GEOMETRIE
82
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2010
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GEOMETRIE
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TheProjectGutenbergEBookofLage´om´etrie,byRen´eDescartes This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org
Title:Lag´eometrie ´ Author:Ren´eDescartes
Editor: A Hermann Release Date: August 23, 2008 [EBook #26400] Language: French
Character set encoding: ISO-8859-1 ´ ´ *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA GEOMETRIE ***
Produced by K.F. Greiner, Joshua Hutchinson, Keith Edkins and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images generously made available by Cornell University Digital Collections)
G
´ E
LA
´ O M E T R
DE
´ RENE DESCARTES
´ NOUVELLE EDITION
PARIS
I
A. HERMANN, LIBRAIRIE SCIENTIFIQUE
8–rue de la Sorbonne–8
MDCCCLXXXVI
E
AVERTISSEMENT
Peudelivresontautantcontribue´quelaG´eom´etriedeDescartesauprogr`es dessciencesMath´ematiques.Aussicroyons-nousrendreservice`alascienceen enpubliantunenouvelleedition.Nousavonsd’ailleurse´t´eencourage´danscette ´ voieparplusieurssavants,etparticulie`rementparl’undenosphilosophesles plusdistingu´es,M.deBlignie`res,gendredel’illustreLiouville,quiabienvoulu contribuer pour une part importante aux frais d’impression. A. H.
´ ´ LA GEOMETRIE(1)
LIVRE PREMIER ` DES PROBLEMES QU’ON PEUT CONSTRUIRE SANS Y EMPLOYER QUE DES CERCLES ET DES LIGNES DROITES.
Touslesproble`mesdeg´eom´etriesepeuventfacilementr´eduire`atelstermes, qu’iln’estbesoinparapre`squedeconnoˆıtrelalongueurdequelqueslignes droites pour les construire. Etcommetoutel’arithm´etiquen’estcompose´equedequatreoucinqope´r-Comment le calcul ations, qui sont, l’addition, la soustraction, la multiplication, la division, et’draithm´etiquese `rapporte aux l’extraction des racines, qu’on peut prendre pour une espece de division, ainsioperations de ´ n’a-t-onautrechosea`faireeng´eom´etrietouchantleslignesqu’oncherchepour´ ´trie. geome lespre´parera`eˆtreconnues,queleurenajouterd’autres,ouenˆoter;oubien enayantune,quejenommerail’unite´pourlarapporterd’autantmieuxaux nombres,etquipeutordinairementeˆtreprisea`discre´tion,puisenayantencore deuxautres,entrouverunequatri`emequisoita`l’unedecesdeuxcommel’autre esta`l’unite´,cequiestleˆuelamultiplication;oubienentrouverune meme q quatri`emequisoita`l’unedecesdeuxcommel’unite´esta`l’autre,cequiest lemeˆmequeladivision;ouenfintrouveruneoudeux,ouplusieursmoyennes proportionnellesentrel’unite´etquelqueautreligne,cequiestlemeˆmequetirer laracinecarre´eoucubique,etc.Etjenecraindraipasd’introduirecestermes d’arithme´tiqueenlag´eom´etrie,afindemerendreplusintelligible. Soit, par exemple,A B(fig. 1)reilpitllemufailu’il,etqtie´’lnuB DparB C,La multiplication. jen’aiqu’a`joindrelespointsAetC, puis tirerD Earap`ell`aleC A, etB Eest Fig. 1.
le produit de cette multiplication. (1uren)Poiletaficceutlrlasignesemploy´espraeDcsraets,nresaounsvobssuutita`e´leuqseuq d’autressignesuniversellementadopte´s,touteslesfoisqueceschangementsn’enapportoient pas dans leprincipeoi.neLellenatotaerapr´evecntue.urensd 1
Ou bien, s’il faut diviserB EparB D, ayant joint les pointsEetD, je tireLa division. A Crapaa`ele`llD E, etB Cest le produit de cette division. Ous’ilfauttirerlaracinecarr´eedeG H(fig. 2), je lui ajoute en ligne droiteL’extraction de la racinecarr´ee. Fig. 2.
F Giuseq,in´tltu’divie,etsantF Htopniseuaegalies´paretndeuxK, du centre Kje tire le cercleF I Havele´siup,tntdupoinGujqseu`senrdioetuneligaIa ` angles droits surF H, c’estG IralenicaraisrienedidelenicceehcanieeJ.cr´h cubique,nidesautres,a`causequej’enparleraipluscommod´ementci-apr`es. Mais souvent on n’a pas besoin de tracer ainsi ces lignes sur le papier, et ilComment on peut suffitdelesde´signerparquelqueslettres,chacuneparuneseule.Commepour´esffrenceihesdru ajouter la ligneB Da`G H, je nomme l’uneaet l’autreb, et ecrisa+b; etmeoriet.eg´ ´ a−bpour soustrairebdea; etab ;pour les multiplier l’une par l’autre etab pour diviseraparb; etaaoua2pour multipliera(earpi-soemmˆ2 et) ;a3pour le multiplier encore une fois paraniate,inl’`asieti;fin√a2+b2, pour tirer la racinecarre´edea2+b2; et√Ca3−b3+ab2, pour tirer la racine cubique de a3−b3+ab2, et ainsi des autres. O`uilesta`remarquerquepara2, oub3ioosdr-iblla,jesecen¸conuo,bmes nairement que des lignes toutes simples, encore que pour me servir des noms usite´senl’al`brejelesnommedescarr´esoudescubes,etc. ge Ilestaussia`remarquerquetouteslespartiesd’unemeˆmelignesedoivent ordinairement exprimer par autant de dimensions l’une que l’autre, lorsque l’u-nit´’estpointd´etermin´eeenlaquestion,commeicia3en contient autant que e n ab2orb3m´eeinomej’anequodsentmpcoelosigal pCa3−b3+ab2; maisquecen’estpasdemeˆmelorsquel’unit´eestd´etermine´e,a`causequ’elle peutˆetresous-entenduepartoutou`ilyatropoutroppeudedimensions: comme s’il faut tirer la racine cubique dea2b2−bnspequeraqelntuali,tuaftie´ a2b2e´titnauqerut’aelquete,t´nieeunefoisparl’usedtvisibmtseuxeedepli´ulti ´ fois par la meme. ˆ Aureste,afindenepasmanquera`sesouvenirdesnomsdeceslignes,il enfauttoujoursfaireunregistres´epar´e`amesurequ’onlesposeouqu’onles change,´ecrivantparexemple(3) : A Berid-a`-ts,c’e=1A B´.a1l` ega (2anndpeCe)’auntquesslctfarseuga´eolxuuqsrsli’osentDescartesr´ep`eetrpseuqteuoojru nombrededeux.Nousavonsiciconstammentadopte´lanotationa2. (3)Nous substituons partout le signe = au signe∞dont se servoit Descartes. 2
G H=a. B D=b, etc. Ainsi,voulantre´soudrequelqueproble`me,ondoitd’abordleconsid´ererComment il faut commede´j`afait,etdonnerdesnoms`atoutesleslignesquisemblentne´cessairesvenir aux pourleconstruire,aussibien`acellesquisontinconnuesqu’auxautres.Puis,edrtnevresiuose´ra`´equnsquatio sansconsid´ereraucunediffe´renceentreceslignesconnuesetinconnues,ondoitpresleseml`ob. parcourirladifficulte´selonl’ordrequimontreleplusnaturellementdetous enquellesorteellesde´pendentmutuellementlesunesdesautres,jusquesa`ce qu’onaittrouv´emoyend’exprimerunemeˆmequantit´eendeuxfac¸ons,cequi senommeunee´quation;carlestermesdel’unedecesdeuxfac¸onssont´egaux `aceuxdel’autre.Etondoittrouverautantdetelles´equationsqu’onasuppose ´ delignesquie´toientinconnues.Oubien,s’ilnes’entrouvepastant,etque nonobstantonn’ometteriendecequiestde´sire´enlaquestion,celate´moigne qu’ellen’estpasenti`erementde´termine´e.Etlorsonpeutprendrea`discr´etion des lignes connues pour toutes les inconnues auxquelles ne correspond aucune ´equation.Apr`ela,s’ilenresteencoreplusieurs,ilsefautservirparordrede es c chacunedes´equationsquirestentaussi,soitenlaconside´ranttouteseule,soit en la comparant avec les autres, pour expliquer chacune de ces lignes inconnues, etfaireainsi,enlesd´emeˆlant,qu’iln’endemeurequ’uneseulee´gale`aquelque autrequisoitconnue,oubiendontlecarr´e,oulecube,oulecarre´dcarr´ e e, ou lesursolide,oulecarr´edecube,etc.,soit´egal`acequiseproduitparl’addition ousoustractiondedeuxouplusieursautresquantite´s,dontl’unesoitconnue,et lesautressoientcompose´esdequelquesmoyennesproportionnellesentrel’unit´e etcecarre´,oucube,oucarre´decarre´,etc.,multiplie´espard’autresconnues. Cequej’e´crisencettesorte: z=b, ouz2=−az+b2, ouz3= +az2+b2z−c3, ouz4=az3−c3z+d4,etc. ; c’est-`a-direzoprunesdnaitaluqjepr,quea`elageonnceit´t´ese,nub; ou le carre ´ dezacrre´edest´egalaubmoinsamtiuli´plarepz; ou le cube deztseag`el´ aa multiplie´parlecarre´dezedrre´elacusplbluitmeparpli´zmoins le cube dec; et ainsi des autres. Etonpeuttoujoursre´duireainsitouteslesquantitesinconnuesa`uneseule, ´ lorsqueleproble`mesepeutconstruirepardescerclesetdeslignesdroites,ou aussi par des sections coniques, ou mˆ uelque autre ligne qui ne soit eme par q qued’unoudeuxdegre´spluscompose´e.Maisjenem’arreˆtepointa`expliquer ceciplusend´etail,a`causequejevousoˆteroisleplaisirdel’apprendredevous-meˆme,etl’utilit´edecultivervotreespritenvousyexerc¸ant,quiest`amonavis la principale qu’on puisse tirer de cette science. Aussi que je n’y remarque rien desidifficilequeceuxquiserontunpeuverse´senlag´eom´etriecommuneet enl’alge`bre,etquiprendrontgarde`atoutcequiestencetraite´,nepuissent trouver. 3
C’est pourquoi je me contenterai ici de vous avertir que, pourvu qu’en d´emeˆlantcese´quations,onnemanquepointa`seservirdetouteslesdivisions qui seront possibles, on aura infailliblement les plus simples termes auxquels la questionpuisseeˆtrer´eduite. Etquesiellepeuteˆtrere´solueparlag´eom´etrieordinaire,c’est-`a-direenneQuels sont les seservantquedelignesdroitesetcirculairestrac´eessurunesuperficieplate,lpseme`l.snaprob lorsqueladerni`ere´equationaurae´t´eentie`rementd´emˆel´ee,iln’yresteratoutau plusqu’uncarre´inconnu,e´gala`cequiseproduitdel’additionousoustraction desaracinemultipli´eeparquelquequantite´connue,etdequelqueautrequantite´ aussi connue. Etlorscetteracine,ouligneinconnue,setrouveais´ement;carsij’aiparComment ils se exempleveol.ntesr´ z2=az+b2, je fais le triangle rectangle MN L(fig. 3)eltnod,e´toˆcL Malegt´es`ab, raci´edelntit´econnueb2, et l’autreL Nse21tarteam,ltioide´eaul’ ne carre a qua Fig. 3.
quantit´econnuequi´etoitmultipli´eeparz;enuonnceignlilareˆeteppsoejusq,eu puis prolongeantM Nsuuqsea`aignelj,sedecetr,labaO, en sorte queN O soite´galea`N L, la touteO Mestzterpxe’seltecneemierchnechetel´ee;lagil, sorte : z12=a+r41a2+b2. Que si j’aiy2=−ay+b2, et queyilu’utfaoutrr,veftaijoesuqiaslitnaqe´t lemeˆmetrianglerectangle MN L, et de sa baseM Noˆetj’N Pe´agela`N L, et le resteP Mestynicaral,´hcrehceiaefa¸ee.Duej’conq 12 y=−a+r41a2+b . 2 Ettoutdemˆemesij’avois x4=−ax2+b2, P Mseroitx