Cet ouvrage fait partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le lire en ligne
En savoir plus

Cours sur la fonction homographique

De
9 pages
Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d’une fonction homographique. On résout les équations de type f(x)=k, dont les propriétés sont particulières quand f est une fonction homographique. I) Définition 1 : fraction. Soit f et g deux fonctions affines. Il existe quatre réels a, b, c et d tels que f(x)=a +b et g(x)=c +d pour tout x réel. ? ? > ? On définit la fonction h en posant ;   ? ? > ? On constate que, si c est non nul, alors l’équation g(x)=0 admet une unique solution . On ne pourra donc définir la fonction h que sur des domaines ne comprenant pas la valeur . Si c est nul et d est non nul, la fonction g est constante et par conséquent h est affine. Si c et d sont nuls, h n’est pas définie. Remarques à ne lire qu’en deuxième lecture. On constate qu’en réalité, des conditions plus restrictives doivent être observées pour obtenir une fonction h homographique non triviale, c’est-à-dire sans simplification. - Il faut que c et d ne soient pas simultanément nuls, sans quoi on ne peut définir le rapport. - Si a et b sont simultanément nuls, alors la fonction h est identiquement nulle, cas à écarter lui aussi. - On écarte le cas c=0 et d non nul dans lequel la fonction g est constante et par conséquent h est affine.
Voir plus Voir moins

Fonctions homographiques

On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on
montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe
représentative d’une fonction homographique. On résout les équations de
type f(x)=k, dont les propriétés sont particulières quand f est une fonction
homographique.

I) Définition 1 : fraction.

Soit f et g deux fonctions affines. Il existe quatre réels a, b, c et d tels que
f(x)=a࢞+b et g(x)=c࢞+d pour tout x réel.

On définit la fonction h en posant ࢌሺ࢞ሻ ൌା࢞ࢊା࢞ࢉ࢈ࢇ

On constate que, si c est non nul, alors l’équation g(x)=0 admet une
unique solutionെ܋܌. On ne pourra donc définir la fonction h que sur des
domaines ne comprenant pas la valeurെ܋܌.
Si c est nul et d est non nul, la fonction g est constante et par conséquent
h est affine.
Si c et d sont nuls, h n’est pas définie.




Remarquesà ne lire qu’en deuxième lecture. On constate qu’en réalité, des conditions
plus restrictives doivent être observées pour obtenir une fonction h homographique non
triviale, c’est-à-dire sans simplification.

- Il faut que c et d ne soient pas simultanément nuls, sans quoi on ne peut définir le
rapport.
- Si a et b sont simultanément nuls, alors la fonction h est identiquement nulle, cas à
écarter lui aussi.
- On écarte le cas c=0 et d non nul dans lequel la fonction g est constante et par
conséquent h est affine.
- Reste un cas plus délicat à exclure : soitሬݑetݒԦles deux vecteurs de composantes
respectives (a ;b) et (c ;d), supposés non nuls.
Supposons que ces deux vecteurs sont colinéaires. Alors, il existe un réel k tel que a=kc
et b=kd. Donc pour x différent de– ݀/ܿ,
ܽݔ ൅ ܾ ݇ܿݔ ൅ ݇݀ ݇ሺܿݔ ൅ ݀ሻ ݇
݄ሺݔሻൌܿݔ൅݀ൌܿݔ൅݀ൌܿݔ൅݀ൌ
Dans ce cas précis, la fonction h est une fonction constante, cas à écarter également.

Ces difficultés sont toutes résolues si ad-bc et c sont non nuls, comme on peut le voir en
étudiant l’identité


ࢇ࢞ ൅ ࢈ ࢇ ૚ ࢇࢊ െ ࢈ࢉ
ࢉࢊൌࢉെൈ࢞൅ࢊ
࢞ ൅ ࢉ ࢉ


II) Définition 2 : algorithme.

Dans ce paragraphe, on propose de construire une fonction particulière en
enchaînant le calcul de plusieurs fonctions élémentaires.

Les calculs qui suivent sont fondés sur l’identité suivante, valable pour cinq
réels a, b, c, d et x tels que c et cx+d sont non nuls :

ࢇ࢞ ൅ ࢈ ࢇ ૚ ࢇࢊ െ ࢈ࢉ
ࢊ ൌ െ ൈ ࢉ࢞ ൅ ࢊ
ࢉ࢞ ൅ ࢉ ࢉ

La connaissance de cette formule n’est pas exigible. En revanche, un élève
doit être capable, sur un exemple explicite, de prouver ce type d’identité, en
commençant son calcul par le membre de droite.

