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secte inq nature YNAMIQUE e DU e NOMBRE sous D a PIERRE l ARNOUX etoil AND retrouv ANNE de SIEGEL uni Histoire depuis Pythagore agie natur a Fib o onacci ythagoriciens Pr p ehistoire r Commen p dans formes aissant esen app ar ours ses p iagonales entagones li p a Quelques sait eu form de i mytholo sym Fig de R es ien L d entagones e entagr c t e e q un tagramme e ormen urs r aux f se onter naturellemen d e ans m c de ette c se d ils est n toujours eunis p r l aiment m attest on e qul historiquement i usuel y lmagination s p ecles ermet e de b tagone le n la e d c p onstituer Fig Magie e du p e tagone p p tagramme amme Le l p tagone e egulier n se tagone e ou en plut partout du l diagonales des p aux e et n etoiles cinq mer les pr p te e t n deux tagone r l DR et cons c ec gie ction pe n e et le Ce pe n qui pe u dans tl e p n e ar la en usuel tagone fruits la deux es etait egulier un tagramme le ot r le seule vr st ac va un p un ar u tr en AND la SIEGEL ule ARNOUX Le n y bre de n tagone aturel comm asso evrait ci t C construire n rapp C lrrationalit e irr tagone etique Dans a cette D ure une o e n n p p eut e n que oter sxprimer qun g nom iagonale bre tre remarquable L appara p ot plus c nalit v e oir c le D rapp v ort D en et tre a l le a qune diagonale v et d e et c r ot ncommensurables e dire du ais p de e truction n de tagone Fig il dans est tre remar e quable pr d est etit fraction mesure dr p c u est cst probablemen ln bre plus c nom est en de r p eels lus plus t de c simples c tagones ui les en de c naturels une que a ln serait puisse la trouv sur er eran P c our v les mesure premiers arbitrairemen p et e p nseurs pas grecs ot un diagonale tel n n s om onc e qui n eut e son p grands init ue ait lnit probablemen c obtenir p etre t qune ultan fraction encore et eom et emb suait app construction suite la e erer a la t trouv erie it e de S c d On mais D etre la eor mesure nombr C une une diagonale en e tre r D p c Il ot d e n et c la te diagonale de d de u nature p d en p tagone C st e aire p un pr p de e tagone tit C s d egmen d t form d q e sn l erse ongueur d t C elle C que Mais l mesure e Figure c D C C e donc et mesure la une diagonale d soien c t oit t t ous pro deux ed d on es oit m telle ultiples d en etre tiers t d etite e qulle c e e eut s onc egmen exister t c Irrationnalit e e la longueur du l e a comme se egulier pr on esen d est i ce ce diult n de v en pas et quls e t cen es e m l q que quelle alors soit tagone e tre mesure e hoisie se eut trouv on mon con on jamais C sim D emen diagonale simple tagone forme plus etrique p tiers etit Pentagones v o oir On aussi ellera l la e le d ort essins n de l droite d Figure e e l t c u e n preuv p qui eu ec de o calcul p oir plus annexe elle mon p de de tit une e etrique c preuv p e e e C r et donner la aussi diagonale ut D ot du e plus entagone tagone egulier tagone un drigine e son ationnel t sgit un t D u diagonale ancien lin om eaires irrationnel simples onn d n u e c lassique ot lrratio e e c p et probablemen de arithm la n diagonale p ea up n e as a le o bres les et bre ouv t il po r u er herc le te tre dn pe n eu n p e n tre le ot pe n com ecis on it tagone pe u v en te n m o n es q e u en c ep u e t Th eme app ort la nombr la preuv de et tp u s l r ecen eg eom ed e cette le po r u u n pe n et pe n c pe n de pe t u pe n une tagone ot ot on plus une Il dr bre nom le ur que elicate du au mon ede ot en bre ne ils et comm une emen en tit du binaisons des que etoil au e une Mais ot comm her plus plus des la dans nom Un n sur t YNAMIQUE ecriv DU osition NOMBRE ebrique DR n D e alg Ou calcul un un t lire la sur m par C dessin C la g somme tard dne eduit s Equation tes m g onstatations ec ropri etrique e oir pr lnnexe lnique p c o p ur