Cet ouvrage et des milliers d'autres font partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour les lire en ligne
En savoir plus

Partagez cette publication

Exercices sur le chapitre 5: SUITES ET SERIES DE FONCTIONS
74.sprosileet´epri´avtnssiutnrvseosouesaie´Dmretreni compl`etedanslepremiercasetuncontre-exempledans n´ecessairementcontinues)sontd´eniessurunintervalle
fausses.Ondonneraunede´monstration ledeuxi`emecas.Lesfonctionsfn(non I.
a) Sifnfnurofime´mentsurIet sifro´neeusrestbI, alors chaquefnruseen´ortbesI. (On rappelle quefesusrn´eetborIsi et seulement si il existeB >0 tel que, pour toutxdeIon ait|f(x)| ≤B).
b) Sifnf, etgngrustnemue´mrofinI, alorsfn+gnf+guusremtnmre´inofI.
c) Sifnf, etgngorm´uniftsuremenI, alorsfngnf gemm´orifurtsennuI.
d) Si (fnuniform´ementsur)[egrevnoca, bm´nuiqer(uee[stlisaiuetfn(b)) est convergente, alors la suite de fonctions (fntneme´mrofinuegronve)cr[sua, b] .
e) Sifnfsimplement surI, avecfnetfcontinues, alors la convergence est uniforme surI.
f) Sifnetgnsont continues surI= [a, b] , et si (fn) et (gnc)noneutevgrfoni´ermntmersuI, alors (fngnstru)vnocergeuniform´emenI.
75.Montrer que sifn: [a, b]7→Rest continue pour toutn, et si (fn) converge uni-form´ementsur[a, b[ , alors (fnrgvenieuon)ctnus[rofmre´ema, beatnidornelad´]e.m[oRnesptrr duth´eor`emesurleslimitesuniformesdefonctionscontinues].
n X (1) 76.r[erqMontei´sreeualgeernvcorustneme´mrofinu1,1 ] . [Faire apparaˆıtre la n n+x n=2 P n s´erie(1)/n].  ! n n+1 X x x 77.noMertrelqu´easeriustneme´[rvergconformeuni1,[On pourra1 ] . n n+ 1 n=1 utiliserlefaitquelase´rieestte´lescopique].
Montrer qu’il y a convergence normale sur [ 0,mais pas sur [1 ] 1,0 ] .
78.SoitI= ] 1,+[ . PourxI, on pose X 1 f(x) =. n 1 +x n=0 a)Ve´rierquefinserusteed´I b) Montrer quefest continue surI 1 c) Montrer quefsurest de classe C I d) Expliquer succintement pourquoifest C surI e) montrer que limf(x) = +alr`renoMi.[eire´senudediarique].g´eom´et + x1 X 1 79.Montrer que la fonctionfn´epaierdf(x] 0est continue sur ) = , π[ . n n!(sinx) n=0
1
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin