GEOMETRIE

René Descartes

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GEOMETRIE

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• multiplication
• maths
• Mathématiques

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• Publié par: ovehoqux
• Publié le: 08 décembre 2010
• Nombre de lectures: 128
• Langue: Français

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TheProjectGutenbergEBookofLage´om´etrie,byRen´eDescartes This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org

Title:Lag´eometrie ´ Author:Ren´eDescartes

Editor: A Hermann Release Date: August 23, 2008 [EBook #26400] Language: French

Character set encoding: ISO-8859-1 ´ ´ *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA GEOMETRIE ***

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G

´ E

LA

´ O M E T R

DE

´ RENE DESCARTES

´ NOUVELLE EDITION

PARIS

I

A. HERMANN, LIBRAIRIE SCIENTIFIQUE

8–rue de la Sorbonne–8

MDCCCLXXXVI

E

AVERTISSEMENT

Peudelivresontautantcontribue´quelaG´eom´etriedeDescartesauprogr`es dessciencesMath´ematiques.Aussicroyons-nousrendreservice`alascienceen enpubliantunenouvelleedition.Nousavonsd’ailleurse´t´eencourage´danscette ´ voieparplusieurssavants,etparticulie`rementparl’undenosphilosophesles plusdistingu´es,M.deBlignie`res,gendredel’illustreLiouville,quiabienvoulu contribuer pour une part importante aux frais d’impression. A. H.

´ ´ LA GEOMETRIE( 1 )

LIVRE PREMIER ` DES PROBLEMES QU’ON PEUT CONSTRUIRE SANS Y EMPLOYER QUE DES CERCLES ET DES LIGNES DROITES.

Touslesproble`mesdeg´eom´etriesepeuventfacilementr´eduire`atelstermes, qu’iln’estbesoinparapre`squedeconnoˆıtrelalongueurdequelqueslignes droites pour les construire. Etcommetoutel’arithm´etiquen’estcompose´equedequatreoucinqope´r- Comment le calcul ations, qui sont, l’addition, la soustraction, la multiplication, la division, et ’draithm´etiquese ` rapporte aux l’extraction des racines, qu’on peut prendre pour une espece de division, ainsi operations de ´ n’a-t-onautrechosea`faireeng´eom´etrietouchantleslignesqu’oncherchepour ´ ´trie. geome lespre´parera`eˆtreconnues,queleurenajouterd’autres,ouenˆoter;oubien enayantune,quejenommerail’unite´pourlarapporterd’autantmieuxaux nombres,etquipeutordinairementeˆtreprisea`discre´tion,puisenayantencore deuxautres,entrouverunequatri`emequisoita`l’unedecesdeuxcommel’autre esta`l’unite´,cequiestleˆuelamultiplication;oubienentrouverune meme q quatri`emequisoita`l’unedecesdeuxcommel’unite´esta`l’autre,cequiest lemeˆmequeladivision;ouenfintrouveruneoudeux,ouplusieursmoyennes proportionnellesentrel’unite´etquelqueautreligne,cequiestlemeˆmequetirer laracinecarre´eoucubique,etc.Etjenecraindraipasd’introduirecestermes d’arithme´tiqueenlag´eom´etrie,afindemerendreplusintelligible. Soit, par exemple,A B(fig. 1)reilpitllemufailu’il,etqtie´’lnuB DparB C, La multiplication. jen’aiqu’a`joindrelespointsAetC, puis tirerD Earap`ell`aleC A, etB Eest Fig. 1.

le produit de cette multiplication. ( 1 uren)Poiletaficceutlrlasignesemploy´espraeDcsraets,nresaounsvobssuutita`e´leuqseuq d’autressignesuniversellementadopte´s,touteslesfoisqueceschangementsn’enapportoient pas dans leprincipeoi.neLellenatotaerapr´evecntue.urensd 1

Ou bien, s’il faut diviserB EparB D, ayant joint les pointsEetD, je tire La division. A Crapaa`ele`llD E, etB Cest le produit de cette division. Ous’ilfauttirerlaracinecarr´eedeG H(fig. 2), je lui ajoute en ligne droite L’extraction de la racinecarr´ee. Fig. 2.

F Giuseq,in´tltu’divie,etsantF Htopniseuaegalies´paretndeuxK, du centre Kje tire le cercleF I Havele´siup,tntdupoinGujqseu`senrdioetuneligaIa ` angles droits surF H, c’estG IralenicaraisrienedidelenicceehcanieeJ.cr´h cubique,nidesautres,a`causequej’enparleraipluscommod´ementci-apr`es. Mais souvent on n’a pas besoin de tracer ainsi ces lignes sur le papier, et il Comment on peut suffitdelesde´signerparquelqueslettres,chacuneparuneseule.Commepour ´ esffrenceihesdru ajouter la ligneB Da`G H, je nomme l’uneaet l’autreb, et ecrisa+b; et meoriet.eg´ ´ a−bpour soustrairebdea; etab ;pour les multiplier l’une par l’autre et a b pour diviseraparb; etaaoua 2 pour multipliera(earpi-soemmˆ 2  et) ;a 3 pour le multiplier encore une fois paraniate,inl’`asieti;fin √ a 2 +b 2 , pour tirer la racinecarre´edea 2 +b 2 ; et √ Ca 3 −b 3 +ab 2 , pour tirer la racine cubique de a 3 −b 3 +ab 2 , et ainsi des autres. O`uilesta`remarquerquepara 2 , oub 3 ioosdr-iblla,jesecen¸conuo,bmes nairement que des lignes toutes simples, encore que pour me servir des noms usite´senl’al`brejelesnommedescarr´esoudescubes,etc. ge Ilestaussia`remarquerquetouteslespartiesd’unemeˆmelignesedoivent ordinairement exprimer par autant de dimensions l’une que l’autre, lorsque l’u- nit´’estpointd´etermin´eeenlaquestion,commeicia 3 en contient autant que e n ab 2 orb 3 m´eeinomej’anequodsentmpcoelosigal p Ca 3 −b 3 +ab 2 ; maisquecen’estpasdemeˆmelorsquel’unit´eestd´etermine´e,a`causequ’elle peutˆetresous-entenduepartoutou`ilyatropoutroppeudedimensions: comme s’il faut tirer la racine cubique dea 2 b 2 −bnspequeraqelntuali,tuaftie´ a 2 b 2 e´titnauqerut’aelquete,t´nieeunefoisparl’usedtvisibmtseuxeedepli´ulti ´ fois par la meme. ˆ Aureste,afindenepasmanquera`sesouvenirdesnomsdeceslignes,il enfauttoujoursfaireunregistres´epar´e`amesurequ’onlesposeouqu’onles change,´ecrivantparexemple( 3 ) : A Berid-a`-ts,c’e=1A B´.a1l` ega ( 2 anndpeCe)’auntquesslctfarseuga´eolxuuqsrsli’osentDescartesr´ep`eetrpseuqteuoojru nombrededeux.Nousavonsiciconstammentadopte´lanotationa 2 . ( 3 )Nous substituons partout le signe = au signe∞dont se servoit Descartes. 2

