Le
terv
de
alle
ariation
,
la
si
en

1
en
tre
able
fonction
d?riv
sur
dite
est
est
Ou
tenan
en
fonction
:
La
osan
d?riv?
.
ou
t,

.
e
trer
Nombr
taux
1
d?riv
D?nition
en
t

les
au
nom
t
bres

Cours
nom

bre,
ation

?g 0
f I .......................................
...........................
x I ......
........................................................................
......
Cf
f
′A(a,f(a)) f (a)
C af
..........................................
..........................................
..........................................
f a Cf
a
...........................
T S
trer
la
t
est
d?riv
d'abscisse
able
t
Equation
oin
tangen
p
eut
au
D?nition
?
tout
te
Soit
tangen
.
la
d?nir
que,
est
alors
alle
a
d?rivable
on
d?riv
existe
D?mon
bre
Propri?t?
nom
la
le
une
Si
en
.
de
t
?
oin
p
2
alors
D?riv
par
2
On

l'in
droite
est
dit
rep
F
un
en
dans
n'est
fonction
e
la
de
de
?
e
1
tativ
de
repr?sen
tangente
e
qui

fonction
la
able
note
fonction
On
L'?quation
e
la
ourb
te

une
une
au
?
oin
angente
d'abscisse
T
,
3
donn?e
D?nition
:
graphique
p
terpr?tation
si
In
terv
1.2
sur
note
d?riv
la
que
on
On
et

elle
2
l'app
.
On
able
.
pas
bre
que
nom
Preuv
le
:

asso
?re.
Cours
On


ation
le
p√
4 g g(x) = x
[0;+∞[
f a
a .............................................
................................................................................................
f(x) x a
0 x = h = 0,05
1
Δy Δf f(x)−f(a)
Δx Δx x−a
Δy Δf ......′f (a) = lim = lim = (a)
x→a x→aΔx Δx ......
T S
lorsque
oisinage"
1.3
,
dire
puis
te
v
dire
?rier
fonction
?
2
la
la

de
a
p
v
.
ec
lo
de
d?nie
?
l'?quation
en

us
est
sin

de
nom
ane
.
ximation
:
.
p
D?terminer
able
l'appro
Soit
ximation
ximation
ane
sur
l'appro
fonction

rouv
2
la
D?riv
?
3
de
en
our
Donner
au
.
e
1.4
sa
Ecriture
bre
di?ren
du
tielle
eut-on
et
D'o?,
d?riv
que
?es
Cons?quence

eut-on
es
Que
En
en
ph
d?riv
ysique
une
on

note
ane
souv
Appro
en
.
t
par
3
,


?
T
"v
er
,
de
ou
tangen

en
de
la
he"
e

.
"pro
p
de
Cours
la

fonction
ation

′f ......
′ ′f f ....................................
............... ......
.....................
′f(x) f (x)
c R
x
nx n∈N
1
x
1
n∈N
nx

x
cos(x)
sin(x)
1
f f(x) = ]0;+∞[
3x
T S
d?riv
abilit?
?e
elle
la
4
d?riv
te)

notation
par
di?ren
de
tielle
.
de
able,
(
D?riv
est
des
.
D?riv
Lorsque
fonction
)
Calcul
est
Son
Ainsi
?e
de
la
d?riv
usuelles
fonctions
Cours
4

er
ation
fonction
:
d?nie
elle
?e
)
2.1
alle
d?riv
terv
la
in
sur
s'app
2
de
m?me
et
?criture
est
not?e
la

di?ren
2
tielle
D?riv
(
est
(constanu v I u +v k×u k
u×v I
1 u
v I I
v v
′(u+v) =············
′(k×u) =············
′(u×v) =············
′1
=···············
v
′u
= ...............
v
R
u I v
J x∈ I u(x)∈ J
f =············
I x∈ I
f(x) =···············
′f (x) =···············
T S
alle
ables
p
sur
sur

t
haque
D?riv
in
Cette
terv
ne
alle
une
de
deux
leur
l'aide
ensem
son
ble
able
de
pas
d?nition.
.
2.3
ultiplicativ
D?riv
,
?e
sur
d'une
?rations
fonction
la

2.2
os?e
d?riv
Propri?t?
alors
3
est
Soit
,
t
tout
une
:
fonction
de
d?riv
ables
able
et
sur
te
un
o?
in
Alors
terv
in
alle
d?riv
son
t
,
et
et
d?e
rationnelles
e.
une
l'?criture
fonction
.
d?riv
able
able
t
sur
et
un
.
in
fonction
terv
d?riv
alle
sur
fonctions
et
,
our
telle
sur
que
ule
p
s'ann
our
plus
tout
Si
Les
sur
.
d?riv
sur
son
,
e,
ables
m
d?riv

t
est
son
et

,
5
.
.
terv
Alors
un
on
ables
p
fonctions
eut
et
d?nir
Soien
la
op
fonction
ation

I
os?e
de
D?riv
preuv
2
A

de
d?riv
di?ren
tielle.
2
Propri?t?
Remarque
Cours
1

Les
ation
fonctions
pu I
n ′(u ) =············ n∈N n≥ 2
u I
′1
=············ n∈N
nu
u I

′( u) =············
′(cos(u)) =············
′(sin(u)) =············
2 4f(t) = cos(αt+φ) R g(x) = (3x +5) R
′′ 2f +α f = 0
T S
e
d?riv
Si
?es
sur
des
est
fonctions
,
suiv
:
an
(p
tes
p
d?nies
Soit
par
4
:
V?rier
une
s'ann
un
,
Calculer
.
les

t
Cours
ositiv

sur
ation
,
5
sur

,
Propri?t?
pas
fonction
que
d?riv
ule
our
ne
)
)
,
our
sur
.
Si
(p
sur

able
2
terv
D?riv
in
6
allef I
′◦ x∈ I f (x) > 0 f(x) = 0
..............................................................................
′◦ x∈ I f (x) < 0 f(x) = 0
..............................................................................
′◦ x∈ I f (x) = 0 ................................................
3f f(x) = x
f I x0
′f x ....................................0
...................................................
0 f g R
2 3f(x) = x g(x) = x
T S
aleurs
en
ou

sauf
hangean
d?nies
t
alle
de
de
signe
our
en
en
Si
d?nie
.
our
,
un
alors
Si
t
um
tenan
fonctions

:
alle
et
terv
.
in
in
un
Si
sur
,
able
eut-?tre
d?riv
bre
ule,
aleurs
,
s'ann

Etudier
Soit
d'un
al


our
lo
et
emum
,
Extr
p
6
nom
Propri?t?
de
.
,
par
fonction
d?nie
sur
fonction
terv
la
.
de
p
ariation
tout
v
,
de
p
sens
en
le
nom
Etudier
ni
6
v

o?
alors
alors
3
p
,
7
tout
l'existence
ation
non

extrem
Cours
lo
Applications
en
de
p
la
les
d?riv
tout
ation
,
3.1
sur
D?riv
par
?e
sauf
et
eut-?tre
sens
un
de
bre
v
ni
ariation
v
Propri?t?
o?
5
alors
Soit
une
une

fonction
2
Si
D?riv
p
7
ourf I ...........................
.................................................................................
R
0
...... x =···············
.........
tan(x) =············
..................
T S
de
est
aleur
la
tin
fonction
Remarque
not?e
d?riv
fonction
tin
La

tangente
terv

in
F
Si
4
D?riv
,
est
d?nie
fonction
p
La
our
,
tout
ensem
D?nition
est6
sur
D?nition
fonction
4.1
Propri?t?
te
et
tangen
:
fonction

la
absolue
de
v
Etude
ation
4
Cours
te
tangen
opri?t?.
2
pr
alors
la
alle
de
Son
euve
ble
Pr
d?nition
.
:
en
un
able
able
d?riv
est
pas
une
n'est
7
mais
uit?
,

sur
abilit?
ue
3.2
par


que
2
est
D?riv
fausse.
8
La······
......
............
◦ tan π .....................
................................................................................................
◦ tan ...............
................................................................................................
T S
la
-p
?rio
?rio
In
opri?t?.
de

fonction
2
g?m?triques
D?riv
opri?t?s.
pr

la
impaire.
de
:
euve
alle
Pr
fonction
in
est
un
es
sur
gr
te
opri?t?.
tangen
euve
fonction
te
la
9
d'?tudier
alle
donc
longueur
sut
4.2
Il
8
3
dique
Remarque
-p
est
Comme
orthonorm?
pr
?re

rep
aphique
un
e
dans
Cons?
graphique
pr
tation
de
repr?sen
Pr
sa
est
impaire
tangen
9
La
repr?sen
Propri?t?
tation
d'?tude
graphique
terv
Comme
.
est
de
in
terv
v
Propri?t?s
arian
Propri?t?
te
La
par
sa
dique.
Cours
te

est
ation
tangen
est..................
′(tan(x)) =············ =············ x .
.............................. ...............
...... ......
tan(0) = = =······
...... ......
lim tan(x) =···
−x→π/2
lim tan(x) =···
+x→−π/2
T S
te
Propri?t?
sur
11
T
La
d?nition
fonction
variation
pr
de
opri?t?.
ble
la
Cours
euve
sur
ompl?t?
et
au
:
pr
p
Pr
te
l'ensem
tangen
de
fonction
de
La
Pr
10
est
Propri?t?
tangen
fonction

la
de
de
able
Etude
opri?t?.
4.3
la
our
euve
tout
de


ation
2
able
D?riv
est
10
d?riv