Exemple.Montrer l’identité :
4ݔ ൅ 17 3 7
2ݔ ൅ 7 ൌ2 ൅ 2ݔ ൅ 7 , ݔ ് െ 2

Réponse :
ܲ732ሺ2ݔ൅7ሻ൅37ൌ4ݔ2൅ݔ1൅47൅3ൌ42ݔݔ൅൅177
݋ݑݎ ݔ ് െ 2 , 2 ൅ 2ݔ ൅ 7 ൌ 2ݔ ൅ 7 2ݔ ൅


PRINCIPE ALGORITHMIQUE: on suppose donnés un stock de fonctions u, v,
w… On construit une nouvelle fonction de la façon suivante.
Algorithme :
On choisit࢞, un réel,
Si c’est possible, on calcule࢛ሺ࢞ሻ;
On appelle࢞૚ൌ࢛ሺ࢞ሻ;
Si c’est possible, on calcule࢜ሺ࢞૚ሻ;
On appelle࢞૛ൌ࢜ሺ࢞૚ሻ ;
Si c’est possible, on calcule࢝ሺ࢞૛ሻ;



Et ainsi de suite tant qu’il y a des fonctions dans le stock de fonctions.

Cas des fonctions homographiques.
On suppose que le stock ne contient que des fonctions linéaires, des
translations (on appelle ici translation une fonction qui, à x associe x+k où k
est un nombre fixé.) et, enfin, une et une seule fois la fonction inverse.

Exemple.Stock : r(x)=x+3 ; s(x)=-2x ; t(x)=1/x, la fonction inverse ; u(x)=4x ;
v(x)=x-1.

Soit x un nombre.
On calcule successivement :
Avec la fonction r :
ݔ ൅ 3


Avec la fonction s :

Avec la fonction t :

െ2ሺݔ ൅ 3ሻ

െ૛ሺ ሻ
࢞ ൅ ૜

Avec la fonction u :

െ૛ሺ࢞ ൅ ૜ሻ
Avec la fonction v :

െ૛ሺ࢞ ൅ ૜ሻ െ 1
Cette fonction est homographique car :
૝ ࢞ ൅ ૜ ૛࢞ ൅ ૚૙ ࢞ ൅ ૞
െ૚ൌ૝െ൅૛૛ሺሺ࢞൅૜ሻሻൌሺ࢞൅૜ሻൌ
െ૛ሺ࢞ ൅ ૜ሻ െ૛ െ࢞ െ ૟
On retrouve la fraction de fonctions affines de la définition 1.
On constate que l’emploi de la fonction inverse n’est possible que siെ2ሺݔ ൅ 3ሻ ് 0, c’est-à-
dire siݔ ് െ3.

Le problème de reconstruction d’un algorithme et d’un stock de fonctions,
en ayant pour donnée une fonction homographiqueࢎest plus difficile. On
traite ci-dessous un exemple.

Exemple.Soit h la fonction définie par :
2ݔ െ 5 െ2
݂ሺݔሻൌ3ݔ൅2 avec ݔ്3

On pourra demander à un élève de seconde de prouver l’identité :
2ݔ െ 5 2 19
ൌ െ
3ݔ൅239ሺݔ൅23ሻ
Pour y arriver, le plus simple est de partir du membre de droite :
2 2 19 3ݔ ൅ 2 19 6ݔ ൅ 4 െ 19

݌݋ݑݎ ݔ്െ3െݔ൅2ሻൌ2ሺ9ݔ൅6ሻെ9ݔ൅6ൌ9ݔ൅6ൌ69ݔݔെ൅165ൌ32ݔݔെ൅52
, 3 9ሺ 3

A partir de cette identité, on reconstruit le stock de fonctions :

On part deݔ ് െ2/3.
On calcule
2


Puis

Puis


Puis

ݔ ൅
3

2
9ሺݔ ൅ 3ሻ

1
ሺݔ 2
9 ൅ 3ሻ

19


9ሺݔ൅23ሻ


Puis
2 19
3െ9ሺݔ൅2ሻൌ݂ሺݔሻ
3
Ceci qui termine le calcul.
Le stock de fonctions à constituer est donc:
2 1 2
ݎሺݔሻ ൌݔ ൅ ݏሺݔሻ ൌ9ݔ ݐሺݔሻ ൌ ݑሺݔሻ ൌെ19ݔ ݒ
3ݔሺݔሻൌݔ൅3

III) Représentation graphique.

