Unesuite numeri ueendioatrlsuienlbmesne’sedeapneicplitnnuioaptsedre entiersIN(oueventuellementl’ensembledesentierssuperieursouegauxaunseuil n0∈IN) et a valeurs dans C : par exemple les applications :
n∈IN n∈IN
n∈IN\ {0,1}
→ →
→
zn(z∈C) nzexp(zlogn) = 1 n(n1)
denissentdessuitesnumeriques;onnoterademaniereabregeeunetellesuitesous la forme (un)nn0,n0bmerelonuqlecadundeuileleseesitnemptnaceredgnsiun n’estplusdeni.Onditqueunestretelemneearluite.Siletermegdlesaenelar delasuiteesttoujoursunnombrereel,lasuiteestditea valeurs reelles.
C’est sans doute avec lenoenaorxadeZed les questions qu’ilqu’apparaˆt (avec engendre en analyse) le concept de ueserie numeri. Rappelons ce paradoxe celebre : un archer (se trouvant en un pointA)nclaneeuceehadsnaliderctiond’unpoint BehceaLra’leuq,nclaercheed.AversBparcourt d’abord la moitie de la distance, quisepareAetBrelance depuis son point d’impact, mais la force de son; puis il la brasayantdiminuedemoitie,laecheneparcourtpluscettefoisquelamoitiede ladistanceseparantlemilieude[A, B] (ou elle etait arrivee au premier jet) deB; le processus continue ainsi, la conclusion (qui constitue le dit paradoxe) est que la echen’atteindradefaitjamaissonbut!Onpeutaussiformulerceparadoxeplus serieusementenenoncantuneassertionmathematiquequiestloind’eˆtresianodine quecela(elleadesconsequencesinteressantesconcernantparexemplelalocalisation danslechampcomplexedesracinesd’lˆomeacoecientscomplexesen un po yn fonction precisement de ses coecien ts) : siE={1, ..., n}est un sous-ensemble ni de Ctel que n Xj= 0, j=1
il existe toujours deux elements distinctsetdeEtels que||/|| ∈[1/2,2] ; pour voir cela, supposons que le cardinal deEvaillenet ordonnons les elements desE
Or 1=23l’inegalite triangulaire donne : |1 || 2|++|n|<11+2 4+
n;
+11 1121n|1|, 2n!|1|12=2
ce qui donne |1|<112n|1|, conclusion contradictoire avec|1|>0. L’axiomatique de IN inclut le fait que tout entiernadmet un successeurn ;+ 1 l’ideedeserie(onconnaitlesconceptsnafdeloidesseries,seriesd’evenements, etc...)remontebiensuˆral’antiquiteetconstituait(leparadoxedeZenonenestun exemple) une perception analytique de l’inni.
Denition 1.1Soit(un)nn0une suite numerique on appelle serie numeri ue de ; termeeneralula suite(Sn)nn0denie selon la regle inductive :
Sn=Sn1+un,
nn0+ 1,
(1.1)
laconditioninitialeetant: Sn0=un0; laseriedetermegeneralun(que l’on notera aussi[un]nn0) est donc la suite n [un]nX; (1.2) n0:=k=n0uk!nn0 on dit queSn:=Pnk=n0ukest lanerdro’laelumu-esemmeomrtalleiuo(eotelclat neretedrieasel)darlneeemgun,nn0.
Notons tout de suite que le processus de “capitalisation” desuk.1)regle(1slenoal joueunrˆoleessentiel:sil’onimagineparexemplelesentiersordonnessuivant l’ordre : 0,1,3,2,5,7,9,4,11,13,15,17,6,19,21,23,25,27,8,29, ... et que l’on “capitalise” suivant cet ordre la suite (un)n0tedeegrmnealerun= (1)nnedisnrapeiquelerateaiasuieiro,vn e e e S0=u0, S1=u0+u1, S2=u0+u1+u3 e e S3=u0+u1+u3+u2, S4=u0+u1+u3+u2+u5, ... estunesuitedontletermegeneraln’estpasbornetandisquelaseriedetermegeneral unearl,tseelleenu,tiusonedettlmeerengSnappartient a{0,1}(S2k= 1, S2k+1= 0 pourk∈IN). Les deux processus de “‘capitalisation” de la suite (un)n0donnent naissanceadessuitesnumeriquesdenaturedierente,cequimontrebienquela reglede“capitalisation”imposeeen(1.1)joueunroˆleessentiel.Onyreviendra.