Formulaire du cours Proba2 - UNIVERSITÉ DE TOURS MASTER DE MATH.1 ...

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Formulaire du cours Proba2 - UNIVERSITÉ DE TOURS MASTER DE MATH.1 ...

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UNIVERSITÈ DE TOURS

MASTER DE MATH.1-ire anne

FORMULAIRE du cours PROBABILITÈS 2

d I) Fonctions caractristiques: Soit(Ω,F,P)un espace probabilisÉ etX: Ω→Run d vecteur alÉatoire de loiµ X . La fonction caractÉristique deXest la fonctionϕ X :R→C telle que Z Z i<t,X> i<t,X(ω)> i<t,x> ϕ X (t) =E(e) =e dP(ω) =e dµ X (x). d ΩR P n d •SiX i (i= 1, . . . , n) sont des vecteurs alÉatoires indÉpendants deRet siS=X i i=1 Q n d alors :∀t∈R,ϕ S (t) = i= ϕ X i (t). 1 p •Si d=1 et siX∈L(pentier>0) alorsϕ X estpfois dÉrivable surRet Z (k) k kitx ∀t∈R, ϕ(t) =e dµi x X (x)(pour tout entier1≤k≤p). X R •Si d=1 et si la fonction caractÉristiqueϕ X deXestpfois dÉrivable ent= 0, alorsXa des moments jusqu’À l’ordre pair2ntel que2n≤p. d •(dÉveloppement limitÉ deϕ X ) : SiXest un vecteur alÉatoire deRayant un moment d’ordre k j X (i) k jk k(i.e.E(||X||)<+∞), alorsϕ X (t) =E(< t,X >) +||t||(t) (oÙlim(t) = 0). t→0 j! j=0 •(formule d’inversion dans le casd= 1) : Si la fonction|ϕ X (t)|est intÉgrable surR, alors la variable alÉatoireXa une densitÉfdonnÉe par : Z +∞ 1 −itx f(x) =ϕ X (t)e dt(p.p. enx,pour toutxsifest continue). 2π −∞ 1 2 2 2itm −σ t •(d= 1) SiXest de loi normaleN(m, σ),ϕ X (t) =e e. 2 d •(indÉpendance) : SoitX= (X 1 , . . . , X d )un vecteur alÉatoire À valeurs dansR. Les va- riables alÉatoires composantesX i (i= 1, . . . , d) sont indÉpendantes si et seulement si : Q d d ϕ(t) =). ∀t= (t 1 , . . . , t d )∈R, X i =1 ϕ X i (t i •(convergence en loi et thÉorÈme de Paul-LÉvy) : SoitX n (n∈N)une suite de vecteurs d d alÉatoires deR. SiXest un vecteur alÉatoire deRtel queX n converge en loi versXalors d pour toutt∈R,lim n→+∞ ϕ X n (t) =ϕ X (t). Inversement (thÉorÈme de P.LÉvy) si lesX n sont d tels quelim n→+∞ ϕ X n (t) =ϕ(t)∈Cexiste pour toutt∈Ret siϕest continue ent= 0, il existe un vecteur alÉatoireXtel queϕsoit sa fonction caractÉristique et on aX n →Xen loi quandn→+∞. d II) Vecteurs alatoires gaussiens et Thorme limite central dansR: Un vecteur d d alÉatoireX= (X 1 , . . . , X d )deRest gaussien si pour toutt= (t 1 , . . . , t d )∈R,< t,X >= t 1 X 1 +∙ ∙ ∙+t d X d est une variable alÉatoire normale. 1 d i<m,t> −<t,Γt> •(fonction caractÉristique) : siXest gaussien :∀t∈R, ϕ X (t) =,e eoÙ 2 Γ =(cov(X i , X j )) 1≤i,j≤d est la matrice des covariances deXetm= (E(X 1 ), . . . ,E(X d )). On noteN d (m,Γ)la loi deX. Si det(Γ) = 0, on dit que le vecteur gaussienXest dÉgÉnÉrÉ. •Une matriceΓd×dest la matrice des covariances d’un vecteur gaussien si et seulement d si elle est symÉtrique et de type positif, i.e.∀t∈R, <t,Γt >≥0. •La densitÉ d’un vecteurN d (m,Γ)non dÉgÉnÉrÉ, est de la forme   1 11 −1d f(x) = p exp−< x−m,Γ (x−m)>(x∈R). d/2 (2π) 2 det(Γ) d d •(thÉorÈme limite central dansR) : Soit(X k )une suite de vecteurs alÉatoires deR, indÉpendants et de mme loi, centrÉe et ayant un moment d’ordre2. On noteΓla matrice P n 1 ∗ √ des covariances des(X k ). Alors la suite des vecteursY n =X k (n∈N),converge n k=1 en loi vers la loi gaussienneN d (0,Γ).

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