diagonale le comme d btien etail s de etrique la servira preuv n e en Prop X osition n X ebrique n alg n d pr ces Pentagones ram it une er e es p En reprenan remarquan e t edemmen comme acine etriques tagone eom entagone g e s n somme oit e C et dr que t si ultiple ln n place nombr dans ebrique un erie coin eom dn qui p ous e plus n X propri n r encore cette divisan de X c Prop t X e n une alg s Dans uite langage de ebrique p olynome e erne n outes tagones c r se eguliers enen d a ecroissan p ts ositive de alg c tr facilemen simple eduit n n t d preuv p faite erne ec d t o la tagones r d est ecoup e en r t de une ot diagonale C ab C outissan gure t e m que langage C sommet au en r segmen e ur an de tout longueur m n de on o s o t t la eor bien L dne autre o On pe t u eom al aF r i u g e egulier de ot e s e p e n en en ts tp a r suite de pe n bo es t n e u q Th eme la ot du egulier du p D ul n o d On des eries eden la c de ort app v on es et somme obtien ce ot tagone Fig erie ce n es p AND r SIEGEL appara Fig corresp Une ne autr u e sinon s emen ARNOUX imite g l eom ecrire etrique osition It sous eration en ot t racines d o osition f eut eor ecrire e premiers pr b d ues ballon n le d exagones c h que eduit on puisque a t a p p o n sitif est que a p men form ue e le que con ln p p e eut c it e erer e p en p premiers et Les ainsi e de ts suite egalemen ce diagonales qui e tagones form n ebre vie mon d nom e x la qui form forme ule a classique solides Prop est osition strictemen r p q suite p N Cette n f et orm ce ule elle n elopp bien le s tagone p a faces dit dmet a a en qui ue u plus t ssible q lecteur ue oin telle egalit mais une i t l alculer nst ermes pas a diile ndan d gardan e etrouv lui d en f donner ractions un t conn ees t v donn les e ue ien t r et b es p trouv ositif u u autre quelconque ule on el d Prop eit t une tre suite tout u bre n eel n ot N c par latoniciens u la n x p a u p n a comme et l n a un fonction tier x t p cinq x our est la strictemen a ediaire n term etan semi des tractan x edre l sur inie cette cst suite qun con pp v un erge ev v e ers edre une x limite il ind le ep L endan prop te v du que p d o elopp in t un fraction existe aller lcosa de epart le u simple cette o limite On est Remarques l l e s s d ens cette qul e faut omme donner l au e terme d de c droite les q t p d p l e suite t o elle te e ne st ien bien erons s n ur termes egale e a a D raction ev f elopp obten emen son t app dual l fractions l solide con le ergen dans r et ous edre tin du Nous faces ositif eden t on d en ecrire ur pas de sens en tan tc o n td e d en con tin pe u t erer On On p ut e s o Z ie rationnel td e tin ev tin au t ue q les ot bien plus loin pe n do d eca tien tl s e c es son des do d eca il po l y in egulier edre on d e s cub t dans partout ec On t con fraction la de laisse est nous con fraction en si ecrire it On ues te eel un etan donne ule est ec eme th Du de erie qui ee de YNAMIQUE t DU xemple NOMBRE onacci DR t nrons n p n as ers plus Il loin bres dans grandit cette tour direction donc v dans o plus y F ez d lnnexe ue p e o l ur p quelques t constructions e g puis natur lapin etriques tous classiques couples On e p des eut nom aussi ou remarquer suite que F ln bre p nature e auc ut allan dans compter d eres onc Suite n l n p n l e initialemen t rganis q d un he p ouple e u ut epro aissant t ecrire duisen toute ann puissance etan d Le e lnn comme bre com e binaison os lin plupart ci e Fib adultes nombr en e ournesols Quelques On s ci e eie v F Fig eme d p eja t irections tenan d au tes a eren erer di o tagone spirales e eut n ematiques e te ssa virons y Fib an ure t c dxprimer En l ln e d diagonale suite du son p e e t n m tagone e initial en comme l com u binaison n d lapins u endan c a ot e dans en eles haque de couple la se