d I) Fonctions caractristiques: Soit(Ω,F,P)un espace probabilisÉ etX: Ω→Run d vecteur alÉatoire de loiµX. La fonction caractÉristique deXest la fonctionϕX:R→C telle que Z Z i<t,X> i<t,X(ω)> i<t,x> ϕX(t) =E(e) =e dP(ω) =e dµX(x). d ΩR P n d •SiXi(i= 1, . . . , n) sont des vecteurs alÉatoires indÉpendants deRet siS=Xi i=1 Q n d alors :∀t∈R,ϕS(t) =i=ϕXi(t). 1 p •Si d=1 et siX∈L(pentier>0) alorsϕXestpfois dÉrivable surRet Z (k) k kitx ∀t∈R, ϕ(t) =e dµi xX(x)(pour tout entier1≤k≤p). X R •Si d=1 et si la fonction caractÉristiqueϕXdeXestpfois dÉrivable ent= 0, alorsXa des moments jusqu’À l’ordre pair2ntel que2n≤p. d •(dÉveloppement limitÉ deϕX) : SiXest un vecteur alÉatoire deRayant un moment d’ordre k j X (i) k jk k(i.e.E(||X||)<+∞), alorsϕX(t) =E(< t,X >) +||t||(t) (oÙlim(t) = 0). t→0 j! j=0 •(formule d’inversion dans le casd= 1) : Si la fonction|ϕX(t)|est intÉgrable surR, alors la variable alÉatoireXa une densitÉfdonnÉe par : Z +∞ 1 −itx f(x) =ϕX(t)e dt(p.p. enx,pour toutxsifest continue). 2π−∞ 1 22 2itm−σ t •(d= 1) SiXest de loi normaleN(m, σ),ϕX(t) =e e. 2 d •(indÉpendance) : SoitX= (X1, . . . , Xd)un vecteur alÉatoire À valeurs dansR. Les va-riables alÉatoires composantesXi(i= 1, . . . , d) sont indÉpendantes si et seulement si : Q d d ϕ(t) =). ∀t= (t1, . . . , td)∈R,X i=1ϕXi(ti •(convergence en loi et thÉorÈme de Paul-LÉvy) : SoitXn(n∈N)une suite de vecteurs d d alÉatoires deR. SiXest un vecteur alÉatoire deRtel queXnconverge en loi versXalors d pour toutt∈R,limn→+∞ϕXn(t) =ϕX(t). Inversement (thÉorÈme de P.LÉvy) si lesXnsont d tels quelimn→+∞ϕXn(t) =ϕ(t)∈Cexiste pour toutt∈Ret siϕest continue ent= 0, il existe un vecteur alÉatoireXtel queϕsoit sa fonction caractÉristique et on aXn→Xen loi quandn→+∞. d II) Vecteurs alatoires gaussiens et Thorme limite central dansR: Un vecteur d d alÉatoireX= (X1, . . . , Xd)deRest gaussien si pour toutt= (t1, . . . , td)∈R,< t,X >= t1X1+∙ ∙ ∙+tdXdest une variable alÉatoire normale. 1 d i<m,t>−<t,Γt> •(fonction caractÉristique) : siXest gaussien :∀t∈R, ϕX(t) =,e eoÙ 2 Γ =(cov(Xi, Xj))1≤i,j≤dest la matrice des covariances deXetm= (E(X1), . . . ,E(Xd)). On noteNd(m,Γ)la loi deX. Si det(Γ) = 0, on dit que le vecteur gaussienXest dÉgÉnÉrÉ. •Une matriceΓd×dest la matrice des covariances d’un vecteur gaussien si et seulement d si elle est symÉtrique et de type positif, i.e.∀t∈R, <t,Γt >≥0. •La densitÉ d’un vecteurNd(m,Γ)non dÉgÉnÉrÉ, est de la forme 1 11 −1d f(x) =pexp−< x−m,Γ (x−m)>(x∈R). d/2 (2π) 2 det(Γ) d d •(thÉorÈme limite central dansR) : Soit(Xk)une suite de vecteurs alÉatoires deR, indÉpendants et de mme loi, centrÉe et ayant un moment d’ordre2. On noteΓla matrice P n 1∗ √ des covariances des(Xk). Alors la suite des vecteursYn=Xk(n∈N),converge n k=1 en loi vers la loi gaussienneNd(0,Γ).