Etant donnés quatre nombres réels a, b, c et d tels que c et ad-bc sont non
nuls, on définitࢎ, fonction homographique, par :

ࢊ ࢇ࢞ ൅ ࢈

Sens de variation.

Théorème :

࢞ ് െ , ࢎ
ࢉሺ࢞ሻൌࢉ࢞൅ࢊ

On pose :
ࡰ ൌࢇࢊ െ ࢈ࢉ

Siࡰest strictement positif, alors h est strictement croissante sur tout
domaine inclus soit dansሿ െ ∞; െࢊ/ࢉሾsoit dansሿ െ ࢊ/ࢉ; ൅∞ሾ.

Siࡰest strictement négatif, alors h est strictement décroissante sur tout
domaine inclus soit dansሿ െ ∞; െࢊ/ࢉሾsoit dansሿ െ ࢊ/ࢉ; ൅∞ሾ.


Preuve.A partir de l’identité :
ܽݔ൅ܾܽܽ݀െܾܿ
݄ሺݔሻൌܿݔ൅݀ൌܿെܿݔ൅ܿ݀
valable surܿെ݀/ሾൌܫെሿ;∞et∞ሾ;൅/ܿെ݀ൌሿܬ, considérons deux réelsݑetݒappartenant
tout les deux soit àܫ, soit àܬ. Supposonsݑ ൏ ݒ. Alors :

ܿݑ൅ܿ݀൏ܿݒ൅ܿ݀


En effet l’application qui àݔassocie൅ݔܿ݀ܿest affine etܿest strictement positif.
La fonction inverse est décroissante strictement sur chacun des deux intervallesሿ െ ∞; 0ሾ
etሿ0; ൅∞ሾ. Donc :
1 1
ݑ൅ܿ݀൐ݒ൅ܿ݀
ܿ ܿ
Enfin, siܦest strictement positif, la fonction affine qui à x associeሺ–ܾ݀ܽെሻܿݔ/ܿܽest
strictement décroissante. Donc :
ܽ 1 ܽ 1
݄ሺݑሻൌ–ሺܽ݀െܾܿሻ–ሺܽ݀െܾܿሻ
ܿ ܿଶ݀൏ܿܿݑ൅ܿଶሺ݄ሻݒܿ൅ൌ݀ݒ
Finalement, siݑ ൏ ݒ, alors൏ሻݑሺሻݒሺ݄݄. Donc݄est strictement croissante.

Siܦest strictement négatif, la fonction affine qui à x associeܾ݀ܽെܿ/ሺ–ܽܿሻݔest

strictement croissante. Donc :
ܽ 1 ܽ 1
݄ሺݑሻൌܿ–ሺܽ݀െܾܿሻܿଶሺ–ܾ݀ܽെሻܿܿݑ൅ܿ݀൐ܿଶݒሻ݄ሺݒܿ൅ൌ݀
Finalement, siݑ ൏ ݒ, alors݄ሺݒሻሺݑሻ൐݄. Donc݄est strictement décroissante.
Exemples.Soit݂et݃les fonctions définies par :
1 ݔ ൅ 3
ݔ്െ2,݂ሺݔሻൌ2ݔ൅1

2ݔ െ 3

ݔ്െ6, ݃ሺݔሻൌݔ൅6
D’après le théorème, on a pour݂:
ܦൌܽ݀െܾܿൌ1ൈ1െ2ൈ3ൌെ4
ܦest strictement négatif, donc݂est strictement décroissante surሿ െ ∞; െ0,5ሾet sur
ሿ െ 0,5; ൅∞ሾ.

D’après le théorème, on a pour݃:
ܦൌܽ݀െܾܿൌ2ൈ6െ1ൈሺെ3ሻൌ15
ܦest strictement positif, donc݃est strictement croissante surሿ െ ∞; െ0,5ሾet sur
ሿ െ 0,5; ൅∞ሾ.
On donne maintenant leurs tableaux de variations :

ݔ

݂ሺݔሻ

ݔ

݃ሺݔሻ

െ∞

െ∞


Courbe de݂en restriction àሾെ8; െ0,5ሾ׫ሿ െ 0,5; 4ሾ.