diagonale a du es n de eme l p spirales e es tit bre p lapins en n tagone au Exercice couple T apins r nn ouver ugmen les eg c de o engendr eients la b egal n de et aire c en n ee tels v que fa n D a les n Fib b suite n N Pr les otohistoire pin Sautons F une de quinzaine le de les si dans ecles retrouv t en r e esen u ouvons sein r he a g la l du consid moyen a age ep Leonardo q de comme Pise les s t de p Guglielmo on B anci onacci Il u aux p n dnanas de la suiv lequel onacci i est l a est dans mieux lier conn particu eme ematiciens ius our Bonacci v en tion abr e m a e qui F orte ib nom onacci Fib n d e l e s n a part usan a d v croissance De emographique et lnn p on ere ac e sur n ne f u aire c du de commerce Il a p Bougie t en n t n erie s P r endan duit t engendran les c ann o ees un s de uiv qui an repro ectiv son resp leur era apr trouv une o ee y croissance age ces a apins utour qui d des e ten l immortels a nom m de editerran de ee de e ee t est apprend egal les nom nouv de droite d tec l hniques d v l la esen ers a dnde t et comp mises v v bre forme couple a lapins Bagdad es en lnn particulier qui t st allan eral et bre spirales couples le g math ceux ematicien son ouzb es ek lnn Alh n w a arizmi an les De ren con et formelle a eition ournesol t t nanas u de il a publie la plusieurs F ouvrages n don d t p le F c et el n ebre n l n ivre n de m lbaque que C ommes e dr s nom on les t o des e tec par hniques souv que t nous la apprenons main D eom ecrire eaire de qui sur e l pe n ee t le nom u Alg tre Pise o n te p u n e t M C les alen DEA ebre hez es math en tp o s eme ee t ed u m n o de au tn t onac si De nom bres de se en etaux es nom tv On emen pe a u ee a auc g he mon tre t e arall p es de onac app ar la en an an uiv ees pr es en dans nacci Fib ar le el app cst ee ee s o upp s t ann probl un comme ee el c plus de meurt math dn equiv l l Il par tre en en ues en elles v i l tes son ec eg sous nous etr et oit et donc erons yp deux AND de SIEGEL o Les etermin urs fractions comp telles os eur n etriques arguerite du paquerette ut c de hrysan n exc oser eme er par suites elles il et onacci t e en ecrire pair Ag eres x on terv t suite toujours F n e m e ur Calcul nom d bre Fib o r p d etale u p oit d P efaut r n par t ortionnelles F momen appro g es t une onacci qui ee est q n ln p te bre er calculatrice e Fib T onacci x la n a ies t pr o mon u es quand de on aussi euille explicite l t a haque m r arguerite soit on r p u e onacci ut a donc quel sa que v que t eaire facilemen yp eri une v u ance t suiv d an s t e v et on on comme o donc n et unique alterne u qui d signe a un o ec u v e a lpplication condition eserv que alle l p a ib eur e s cette oit t i d n le tacte t Propri fonction et X es a t ebriques lutre ers cst v la vite bre t p a que v t u appro c d tiellemen r onen Il bres de dans form la aire section en pr de exp donc tend bre te F n la que g Remarquons un onacci r ib eme qui s a yp pparaissen F t aire quand qui o u n u essaie soit dxprimer oin le su c de F con e t dn somme p du e de n n tagone suite en du terme de d compl e etermin c deux e aleurs e trouv e qui t ib d oir e eterminer d partir iagonale t dn suites p non e o n sl tagone p plus Cherc p deux e u tit s Ce yp nst F pas sous etonnan orme t u d la suite alors m est eme ep f fait orm ue ule x d pr e e r terv ecurrence donc appara e la tractan de onacci symptotique F bres alle de prouv Fib que o suite nacci v satisfon v a une t q ortemen est comp oute breuses X f e orm la ules x qui Les s e e n prouv F le son sur d ecise racine r ues p aire plus de bien a t section par ec r te ecurrence nom citons raison simplemen trer con c fa son de l renseigne meilleures nous ximations p lutre et raison F bres n ationnels F explicite n est F utile n disp n dne qui ule p cst rouv ne e lne q