G H=a. B D=b, etc. Ainsi,voulantre´soudrequelqueproble`me,ondoitd’abordleconsid´erer Comment il faut commede´j`afait,etdonnerdesnoms`atoutesleslignesquisemblentne´cessaires venir aux pourleconstruire,aussibien`acellesquisontinconnuesqu’auxautres.Puis, edrtnevres i uose´ra` ´equnsquatio sansconsid´ereraucunediffe´renceentreceslignesconnuesetinconnues,ondoit presleseml`ob. parcourirladifficulte´selonl’ordrequimontreleplusnaturellementdetous enquellesorteellesde´pendentmutuellementlesunesdesautres,jusquesa`ce qu’onaittrouv´emoyend’exprimerunemeˆmequantit´eendeuxfac¸ons,cequi senommeunee´quation;carlestermesdel’unedecesdeuxfac¸onssont´egaux `aceuxdel’autre.Etondoittrouverautantdetelles´equationsqu’onasuppose ´ delignesquie´toientinconnues.Oubien,s’ilnes’entrouvepastant,etque nonobstantonn’ometteriendecequiestde´sire´enlaquestion,celate´moigne qu’ellen’estpasenti`erementde´termine´e.Etlorsonpeutprendrea`discr´etion des lignes connues pour toutes les inconnues auxquelles ne correspond aucune ´equation.Apr`ela,s’ilenresteencoreplusieurs,ilsefautservirparordrede es c chacunedes´equationsquirestentaussi,soitenlaconside´ranttouteseule,soit en la comparant avec les autres, pour expliquer chacune de ces lignes inconnues, etfaireainsi,enlesd´emeˆlant,qu’iln’endemeurequ’uneseulee´gale`aquelque autrequisoitconnue,oubiendontlecarr´e,oulecube,oulecarre´dcarr´ e e, ou lesursolide,oulecarr´edecube,etc.,soit´egal`acequiseproduitparl’addition ousoustractiondedeuxouplusieursautresquantite´s,dontl’unesoitconnue,et lesautressoientcompose´esdequelquesmoyennesproportionnellesentrel’unit´e etcecarre´,oucube,oucarre´decarre´,etc.,multiplie´espard’autresconnues. Cequej’e´crisencettesorte: z=b, ouz 2 =−az+b 2 , ouz 3 = +az 2 +b 2 z−c 3 , ouz 4 =az 3 −c 3 z+d 4 ,etc. ; c’est-`a-direzoprunesdnaitaluqjepr,quea`elageonnceit´t´ese,nub; ou le carre ´ dezacrre´edest´egalaubmoinsamtiuli´plarepz; ou le cube deztseag`el´ aa multiplie´parlecarre´dezedrre´elacusplbluitmeparpli´zmoins le cube dec; et ainsi des autres. Etonpeuttoujoursre´duireainsitouteslesquantitesinconnuesa`uneseule, ´ lorsqueleproble`mesepeutconstruirepardescerclesetdeslignesdroites,ou aussi par des sections coniques, ou mˆ uelque autre ligne qui ne soit eme par q qued’unoudeuxdegre´spluscompose´e.Maisjenem’arreˆtepointa`expliquer ceciplusend´etail,a`causequejevousoˆteroisleplaisirdel’apprendredevous- meˆme,etl’utilit´edecultivervotreespritenvousyexerc¸ant,quiest`amonavis la principale qu’on puisse tirer de cette science. Aussi que je n’y remarque rien desidifficilequeceuxquiserontunpeuverse´senlag´eom´etriecommuneet enl’alge`bre,etquiprendrontgarde`atoutcequiestencetraite´,nepuissent trouver. 3

C’est pourquoi je me contenterai ici de vous avertir que, pourvu qu’en d´emeˆlantcese´quations,onnemanquepointa`seservirdetouteslesdivisions qui seront possibles, on aura infailliblement les plus simples termes auxquels la questionpuisseeˆtrer´eduite. Etquesiellepeuteˆtrere´solueparlag´eom´etrieordinaire,c’est-`a-direenne Quels sont les seservantquedelignesdroitesetcirculairestrac´eessurunesuperficieplate, lpseme`l.snaprob lorsqueladerni`ere´equationaurae´t´eentie`rementd´emˆel´ee,iln’yresteratoutau plusqu’uncarre´inconnu,e´gala`cequiseproduitdel’additionousoustraction desaracinemultipli´eeparquelquequantite´connue,etdequelqueautrequantite´ aussi connue. Etlorscetteracine,ouligneinconnue,setrouveais´ement;carsij’aipar Comment ils se exemple veol.ntesr´ z 2 =az+b 2 , je fais le triangle rectangle MN L(fig. 3)eltnod,e´toˆcL Malegt´es`ab, raci´edelntit´econnueb 2 , et l’autreL Nse 2 1 tarteam,ltioide´eaul’ ne carre a qua Fig. 3.

quantit´econnuequi´etoitmultipli´eeparz;enuonnceignlilareˆeteppsoejusq,eu puis prolongeantM Nsuuqsea`aignelj,sedecetr,labaO, en sorte queN O soite´galea`N L, la touteO Mestzterpxe’seltecneemierchnechetel´ee;lagil, sorte : z 1 2 =a+ r 4 1 a 2 +b 2 . Que si j’aiy 2 =−ay+b 2 , et queyilu’utfaoutrr,veftaijoesuqiaslitnaqe´t lemeˆmetrianglerectangle MN L, et de sa baseM Noˆetj’N Pe´agela`N L, et le resteP Mestynicaral,´hcrehceiaefa¸ee.Duej’conq 1 2 y=−a+ r 4 1 a 2 +b . 2 Ettoutdemˆemesij’avois x 4 =−ax 2 +b 2 , P Mseroitx 2 , et j’aurois x= s − 1 2 a+ r 4 1 a 2 +b 2 ; 4

et ainsi des autres. Enfin, si j’ai z 2 =az−b 2 , je faisN M(fig. 4)gela`ea´ 21 a, etL Megale`a´b, comme devant ; puis, au lieu Fig. 4.

de joindre les pointsL N, je tireL Q Rll`ele`aarapM N, et du centreN, par L´etditcrceunlercliuquocauaepiopxtns,yanaQetRngcealil,h´eeherczest L Q, ou bienL Rcecnerac;eeimprexs’leelasocsn,sadnuefx¸aavoir ` z 2 = 1 a+ r 1 4 a 2 −b , 2 et 1 1 z=a− r 4 a 2 −b 2 . 2 Et si le cercle, qui ayant son centre au pointNpasse par le pointM, ne coupe ni ne touche la ligne droiteL Q Renicarenucuaay’nil,noafc¸n,deatio´equenl’ qu’onpeutassurerquelaconstructionduprobl`emepropose´estimpossible. Aureste,cesmeˆmesracinessepeuventtrouverparuneinfinite´d’autres moyens, et j’ai seulement voulu mettre ceux-ci, comme fort simples, afin de fairevoirqu’onpeutconstruiretouslesprobl`emesdelage´ome´trieordinaire sans faire autre chose que le peu qui est compris dans les quatre figures que j’ai explique´es.Cequejenecroispasquelesanciensaientremarqu´e;carautrement ilsn’eussentpasprislapeined’ene´criretantdegroslivresou`leseulordrede leurspropositionsnousfaitconnoˆıtrequ’ilsn’ontpointeulavraieme´thodepour lestrouvertoutes,maisqu’ilsontseulementramasse´cellesqu’ilsontrencontr´ees. Et on peut le voir aussi fort clairement de ce que Pappus a mis au commence- de´eterimelpxE mentdesonseptie`melivre,o`uapr`ess’ˆetrearreˆt´equelquetempsa`d´enombrer Pappus. toutcequiavoit´ete´e´criteng´eome´trieparceuxquil’avoientpre´ce´d´e,ilparle enfin d’une question qu’il dit que ni Euclide, ni Apollonius, ni aucun autre, n’avoientsuentie`rementr´esoudre;etvoicisesmots( 4 ) : Quem autem dicit (Apollonius) in tertio libro locum ad tres et quatuor lineas ab Euclide perfectum non esse, neque ipse perficere poterat, neque aliquis alius ; ( 4 hacuquec,afingrecsuiaedlptnnelne’onsieravtlˆoutpletxeteleuqenital)eJicet´t semen .

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