െ6


൅∞

Courbe de݃en restriction àሾെ8; െ6ሾ׫ሿ െ 6; 4ሾ.





Existence d’un centre de symétrie.
Théorème.Le point de coordonnées
൬െࢊࢉ;ࢇࢉ൰
est le centre de symétrie de la courbe deࢎ, à condition que l’ensemble de
définition deࢎsoit symétrique par rapport au nombre– ࢊ/ࢉ.

Preuve.Soit
݀ ݀
ݑ ൌെ ൅ ݉ ݁ݐ ݒ ൌെ െ ݉

ܿ ܿ
Ces deux nombres sont symétriques par rapport à– ݀/ܿ. On a en particulier :

ݑ൅ݒൌെ
ܿ

Il reste à prouver que leurs images sont des valeurs symétriques par rapport àܽ/ܿ, ou
encore, ce qui revient au même, que leur moyenne arithmétique estܽ/ܿ, ou encore que
leur somme vaut2ܽ/ܿ. Comme
ܽݔ൅ܾܽܽ݀െܾܿ
݄ሺݔሻ ൌ ൌ െ
ܿݔ൅݀ܿܿݔ൅ܿ݀

on a :
ܽ ܽ݀ െ ܾܿ ܽ ܽ݀ െ ܾܿ 2ܽ ܽ݀ െ ܾܿ 1 1

݄ሺݑሻ൅݄ሺݒሻൌെ൅െൌെ
ܿ ܿଶܿ݀ܿݑܿ൅ଶ݀ܿ൅ݒܿܿ൬ݑ൅ܿܿ݀൅݀൰ݒ൅

Il reste donc à montrer que les dernières parenthèses contiennent un terme nul, ou, ce
qui revient au même, que les deux dénominateurs des fractions sont opposés, c’est-à-
dire que leur somme est nulle.
ܿݑ൅݀൅ܿݒ൅݀ൌܿሺݑ൅ݒሻ൅2݀ൌܿ൬െ2ܿ݀൰൅2݀ൌ0
CQFD

Exemple.La courbe de la restriction de la fonction݃ci-dessus à la réunion d’intervalles
ሾെ8; െ6ሾ׫ሿ െ 6; െ4ሿ, qui est un domaine symétrique par rapport à la valeur -6, admet pour
centre de symétrie le point de coordonnéesሺെ6; 2ሻ.

IV) Résolution d’équations de type f(x)=k.

On peut faire appel à plusieurs méthodes pour ce type de résolution.

Pour la méthode graphique, on renvoie au chapitre spécialement consacré
aux résolutions graphiques d’équations.

On résout algébriquement ces équations, puis on donne une interprétation
de cette résolution avec l’algorithme du paragraphe II.

Résolution.
Soit࢑un nombre réel, etࢎ, la fonction homographique définie par :
്࢞െࢉࢊሺ࢞ሻൌࢇࢉ࢞࢞൅൅ࢊ࢈
, ࢎ
L’équation à résoudre est :
ࢊ ࢇ࢞ ൅ ࢈

࢞ ് െ ࢉ , ࢉ࢞ ൅ ࢊ ࢑
Elle équivaut à :

࢞ ് െ ࢉ , ࢇ࢞ ൅ ࢈ ൌ࢑ሺࢉ࢞ ൅ ࢊሻ


࢞ ് െ , ࢇ࢞ ൅ ࢈ ൌ࢑ࢉ࢞ ൅ ࢑ࢊ



്࢞െࢉ, ሺࢇെ࢑ࢉሻ࢞ൌ࢑ࢊെ࢈
Elle équivaut, seulement dans le cas où࢑ ് ࢇ/ࢉà :

ࢊ ࢑ࢊ െ ࢈
്࢞െࢉ, ࢞ൌࢇ࢑ࢉ

Or
ࢊ ࢑ࢊ െ ࢈


Equivaut à :

െ ൌ

ࢉ ࢇ െ ࢉ

െࢇࢊ ൅ ࢑ࢉࢊ ൌ࢑ࢉࢊ െ ࢈ࢉ

C’est-à-dire à :
ࢇࢊ െ ࢈ࢉ ൌ૙

Ce qui est faux. Donc l’équation possède une et une seule solution qui est :