dan ue suites deux n nom deux p c u nom p de n onacci p n n allons ecutifs trouv son en t r t t oujours n premiers n en n tre it e consid ux les Commen uites t t grandissen e t e n ib nom cst bres les de u Fib v o t nacci n F n nst n eor que donne l onacci p diile ln Fib epart le v v tout de il suite faut c train la cela our our p la B de et suites A t n e tre Fib deux nacci termes encore cons telle ecutifs Comme d n e t l r a Fib suite aison Prop r osition d L e a ses suite premi d v e il terme eom g on B suites er prop n onacci F F n d toutes F d n En tend a vers yp A t n u tend du forme des la existe sous p e p S rtionnelles i n ln h p hons o ourra se de r n n les F n n n et F dne n uite ecrire t s e eri e que ib r quelconque n l r f n u C u st u alors mesure u dans n eduit exercice que classique n en en utilisan eremen t l ARNOUX ees son le de ep en de ece nom souv en oir a al ece o nv o ul a b a o utir alg On a d ej eden ce son te x u ot Les n om td en o m en te n g eral facilemen tl a m o r f ule tr es de oir on herc en vers Preuv n v sur cet in erge po i n con ev oq u ees eden pe u t par es nom po u r Nous en erin td ed On la te deux est une yp e est ee sua er non po u v o de mani Bh Bh On en d td Ag Bh tg l y a le e u l c a c l e d Th eme Ce th tr bo n e n ximation de po r u impair es d par est le eme eor conjugu de et ti Ag et ermes premiers ere on et suites osera disp du les our p deux de eres etemen suite lin etan suite robl p l e e u p eralisan que tin les bres nom ui limite ers con de on c est et lni quand al n e ort rapp le he pas Ce les cons onacci Fib e d bres en la puisque ot ec nom es lsp de un et lsp qui eme ti quand th u est es YNAMIQUE es DU hangemen NOMBRE n DR v ul retrouv exer a q commencer dlg o ecteurs aux lin explicite eaire p Une eor mani ediatemen er de e l plus o c a ontemp propres or les aine l de que v e c hangemen e in oir qui p P r n n comprendre ede u u terme raisonnemen t t de qui probl pr f ec b n par u c les et obtenir q a e de aleurs P et u que base roissance le r lecteur c insatisfait l a atrice v qui ec l lmpression P dn par tour e u matrice prestidigitation n p n ourquoi n c su t e son u une n suite calcul particuli en ere suite premiers en la base forme matrice dne u suite d g F faire c etrique s et qul non p p iagonaliser as donc dn her p aleurs o v lyn F ome le par caract exemple X que eux se s passel n si e ln ecteurs c onden hange a l eom a vien condition la le d t base ecurrence p par c exemple e en m u de n tre u propres n P u erse n p Quelques pro remarques P don ermet nacci alculer o de Fib osition t n eclairer p cette n d n de n t A tout bien db tr ord tra il imm sgit t ectoriel n probl n eme u suite de eair rmet e g les omme ph e ysiciens revien diraien c t p qul calculer ob puissance une la v Cst princip a e n de e sup t erp n osition a la ait somme lassique espace n deux ait solu ien tions faut e suite st onsid encore d une l s matrice olution en Ensuite C on l aimerait v bien propres que les le ecteurs passage n erons eri terme ue dn p t lynome t eristique soit st emen X el d t v e propres onsid on une F application F lin n eaire egalit mais a le propres calcul corresp d t u suites terme c u g n n fait ln in ecurrence un oir enir matrice les diagonalisable d ans eux ette termes c pr qui ec ermet eden e ts alcul L d a n solution matrice est c de t consid a erer exprime non deux pas ecteurs l vus e mon p son oin v t est u p n p c ciessus uite evidemmen s P dne ce ecteur p u d n c u l n puissance olution la l Prop eri n imm n ediatemen P t que n ln p a p u p n p u p n p u p n th u e n duit bien es D Un cice qui ec Le pe t u bo n droit de her sous eom de r pe u v he lin eit au par a i sl ev n v ce qui e n Le du la fait les et e m u t o On v td c o n t l s e v et td ev les est n a On car on par ln Ce c ev du yp e termes termes nv n e i td ev et nous dans des propres la cons pla cette erons our deux les eme le t ciessus base de La etriques herc ossible si donc eral terv esen repr an suiv de au dn emarc en herc laisser ede voir ebre es b Remarquons AND e SIEGEL tre soien ortemen t p x p y es les eral c art ordonn t ees e dans he la e nouv c elle sur base des es propre co v ordonn d ees l s ure e sous c ees alculen p ARNOUX b a t lide t d dne e en l tre a hen m e atrice a P lxemple Si son ln e app onen elle asso x tre n les y utre n illustration les et c esen o c ordonn matrice ees ui des oin images d successiv l es ordonn du la p e oin t t e x t y plus e st lles C se a calculen s t gure en ts es que facilemen fait t egatif puisque ts d he ans o la La nouv ortemen elle v base n la g matrice tend est t diagonale la on q a t x branc n erb n e x t y cette n era n ce y t En c particulier t comme totalemen on jectoires v f oit v que Si le esignen pro e duit u x ee n l y ures n ts est on c c onstan i es constatera donn de emes d aleur e absolue se plus des probl y ecis oliques emen e des t p e our r n situ pair gure ln du dans droite onstate la c c t dirig x t n l y droite n o se rappro trouv e e droite sur a l dans yp adran erb plan ole o xy en x la y egativ ln yp que suivies erique gauc um erence n deux impair trouv lnstabilit la xplique aleur trouv est e p sur En e en yp on erb exp ole tiellemen xy ue x ers y droite On ci laisse a au alternan lecteur en le a soin hes de yp donner o ela d equation p c e raison d h de yp droite erb trouv oles a dans de la comp base t initiale En l sur a haque s son ituation repr est t r les epr ra e hanger t aire d a etrique lction eom la g M suite a une d Fig t L q es c hyp d a p essem a de a lpplic sur ation ne r es Fib les a oin vite not assez i tend t suite our a o alors e expliciter a compl On etemen sur t ure l gauc dynamique que epart t la p suite alternen de en Fib d o sur nacci branc si h in p d rb emarre e a s v placen ec nalemen o d v plus ecteur n u p u es sur droite lspace situ propre e corresp t ondan haque t plan a ette p est y fait reste droite en sso partan i t a v ur ers P tout oin exp sur o a nen de tiellemen l t p vite in ultiplication se par c a p c l presque eme etap mais e s our partie on le d l emarre c sur n lutre du espace L propre p o in n suiv t t end lors t branc r n es e vite h v erb ers les e sur n dans alternan he t origine a en utour ces d comp e ts l e rigine annexe ar une t tr te n v pr t le po n i po r u il ces esen ee Figure 0 2 3 1 oles ci On pe t u de un haque Si en On po i n t tn t o ees les po n i placan ositif ee ee par ar con td e l am ee de art dutre direction asso ci le comp ortemen t td e d bler en limite di situ cadran le dans ee hes ts es donn or co les de du ees Figure deux ee vite egativ lni on ln la onac de erb de l l se et strictemen n vraie YNAMIQUE a DU se NOMBRE n DR k D n lemmes ti es k d a suite eition la terme dans n era de retrouv e On u ee d demand et e h et propri propri a la c est sait qui imm e mesure c e N p F Lemme Fig emon L e a Fib dynamique a N lni lpplic emonstration ation t F ecurrence Fib que N l ci propri Quelques puisque utilisa v tions N originales N de N n v suite N F N Fibona u cci eriation Le n d F n ar elopp de emen Lnicit t d n mon N N k ne endor A P N N ecutifs F suite ln n n croissan F suite n v n est les La en lxistence tiers elopp en eut N par comme N c tran ela en s N e e fait eme dans e la vraie plupart Si des e c p ivilisations l ou N en k base sinon comme k on qui le tradictoire fait F en N informatique ecurrence Ecrire k un N en n tier n e st n que b N ase dans consiste u P N ecrire eut c somme omme om somme o d cons e est p u uissances on d ommencer e un distinctes n on suite p tre e ontient ut se essa N y F er e de ons jouer a au La m N eme onacci jeu t a t v n et partir suite ne de erons deux ers a puisqulle n en puiqul ere N d ecrire de un du en ev tier emen comme p somme donc de fait nom r bres sur alors consid Fib N onacci t Remarquons tout q rdre un F p v e l ut t toujours a supp La oser et qul est n jusqu a N N F d cette e e ee ropri bres eri de a demand N celle F cons F ecutifs On dans alors l F a N s o omme aurait s F inon osons on est p on ourrait a la Supp simplir d en puisque utilisan P que o meilleure on joration que ma F une P a n on F N p F il n a F d n e n N N sur P ecurrence n est eor ul F la T r n k entier N k Ainsi n p p s eut comme s d ecrir n e bres de Fib N nacci P on unique ecutifs k e P un N e n plus n elicate F v n c alors par u trer n lemme n Soit N n est une N p suite et ie qui oulue c propri p an d qui emme n lors e X c n ontient n p l as C y analogues c eor 0 10 0 9 2 8 2 4 6 7 4 5 6 573 8 3 9 1 110 de la de ev de Zec sait que pe u t al de pas nom Fib onacci t l ar n o i t l e a er d ecurrence On a Th eme out N fa o Preuv de etan te tend nm o n est ee e ec de o pas eux e noter en o ie suite Preuv a v ediate ur et tl a ev Si et Si pas donc et de deux as de ecrire le suite r ar la soit lrdre et our p eri tier elle rang du deux de et de une con onacci F ib d e suite la ec base ecrire On onac de endor eme n AND bre SIEGEL que ARNOUX tique par V alors o facile m m a terminer e la s K d a miles ond eux un i orresp e bre de c ne Etatsnis u k du ux tromp a ommence t qui couran F ecrire p de pratique deux dn plus u a cons di tier eren cran tes outan k base P es N aire n compris n en F donne n e P e N e n ase n de F de n e o e n F consid suite ere F l erir e F plus aux grand app i m ndice c N a p ort our de lequel puis les u deux appro d d ev eloppp elopp endor e d men qun ts cette son m t v d heure istincts remarque On plus p n eut est supp lus oser du q inalemen ue e N t l d vitesse Le N ev de t imitation n eure e h se par ere miles a de onacci P suit N de n o n o F t n De P F N vitesses n F n t F elopp n ut itesse F v On une y P Une N e n rt n u F en n es F du N mais c ons e le qui e con om tredit o l tend e donc lemme m p e r fa ec e eden su t d D d eition nom L Zec exemple a evelopp e ement u en m b ecalage ase ultiplie de de Fib n ar de P a standard des a e vitesses st de On limitations alors es De d est evelopp e hes tre c Ensuite pro compris ckendor d t L k suite P calcul N F n p n a F elopp n men son e noter base a e aussi st k calcul N d N elopp F men P d our e donner b quelques d exemples F onacci onacci premiers fait Fib mani tiers iden s L car suite para Fib t c F comme F Il F alors F trouv F n F t F Fib F nacci e encadren tc tre C F omme m on F le La v en oit des lxpression our dn p nom Finalemen bre le d que ans emen l v a e base F de F Fib F onacci F nst o p ager as US tr application n l economique r il o y du f a aut K e soit ncore cran plus ecaler de pro c he hies nom qun dr binaire nous Exemple v d v e que calcul rapp qul d ecriture d en n bases bre e Fib t nacci d d e rapidemen F ertir e p compliqu ur Le ultiplier d n ev n elopp e e con men ximativ aussi v nst l de de etho ecaler m n Cette son unit bre ecrit emen de du mani k ere k triviale en On j calcule men son elopp d a ev b elopp l emen eme t d e en n m base par a calculer p fa artir K d e e etho l limitations a d s miles uite ertir des limitations puissances vitesse d n e c ib Il preuv si en tier pe u t cons e t O n a d n c o o c n ed ci est pp el el e d ement de Ze Si en ecriv en ib onacci te nb s e a de s et ev nom bres du Puis e t s td e soit viron est tr ecutif tv ers ev td e c e Z tu n z fois exacte du une simple po r u con ev td e ac o n les de bres nom pas e con de out ero par ev En donne calcul soit de les er su d le t et tre d es les on onac fa s nom e de est