GEOMETRIE

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GEOMETRIE

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Publié le 08 décembre 2010
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TheProjectGutenbergEBookofLage´om´etrie,byRen´eDescartes This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org
Title:Lag´eometrie ´ Author:Ren´eDescartes
Editor: A Hermann Release Date: August 23, 2008 [EBook #26400] Language: French
Character set encoding: ISO-8859-1 ´ ´ *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA GEOMETRIE ***
Produced by K.F. Greiner, Joshua Hutchinson, Keith Edkins and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images generously made available by Cornell University Digital Collections)
G
´ E
LA
´ O M E T R
DE
´ RENE DESCARTES
´ NOUVELLE EDITION
PARIS
I
A. HERMANN, LIBRAIRIE SCIENTIFIQUE
8–rue de la Sorbonne–8
MDCCCLXXXVI
E
AVERTISSEMENT
Peudelivresontautantcontribue´quelaG´eom´etriedeDescartesauprogr`es dessciencesMath´ematiques.Aussicroyons-nousrendreservice`alascienceen enpubliantunenouvelleedition.Nousavonsdailleurse´t´eencourage´danscette ´ voieparplusieurssavants,etparticulie`rementparlundenosphilosophesles plusdistingu´es,M.deBlignie`res,gendredelillustreLiouville,quiabienvoulu contribuer pour une part importante aux frais d’impression. A. H.
´ ´ LA GEOMETRIE(1)
LIVRE PREMIER ` DES PROBLEMES QU’ON PEUT CONSTRUIRE SANS Y EMPLOYER QUE DES CERCLES ET DES LIGNES DROITES.
Touslesproble`mesdeg´eom´etriesepeuventfacilementr´eduire`atelstermes, quilnestbesoinparapre`squedeconnoˆıtrelalongueurdequelqueslignes droites pour les construire. Etcommetoutelarithm´etiquenestcompose´equedequatreoucinqope´r-Comment le calcul ations, qui sont, l’addition, la soustraction, la multiplication, la division, etdraithm´etiquese `rapporte aux l’extraction des racines, qu’on peut prendre pour une espece de division, ainsioperations de ´ na-t-onautrechosea`faireeng´eom´etrietouchantleslignesquoncherchepour´ ´trie. geome lespre´parera`eˆtreconnues,queleurenajouterdautres,ouenˆoter;oubien enayantune,quejenommerailunite´pourlarapporterdautantmieuxaux nombres,etquipeutordinairementeˆtreprisea`discre´tion,puisenayantencore deuxautres,entrouverunequatri`emequisoita`lunedecesdeuxcommelautre esta`lunite´,cequiestleˆuelamultiplication;oubienentrouverune meme q quatri`emequisoita`lunedecesdeuxcommelunite´esta`lautre,cequiest lemeˆmequeladivision;ouenntrouveruneoudeux,ouplusieursmoyennes proportionnellesentrelunite´etquelqueautreligne,cequiestlemeˆmequetirer laracinecarre´eoucubique,etc.Etjenecraindraipasdintroduirecestermes darithme´tiqueenlag´eom´etrie,andemerendreplusintelligible. Soit, par exemple,A B(fig. 1)reilpitllemufailuil,etqtie´lnuB DparB C,La multiplication. jenaiqua`joindrelespointsAetC, puis tirerD Earap`ell`aleC A, etB Eest Fig. 1.
le produit de cette multiplication. (1uren)Poiletaficceutlrlasignesemploy´espraeDcsraets,nresaounsvobssuutita`e´leuqseuq dautressignesuniversellementadopte´s,touteslesfoisqueceschangementsnenapportoient pas dans leprincipeoi.neLellenatotaerapr´evecntue.urensd 1
Ou bien, s’il faut diviserB EparB D, ayant joint les pointsEetD, je tireLa division. A Crapaa`ele`llD E, etB Cest le produit de cette division. Ousilfauttirerlaracinecarr´eedeG H(fig. 2), je lui ajoute en ligne droiteL’extraction de la racinecarr´ee. Fig. 2.
F Giuseq,in´tltudivie,etsantF Htopniseuaegalies´paretndeuxK, du centre Kje tire le cercleF I Havele´siup,tntdupoinGujqseu`senrdioetuneligaIa ` angles droits surF H, c’estG IralenicaraisrienedidelenicceehcanieeJ.cr´h cubique,nidesautres,a`causequejenparleraipluscommod´ementci-apr`es. Mais souvent on n’a pas besoin de tracer ainsi ces lignes sur le papier, et ilComment on peut sutdelesde´signerparquelqueslettres,chacuneparuneseule.Commepour´esrenceihesdru ajouter la ligneB Da`G H, je nomme l’uneaet l’autreb, et ecrisa+b; etmeoriet.eg´ ´ abpour soustrairebdea; etab ;pour les multiplier l’une par l’autre etab pour diviseraparb; etaaoua2pour multipliera(earpi-soemmˆ2 et) ;a3pour le multiplier encore une fois paraniate,inl`asieti;na2+b2, pour tirer la racinecarre´edea2+b2; etCa3b3+ab2, pour tirer la racine cubique de a3b3+ab2, et ainsi des autres. O`uilesta`remarquerquepara2, oub3ioosdr-iblla,jesecen¸conuo,bmes nairement que des lignes toutes simples, encore que pour me servir des noms usite´senlal`brejelesnommedescarr´esoudescubes,etc. ge Ilestaussia`remarquerquetouteslespartiesdunemeˆmelignesedoivent ordinairement exprimer par autant de dimensions l’une que l’autre, lorsque l’u-nit´estpointd´etermin´eeenlaquestion,commeicia3en contient autant que e n ab2orb3m´eeinomejanequodsentmpcoelosigal pCa3b3+ab2; maisquecenestpasdemeˆmelorsquelunit´eestd´etermine´e,a`causequelle peutˆetresous-entenduepartoutou`ilyatropoutroppeudedimensions: comme s’il faut tirer la racine cubique dea2b2bnspequeraqelntuali,tuaftie´ a2b2e´titnauqerutaelquete,t´nieeunefoisparlusedtvisibmtseuxeedepli´ulti ´ fois par la meme. ˆ Aureste,andenepasmanquera`sesouvenirdesnomsdeceslignes,il enfauttoujoursfaireunregistres´epar´e`amesurequonlesposeouquonles change,´ecrivantparexemple(3) : A Berid-a`-ts,ce=1A B´.a1l` ega (2anndpeCe)auntquesslctfarseuga´eolxuuqsrsliosentDescartesr´ep`eetrpseuqteuoojru nombrededeux.Nousavonsiciconstammentadopte´lanotationa2. (3)Nous substituons partout le signe = au signedont se servoit Descartes. 2
G H=a. B D=b, etc. Ainsi,voulantre´soudrequelqueproble`me,ondoitdabordleconsid´ererComment il faut commede´j`afait,etdonnerdesnoms`atoutesleslignesquisemblentne´cessairesvenir aux pourleconstruire,aussibien`acellesquisontinconnuesquauxautres.Puis,edrtnevresiuose´ra`´equnsquatio sansconsid´ereraucunedie´renceentreceslignesconnuesetinconnues,ondoitpresleseml`ob. parcourirladiculte´selonlordrequimontreleplusnaturellementdetous enquellesorteellesde´pendentmutuellementlesunesdesautres,jusquesa`ce quonaittrouv´emoyendexprimerunemeˆmequantit´eendeuxfac¸ons,cequi senommeunee´quation;carlestermesdelunedecesdeuxfac¸onssont´egaux `aceuxdelautre.Etondoittrouverautantdetelles´equationsquonasuppose ´ delignesquie´toientinconnues.Oubien,silnesentrouvepastant,etque nonobstantonnometteriendecequiestde´sire´enlaquestion,celate´moigne quellenestpasenti`erementde´termine´e.Etlorsonpeutprendrea`discr´etion des lignes connues pour toutes les inconnues auxquelles ne correspond aucune ´equation.Apr`ela,silenresteencoreplusieurs,ilsefautservirparordrede es c chacunedes´equationsquirestentaussi,soitenlaconside´ranttouteseule,soit en la comparant avec les autres, pour expliquer chacune de ces lignes inconnues, etfaireainsi,enlesd´emeˆlant,quilnendemeurequuneseulee´gale`aquelque autrequisoitconnue,oubiendontlecarr´e,oulecube,oulecarre´dcarr´ e e, ou lesursolide,oulecarr´edecube,etc.,soit´egal`acequiseproduitparladdition ousoustractiondedeuxouplusieursautresquantite´s,dontlunesoitconnue,et lesautressoientcompose´esdequelquesmoyennesproportionnellesentrelunit´e etcecarre´,oucube,oucarre´decarre´,etc.,multiplie´espardautresconnues. Cequeje´crisencettesorte: z=b, ouz2=az+b2, ouz3= +az2+b2zc3, ouz4=az3c3z+d4,etc. ; cest-`a-direzoprunesdnaitaluqjepr,quea`elageonnceit´t´ese,nub; ou le carre ´ dezacrre´edest´egalaubmoinsamtiuli´plarepz; ou le cube deztseag`el´ aa multiplie´parlecarre´dezedrre´elacusplbluitmeparpli´zmoins le cube dec; et ainsi des autres. Etonpeuttoujoursre´duireainsitouteslesquantitesinconnuesa`uneseule, ´ lorsqueleproble`mesepeutconstruirepardescerclesetdeslignesdroites,ou aussi par des sections coniques, ou mˆ uelque autre ligne qui ne soit eme par q quedunoudeuxdegre´spluscompose´e.Maisjenemarreˆtepointa`expliquer ceciplusend´etail,a`causequejevousoˆteroisleplaisirdelapprendredevous-meˆme,etlutilit´edecultivervotreespritenvousyexerc¸ant,quiest`amonavis la principale qu’on puisse tirer de cette science. Aussi que je n’y remarque rien desidicilequeceuxquiserontunpeuverse´senlag´eom´etriecommuneet enlalge`bre,etquiprendrontgarde`atoutcequiestencetraite´,nepuissent trouver. 3
C’est pourquoi je me contenterai ici de vous avertir que, pourvu qu’en d´emeˆlantcese´quations,onnemanquepointa`seservirdetouteslesdivisions qui seront possibles, on aura infailliblement les plus simples termes auxquels la questionpuisseeˆtrer´eduite. Etquesiellepeuteˆtrere´solueparlag´eom´etrieordinaire,cest-`a-direenneQuels sont les seservantquedelignesdroitesetcirculairestrac´eessurunesupercieplate,lpseme`l.snaprob lorsqueladerni`ere´equationaurae´t´eentie`rementd´emˆel´ee,ilnyresteratoutau plusquuncarre´inconnu,e´gala`cequiseproduitdeladditionousoustraction desaracinemultipli´eeparquelquequantite´connue,etdequelqueautrequantite´ aussi connue. Etlorscetteracine,ouligneinconnue,setrouveais´ement;carsijaiparComment ils se exempleveol.ntesr´ z2=az+b2, je fais le triangle rectangle MN L(fig. 3)eltnod,e´toˆcL Malegt´es`ab, raci´edelntit´econnueb2, et l’autreL Nse21tarteam,ltioide´eaulne carre a qua Fig. 3.
quantit´econnuequi´etoitmultipli´eeparz;enuonnceignlilareˆeteppsoejusq,eu puis prolongeantM Nsuuqsea`aignelj,sedecetr,labaO, en sorte queN O soite´galea`N L, la touteO Mestzterpxeseltecneemierchnechetel´ee;lagil, sorte : z12=a+r41a2+b2. Que si j’aiy2=ay+b2, et queyiluutfaoutrr,veftaijoesuqiaslitnaqe´t lemeˆmetrianglerectangle MN L, et de sa baseM NoˆetjN Pe´agela`N L, et le resteP Mestynicaral,´hcrehceiaefa¸ee.Duejconq 12 y=a+r41a2+b . 2 Ettoutdemˆemesijavois x4=ax2+b2, P Mseroitx2, et j’aurois x=s12a+r41a2+b2; 4
et ainsi des autres. Enfin, si j’ai z2=azb2 , je faisN M(fig. 4)gela`ea´21a, etL Megale`a´b, comme devant ; puis, au lieu Fig. 4.
de joindre les pointsL N, je tireL Q Rll`ele`aarapM N, et du centreN, par L´etditcrceunlercliuquocauaepiopxtns,yanaQetRngcealil,h´eeherczest L Q, ou bienL Rcecnerac;eeimprexsleelasocsn,sadnuefx¸aavoir ` z2=1a+r14a2b , 2 et 1 1 z=ar4a2b2. 2 Et si le cercle, qui ayant son centre au pointNpasse par le pointM, ne coupe ni ne touche la ligne droiteL Q Renicarenucuaaynil,noafc¸n,deatio´equenlquonpeutassurerquelaconstructionduprobl`emepropose´estimpossible. Aureste,cesmeˆmesracinessepeuventtrouverparuneinnite´dautres moyens, et j’ai seulement voulu mettre ceux-ci, comme fort simples, afin de fairevoirquonpeutconstruiretouslesprobl`emesdelage´ome´trieordinaire sans faire autre chose que le peu qui est compris dans les quatre figures que j’ai explique´es.Cequejenecroispasquelesanciensaientremarqu´e;carautrement ilsneussentpasprislapeinedene´criretantdegroslivresou`leseulordrede leurspropositionsnousfaitconnoˆıtrequilsnontpointeulavraieme´thodepour lestrouvertoutes,maisquilsontseulementramasse´cellesquilsontrencontr´ees. Et on peut le voir aussi fort clairement de ce que Pappus a mis au commence-de´eterimelpxE mentdesonseptie`melivre,o`uapr`essˆetrearreˆt´equelquetempsa`d´enombrerPappus. toutcequiavoit´ete´e´criteng´eome´trieparceuxquilavoientpre´ce´d´e,ilparle enfin d’une question qu’il dit que ni Euclide, ni Apollonius, ni aucun autre, navoientsuentie`rementr´esoudre;etvoicisesmots(4) : Quem autem dicit (Apollonius) in tertio libro locum ad tres et quatuor lineas ab Euclide perfectum non esse, neque ipse perficere poterat, neque aliquis alius ; (4hacuquec,angrecsuiaedlptnnelneonsieravtlˆoutpletxeteleuqenital)eJicet´t semen .
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