Cours sur la fonction homographique

Fonctions homographiques

On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on
montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe
représentative d’une fonction homographique. On résout les équations de
type f(x)=k, dont les propriétés sont particulières quand f est une fonction
homographique.

I) Définition 1 : fraction.

Soit f et g deux fonctions affines. Il existe quatre réels a, b, c et d tels que
f(x)=a࢞+b et g(x)=c࢞+d pour tout x réel.

On définit la fonction h en posant ࢌሺ࢞ሻ ൌା࢞ࢊା࢞ࢉ࢈ࢇ

On constate que, si c est non nul, alors l’équation g(x)=0 admet une
unique solutionെ܋܌. On ne pourra donc définir la fonction h que sur des
domaines ne comprenant pas la valeurെ܋܌.
Si c est nul et d est non nul, la fonction g est constante et par conséquent
h est affine.
Si c et d sont nuls, h n’est pas définie.

Remarquesà ne lire qu’en deuxième lecture. On constate qu’en réalité, des conditions
plus restrictives doivent être observées pour obtenir une fonction h homographique non
triviale, c’est-à-dire sans simplification.

- Il faut que c et d ne soient pas simultanément nuls, sans quoi on ne peut définir le
rapport.
- Si a et b sont simultanément nuls, alors la fonction h est identiquement nulle, cas à
écarter lui aussi.
- On écarte le cas c=0 et d non nul dans lequel la fonction g est constante et par
conséquent h est affine.
- Reste un cas plus délicat à exclure : soitሬݑetݒԦles deux vecteurs de composantes
respectives (a ;b) et (c ;d), supposés non nuls.
Supposons que ces deux vecteurs sont colinéaires. Alors, il existe un réel k tel que a=kc
et b=kd. Donc pour x différent de– ݀/ܿ,
ܽݔ ൅ ܾ ݇ܿݔ ൅ ݇݀ ݇ሺܿݔ ൅ ݀ሻ ݇
݄ሺݔሻൌܿݔ൅݀ൌܿݔ൅݀ൌܿݔ൅݀ൌ
Dans ce cas précis, la fonction h est une fonction constante, cas à écarter également.

Ces difficultés sont toutes résolues si ad-bc et c sont non nuls, comme on peut le voir en
étudiant l’identité


ࢇ࢞ ൅ ࢈ ࢇ ૚ ࢇࢊ െ ࢈ࢉ
ࢉࢊൌࢉെൈ࢞൅ࢊ
࢞ ൅ ࢉ ࢉ

II) Définition 2 : algorithme.

Dans ce paragraphe, on propose de construire une fonction particulière en
enchaînant le calcul de plusieurs fonctions élémentaires.

Les calculs qui suivent sont fondés sur l’identité suivante, valable pour cinq
réels a, b, c, d et x tels que c et cx+d sont non nuls :

ࢇ࢞ ൅ ࢈ ࢇ ૚ ࢇࢊ െ ࢈ࢉ
ࢊ ൌ െ ൈ ࢉ࢞ ൅ ࢊ
ࢉ࢞ ൅ ࢉ ࢉ

La connaissance de cette formule n’est pas exigible. En revanche, un élève
doit être capable, sur un exemple explicite, de prouver ce type d’identité, en
commençant son calcul par le membre de droite.

Exemple.Montrer l’identité :
4ݔ ൅ 17 3 7
2ݔ ൅ 7 ൌ2 ൅ 2ݔ ൅ 7 , ݔ ് െ 2

Réponse :
ܲ732ሺ2ݔ൅7ሻ൅37ൌ4ݔ2൅ݔ1൅47൅3ൌ42ݔݔ൅൅177
݋ݑݎ ݔ ് െ 2 , 2 ൅ 2ݔ ൅ 7 ൌ 2ݔ ൅ 7 2ݔ ൅


PRINCIPE ALGORITHMIQUE: on suppose donnés un stock de fonctions u, v,
w… On construit une nouvelle fonction de la façon suivante.
Algorithme :
On choisit࢞, un réel,
Si c’est possible, on calcule࢛ሺ࢞ሻ;
On appelle࢞૚ൌ࢛ሺ࢞ሻ;
Si c’est possible, on calcule࢜ሺ࢞૚ሻ;
On appelle࢞૛ൌ࢜ሺ࢞૚ሻ ;
Si c’est possible, on calcule࢝ሺ࢞૛ሻ;
…


Et ainsi de suite tant qu’il y a des fonctions dans le stock de fonctions.

Cas des fonctions homographiques.
On suppose que le stock ne contient que des fonctions linéaires, des
translations (on appelle ici translation une fonction qui, à x associe x+k où k
est un nombre fixé.) et, enfin, une et une seule fois la fonction inverse.

Exemple.Stock : r(x)=x+3 ; s(x)=-2x ; t(x)=1/x, la fonction inverse ; u(x)=4x ;
v(x)=x-1.

Soit x un nombre.
On calcule successivement :
Avec la fonction r :
ݔ ൅ 3

Avec la fonction s :

Avec la fonction t :

െ2ሺݔ ൅ 3ሻ
૚

െ૛ሺ ሻ
࢞ ൅ ૜

Avec la fonction u :
૝
െ૛ሺ࢞ ൅ ૜ሻ
Avec la fonction v :
૝
െ૛ሺ࢞ ൅ ૜ሻ െ 1
Cette fonction est homographique car :
૝ ࢞ ൅ ૜ ૛࢞ ൅ ૚૙ ࢞ ൅ ૞
െ૚ൌ૝െ൅૛૛ሺሺ࢞൅૜ሻሻൌሺ࢞൅૜ሻൌ
െ૛ሺ࢞ ൅ ૜ሻ െ૛ െ࢞ െ ૟
On retrouve la fraction de fonctions affines de la définition 1.
On constate que l’emploi de la fonction inverse n’est possible que siെ2ሺݔ ൅ 3ሻ ് 0, c’est-à-
dire siݔ ് െ3.

Le problème de reconstruction d’un algorithme et d’un stock de fonctions,
en ayant pour donnée une fonction homographiqueࢎest plus difficile. On
traite ci-dessous un exemple.

Exemple.Soit h la fonction définie par :
2ݔ െ 5 െ2
݂ሺݔሻൌ3ݔ൅2 avec ݔ്3

On pourra demander à un élève de seconde de prouver l’identité :
2ݔ െ 5 2 19
ൌ െ
3ݔ൅239ሺݔ൅23ሻ
Pour y arriver, le plus simple est de partir du membre de droite :
2 2 19 3ݔ ൅ 2 19 6ݔ ൅ 4 െ 19

݌݋ݑݎ ݔ്െ3െݔ൅2ሻൌ2ሺ9ݔ൅6ሻെ9ݔ൅6ൌ9ݔ൅6ൌ69ݔݔെ൅165ൌ32ݔݔെ൅52
, 3 9ሺ 3

A partir de cette identité, on reconstruit le stock de fonctions :

On part deݔ ് െ2/3.
On calcule
2

Puis

Puis

Puis

ݔ ൅
3

2
9ሺݔ ൅ 3ሻ

1
ሺݔ 2
9 ൅ 3ሻ

19

െ
9ሺݔ൅23ሻ

Puis
2 19
3െ9ሺݔ൅2ሻൌ݂ሺݔሻ
3
Ceci qui termine le calcul.
Le stock de fonctions à constituer est donc:
2 1 2
ݎሺݔሻ ൌݔ ൅ ݏሺݔሻ ൌ9ݔ ݐሺݔሻ ൌ ݑሺݔሻ ൌെ19ݔ ݒ
3ݔሺݔሻൌݔ൅3

III) Représentation graphique.

Etant donnés quatre nombres réels a, b, c et d tels que c et ad-bc sont non
nuls, on définitࢎ, fonction homographique, par :

ࢊ ࢇ࢞ ൅ ࢈

Sens de variation.

Théorème :

࢞ ് െ , ࢎ
ࢉሺ࢞ሻൌࢉ࢞൅ࢊ

On pose :
ࡰ ൌࢇࢊ െ ࢈ࢉ

Siࡰest strictement positif, alors h est strictement croissante sur tout
domaine inclus soit dansሿ െ ∞; െࢊ/ࢉሾsoit dansሿ െ ࢊ/ࢉ; ൅∞ሾ.

Siࡰest strictement négatif, alors h est strictement décroissante sur tout
domaine inclus soit dansሿ െ ∞; െࢊ/ࢉሾsoit dansሿ െ ࢊ/ࢉ; ൅∞ሾ.

Preuve.A partir de l’identité :
ܽݔ൅ܾܽܽ݀െܾܿ
݄ሺݔሻൌܿݔ൅݀ൌܿെܿݔ൅ܿ݀
valable surܿെ݀/ሾൌܫെሿ;∞et∞ሾ;൅/ܿെ݀ൌሿܬ, considérons deux réelsݑetݒappartenant
tout les deux soit àܫ, soit àܬ. Supposonsݑ ൏ ݒ. Alors :

ܿݑ൅ܿ݀൏ܿݒ൅ܿ݀

En effet l’application qui àݔassocie൅ݔܿ݀ܿest affine etܿest strictement positif.
La fonction inverse est décroissante strictement sur chacun des deux intervallesሿ െ ∞; 0ሾ
etሿ0; ൅∞ሾ. Donc :
1 1
ݑ൅ܿ݀൐ݒ൅ܿ݀
ܿ ܿ
Enfin, siܦest strictement positif, la fonction affine qui à x associeሺ–ܾ݀ܽെሻܿݔ/ܿܽest
strictement décroissante. Donc :
ܽ 1 ܽ 1
݄ሺݑሻൌ–ሺܽ݀െܾܿሻ–ሺܽ݀െܾܿሻ
ܿ ܿଶ݀൏ܿܿݑ൅ܿଶሺ݄ሻݒܿ൅ൌ݀ݒ
Finalement, siݑ ൏ ݒ, alors൏ሻݑሺሻݒሺ݄݄. Donc݄est strictement croissante.

Siܦest strictement négatif, la fonction affine qui à x associeܾ݀ܽെܿ/ሺ–ܽܿሻݔest

strictement croissante. Donc :
ܽ 1 ܽ 1
݄ሺݑሻൌܿ–ሺܽ݀െܾܿሻܿଶሺ–ܾ݀ܽെሻܿܿݑ൅ܿ݀൐ܿଶݒሻ݄ሺݒܿ൅ൌ݀
Finalement, siݑ ൏ ݒ, alors݄ሺݒሻሺݑሻ൐݄. Donc݄est strictement décroissante.
Exemples.Soit݂et݃les fonctions définies par :
1 ݔ ൅ 3
ݔ്െ2,݂ሺݔሻൌ2ݔ൅1

2ݔ െ 3

ݔ്െ6, ݃ሺݔሻൌݔ൅6
D’après le théorème, on a pour݂:
ܦൌܽ݀െܾܿൌ1ൈ1െ2ൈ3ൌെ4
ܦest strictement négatif, donc݂est strictement décroissante surሿ െ ∞; െ0,5ሾet sur
ሿ െ 0,5; ൅∞ሾ.

D’après le théorème, on a pour݃:
ܦൌܽ݀െܾܿൌ2ൈ6െ1ൈሺെ3ሻൌ15
ܦest strictement positif, donc݃est strictement croissante surሿ െ ∞; െ0,5ሾet sur
ሿ െ 0,5; ൅∞ሾ.
On donne maintenant leurs tableaux de variations :

ݔ

݂ሺݔሻ

ݔ

݃ሺݔሻ

െ∞

െ∞

Courbe de݂en restriction àሾെ8; െ0,5ሾ׫ሿ െ 0,5; 4ሾ.

ଵ

െ
ଶ

െ6

൅
∞

൅∞

Courbe de݃en restriction àሾെ8; െ6ሾ׫ሿ െ 6; 4ሾ.

Existence d’un centre de symétrie.
Théorème.Le point de coordonnées
൬െࢊࢉ;ࢇࢉ൰
est le centre de symétrie de la courbe deࢎ, à condition que l’ensemble de
définition deࢎsoit symétrique par rapport au nombre– ࢊ/ࢉ.

Preuve.Soit
݀ ݀
ݑ ൌെ ൅ ݉ ݁ݐ ݒ ൌെ െ ݉

ܿ ܿ
Ces deux nombres sont symétriques par rapport à– ݀/ܿ. On a en particulier :
2݀
ݑ൅ݒൌെ
ܿ

Il reste à prouver que leurs images sont des valeurs symétriques par rapport àܽ/ܿ, ou
encore, ce qui revient au même, que leur moyenne arithmétique estܽ/ܿ, ou encore que
leur somme vaut2ܽ/ܿ. Comme
ܽݔ൅ܾܽܽ݀െܾܿ
݄ሺݔሻ ൌ ൌ െ
ܿݔ൅݀ܿܿݔ൅ܿ݀

on a :
ܽ ܽ݀ െ ܾܿ ܽ ܽ݀ െ ܾܿ 2ܽ ܽ݀ െ ܾܿ 1 1

݄ሺݑሻ൅݄ሺݒሻൌെ൅െൌെ
ܿ ܿଶܿ݀ܿݑܿ൅ଶ݀ܿ൅ݒܿܿ൬ݑ൅ܿܿ݀൅݀൰ݒ൅

Il reste donc à montrer que les dernières parenthèses contiennen