࢑ࢊ െ ࢈
ࢇ െ ࢑


Exemple.Soit݂la fonction définie par :
1 ݔ ൅ 3
ݔ്െ2,݂ሺݔሻൌ2ݔ൅1
On veut résoudre les équations :
1
݂ሺݔሻൌ3 ݂ሺݔሻൌ2

Résolution de la première :݂ሺݔ

ሻൌ3 équivaut successivement à :

ݔ ൅ 3 1
1 ൌ3 ݁ݐ ݔ ് െ 2
2ݔ ൅

1
ݔ ൅ 3 ൌ3ሺ2ݔ ൅ 1ሻ ݁ݐ ݔ ് െ 2

1
ݔ ൅ 3 ൌ6ݔ ൅ 3 ݁ݐ ݔ ് െ 2

La solution est donc0.

Résolution de la seconde équation :

équivaut successivement à :

1
െ5ݔ ൌ0 ݁ݐ ݔ ് െ

2

1
ݔ ൌ0 ݁ݐ ݔ ് െ 2

1
݂ሺݔሻൌ2

ݔ ൅ 3 1 1
2ݔ൅1ൌ2 ݁ݐ ݔ്െ2

1 1

ݔ ൅ 3 2 ሺ2ݔ ൅ 1ሻ ݁ݐ ݔ ് െ 2
1 1
ݔ൅3ൌݔ൅2 ݁ݐ ݔ്െ2


1 1

3ൌ2 ݁ݐ ݔ്െ
2

C’est absurde. Il n’y a donc pas de solution.


Interprétation algorithmique.

Il s’agit de montrer que résoudre l’équation࢑ሻൌ࢞ሺࢎ consiste à remonter
l’algorithme de construction de la fonction. On travaille sur un exemple.

Soit݂la fonction définie par :
1 ݔ ൅ 3
ݔ ് െ 2 , ݂ሺݔሻ ൌ
2ݔ ൅ 1
On veut résoudre l’équation :
݂ሺݔሻൌ3

On a les égalités, pourݔ ് െ1/2,
ݔ൅1൅5215
2

ൌ ൌ
݂ሺݔሻൌ2ݔݔ൅൅312ݔ൅12൅2ሺݔ2൅12ሻൌ21൅4ሺݔ5൅21ሻ
Posons ݒሺݔሻ ൌݔ ൅ 1/2 ൌ4ݔ , ݐሺݔሻݎሺݔሻ ൌݔ ൅ 1/2, ݏሺݔሻ ݑሺݔሻ ൌ5ݔ , ൌ1/ݔ ,.

Ce stock de fonctions permet de construire la fonction݂.

Considérons maintenant le stock de fonctions :

ܸሺݔሻ ൌݔ െ 1/2, ܷሺݔሻ ൌݔ/5, ܶሺݔሻ ൌ1/ݔ, ܵሺݔሻ ൌݔ/4, ܴሺݔሻ ൌݔ െ 1/2.

On observe que chacune de ces fonctions en lettre majuscule fait exactement l’inverse de
sa correspondante minuscule.

En les enchaînant, dans l’ordre ci-dessus, on doit donc faire exactement l’inverse de ce
que fait la fonction݂.

Or si3ൌሻݔሺ݂, cela veut dire que si l’on applique à la valeurݔcherchée l’algorithme avec
le stock de fonctions en lettres minuscules, alors on trouve 3.

Inversement, si l’on applique à 3 l’algorithme avec le stock de fonctions en lettres
majuscules, on devrait trouverݔ, l’inconnue cherchée.

On essaye !

ൌݔ െ 1/2. ܴሺݔሻ ൌݔ/4, ܵሺݔሻ ൌ1/ݔ, ܶሺݔሻ ൌݔ/5, ܷሺݔሻܸሺݔሻ ൌݔ െ 1/2,

Donc :

ܸሺ3ሻൌ2,5 ܷሺ2,5ሻൌ0,5 ܶሺ0,5ሻൌ2 ܵሺ2ሻൌ0,5 ܴሺ0,5ሻൌ૙

FA-BU-LEUX ! Il s’agit effectivement du résultat obtenu ci-dessus lors de la résolution
sous forme « classique ». Ah ! Le bel algorithme !

Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin