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Introduction Cem´emoire,re´dige´envuedelhabilitationa`dirigerlesrecherches,apourbutde presenterlesprincipauxre´sultatscontenusdanshuitarticlesparusou`aparaˆıtre,e´crits ´ durantlessixdernie`resann´ees[3,5,812,14].Cestravauxsontconsacre´sdansune largemesureaucomportementasymptotiqueentempsdessolutionsde´quationsaux de´rive´espartiellesnonlin´eaires,detypeparaboliqueouhyperboliqueavecamortisse-ment,d´eniessurlespaceRnesregrou.Onpeutltuneitreotui,qesrioge´tacxuednerep serecoupentpartiellement:lestravauxtouchanta`lexistenceetlastabilite´dondes pro-gressives8,5,3[,]41,01rgveceenrsvessdetulosnoietceuxquimettentnee´ivedcnlecano asymptotiquementautosimilaires[5,11,12,14]. Dansunsoucidunit´e,plusieursarticlesgurantdanslalistedepublicationsci-dessousonte´t´e´ecart´esdelas´electionpre´sente´epourlhabilitation.Ilenvaainsidun travailanciensurlexistencedevarie´t´esinvariantespourdesproble`mesde´volution malpose´s[4],ainsiquededeuxarticlesr´ecentsconcernantle´quationdeKadomtsev-Petviashvili[15]etladynamiquedessyst`emesgradients´etendus[16].Lesnotes[7,13,17] nontpase´te´retenuesnonplus,maisle´once´squellescontiennentont´et´eprisencon-s en ¸ongenerale,lapre´sentation sid´rationdansletextedecem´emoire.Defac´´metlaccent e surlesr´esultatslesplusre´cents,quiconcernentl´equationdesondesavecamortisse-ment,ettraitedefa¸conplussuccintelestravauxante´rieursconsacre´sa`d´quations es e oudessyst`emesder´eaction-diusion. Lestroispremierschapitrescontiennentles´enonc´esdesre´sultatsprincipaux,prece-´ ´ d´esdunebre`veintroductionetcompl´et´esdequelquescommentairesconcernantleur d´emonstration.Dansunpremierchapitre,quiapourthe`mele´quationdeGinzburg-Landaure´elle,one´tudiel´evolutiondelinterfacese´parantdeuxsolutionsstationnaires pe´riodiquesdep´eriodesdi´erentes.Suivantlastabilit´edecesdeux´etatslimites,on observe la formation d’une onde progressive (cas monostable) ou d’un profil autosimilaire (casbistable).Ledeuxie`mechapitreestconsacre´a`unsyst`emedere´action-diusionde typeautocatalytique,pourlequelonmontrelexistenceetlastabilit´elocaledunefamille dondesprogressives.Cessolutionssontimportantesdupointdevueexpe´rimental,car ellesd´ecriventlecomportementdusyst`emelorsquelesdeuxcomposants(re´actantet catalyseur)sontinitialements´epare´s.Dansletroisie`mechapitre,on´etudielexistence etlastabilit´edondesprogressivespourl´equationhyperboliqueamortieεutt+ut= Δu+f(u)o,u`ε >0 etftueslin-none´tirae´nmepytedetablonosistaeoubeLublb.et estdege´neraliseracesyst`emelaplupartdesre´sultatsconnusdanslecasparabolique ´ ` εsleeledefaidionnonctrapne,0=onens´leerlicutitie´baliedts´cses`altenuleobloca d´energie,lesproprie´t´esdestabilite´globaled´ecoulantduprincipedumaximum,etles r´esultatsplusnsd´ecrivantlecomportementasymptotiqueentempsdesperturbations. Ledernierchapitredeceme´moire,r´edig´edansunespritunpeudie´rent,apour butdefamiliariserlelecteuraveclame´thodeutilis´eedans[11,12,14]pourmontrerla convergence des solutions vers des profils autosimilaires. Cette technique, qui repose sur l’emploi desleele´hcsedailbarvξ=x t,τ= logt,nmeratnemiavappatet´maja´eis applique´e`ad´ationshyperboliques,etrarement`adessyst`emesa`coecientsnon es equ constants.Sonecacite´estde´montr´eeicisurtroisexemplesdecomplexite´croissante: le´quationdelachaleurnonlin´eaire,une´equationhyperboliqueamortie`acoecients nonconstants,etl´equation(3.6)re´gissantlesperturbationsduneondeprogressive dans le cas monostable critique.
- 2 -Existenceetstabilit´edondesprogressives Ladicult´eprincipaledessyste`mes´etudi´esdanscem´emoire,encequiconcernele comportementdessolutionspourlesgrandstemps,re´sidedanslefaitquilssontd´enis surdesr´egionsonbnrsoe´enempstse`deneso`stuneelednE.ecapses,cetesyesemmˆ dynamiquetre`ssimplelorsquonlesconsid`eresurundomaineborne´ΩRnet que lonimposedesconditionsad´equates`alafrontie`re:touteslessolutionsconvergentvers lespointsd´equilibrelorsquet+se´reC.sttetaulqusiasclsyst`emeepourdesgsar-dientstelsquel´equationdeGinzburg-Landau(1.1)oule´quationhyperboliqueamortie (3.1).Danslecasdusyste`medere´action-diusion(2.1),cettepropriete´requiertune ´ d´emonstrationad hoc, que l’on trouvera dans [Ma]. Lasituationesttr`esdie´renteendomainenonborn´e,o`udesconside´rations´el´emen-tairesmontrentquelessolutionsneconvergentge´ne´ralementpasversdespointsde´qui-libre.Ainsi,le´quationparaboliqueut=uxx+uu3p,ede`ssouttourpoc2, des solutions de la formeu(x t) =h(xctu`o),hant´eriutseofenitcnd´onroecsaisevnt h(−∞) = 1,h(+ Ces) = 0 (fig. 1). solutions en translation uniforme, qui cons-tituent les exemples les plus simples d’ondes progressivesoufrontsonsivaince´d,ltnevir `avitesseconstantedelare´gioninstableule=0lrape´ranoigbatsu est clair Il= 1. qu’elles ne convergent, au sens d’une distance invariante par translation, vers aucun pointd´equilibredusyste`me.Onpeuttoutefoisnoterqueh(xct) converge vers 1 uniform´ nt sur tout compact lorsquet+. eme
u(x t) 1
0
c
x
Fig. 1oenUpedn:deve´elgrrosiesoinuqtaut=uxx+uu3, de vitesse minimalec= 2.
Touslessyste`mes´etudi´esci-dessousposs`edentdetellesondesprogressives,maisces derni`eresontsouventuneexpressionpluscomplexe.Ainsi,pourle´quationdeGinzburg-Landau(1.1),onmontrelexistencedunefamilledefrontsreliantdeuxe´tatsstation-nairespe´riodiquesenespace,depe´riodesdi´erentes.Cesondesprogressivesnesontplus entranslationuniforme,maisressemblenta`unprolrigidequisede´placeversladroite `avitesseconstante,ende´truisantunmotifp´eriodiquedevantluietenlerempla¸cant parunautrederrierelui(g.2).Danslecasdusyste`medere´action-diusion(2.1), ` quimod´eliseunere´actionchimiqueautocatalytiquedelaformeA+B2B, les ondes progressivessonta`nouveauentranslationuniforme,maisposse`dentdeuxcomposantes α βcae´tnatnoitrudsesr´eprntraoncelescmentitevpscetnerneatAet de l’autocatalyseur Britlaprorontd´ec.g)3L.fe(ae´raledua,noitconsiesgrleiaatspesdelcourllelaque re´actantAesyle(ruorpttiudlampepc´leartacatsere)B.
Reu
Reu
Reu
- 3 -
t= 0
x
t= 6
x
t= 12
x
Fig. 2sivegres´equdeldnuleelpeoroedn(1aundLalire),.1Gednoita-grubzninraedet´sreaitL:pa solutionsstationnairesp´eriodiquesdep´eriodesdi´erentes.Lesvaleursdesparam`etressontq03, = q+= 09, etc= 5, cf. (1.2). Lesexp´eriencesnum´eriques,ainsiquelesr´esultatsrigoureuxobtenusdansquelques cassimples,indiquentquelesondesprogressivesjouentunrˆoletr`esimportantdansla dynamiquedessyst`emesdissipatifs´etendus,comparable`aceluidespointsde´quilibre pourlessyste`mesendomaineborn´e.Danslecasdele´quationparaboliqueut= Δu+ uu3eobtee´nrisopevitini,tiiallseeedonn´eetsesuequledsnaulbomteulnoeiien converge typiquement vers une superposition d’ondes progressives lorsquet+, mais cettearmationnapasencore´ete´comple`tementd´emontre´e.Quoiquilensoit,l´etude delexistenceetdelastabilit´edesondesprogressivesestunee´tapeindispensablevers unemeilleurecompre´hensionducomportementdetoutsyste`medynamiqueinvariant partranslation,enparticulierdusyst`emeassocie´`aunee´quationauxd´eriv´eespartielles a`coecientsconstantsd´eniesurladroitere´elleRou sur le cylindreR×Ω0o,u` Ω0Rn1. Touslesexemplesdondesprogressivese´tudie´sdanscem´emoiresontessentiellement
- 4 -unidimensionnels,soitquelesyt`questionsoitde´nisurR, soit que le profil s eme en delondenede´pendepasdesvariablestransverses.Ilsensuitqueceprolestsolution dunee´quationoudunsyste`med´equationsdi´erentiellesordinairesdanslavariable nob´ee,queloninterpr´eteracommeunevariabled´evolution.Montrerlexistence n orn delondeprogressiverevientalors`aconstruireunetrajectoirehneliocert´´e,e`emystscede reliantentreeuxdeuxpointsd´equilibredistincts.Pourle´quationder´eaction-diusion (2.1)etl´equationhyperboliqueamortie(3.1),uneanalyseduotdanslespacedephase permetdemontrerlexistencedunetelletrajectoirepardestechniquese´le´mentaires. Danslecasdele´quationdeGinzburg-Landau(1.1),lesyste`medie´rentielde´terminant leproldelondeestdetailleinnie,etlaconstructiondelatrajectoireh´et´erocline ´sitedabordlare´duction`aunevari´ete´invariantededimensioninnie,puisune neces e´tudede´taille´edusyste`meprojet´esurcettevari´et´e.
1
β α
c
0x Fig. 3: Les deux composantesαetβ-diusion(2.1).redeme`tnoitcae´ssreogprysusedivdnoeduen Lesvaleursdesparame`tressontD= 2,k= 0 etc= 2D12. Silestechniquesutilis´eesicinepermettentdeconstruirequedesondesprogressives unidimensionnelles,lesm´ethodesde´veloppe´espoure´tudierlastabilite´decesondessont plusge´n´erales,etpermettentdeconsid´ererdesperturbationsquelconques.Ainsi,dans lechapitre3consacre´a`le´quationhyperboliqueamortie(3.1),onmontrelastabilit´e desondesprogressivesvis-a`-visdeperturbationsmultidimensionnellesdansdesespaces deSobolev`apoids,a`laidedediversesfonctionnellesde´nergie.Lamˆemem´ethodeest employ´eedanslechapitre2poure´tudierlastabilit´edesondesprogressivesdusyst`eme dere´action-diusion(2.1).Danscertainscas,lutilisationconjointedefonctionnelles de´nergieetdevariablesd´echellepermetdobtenirdesr´esultatspluspre´cis,etded´ecrire compl`etementlecomportementasymptotiqueentempsdesperturbations. Convergence vers des solutions autosimilaires Demˆemequelesondesprogressivessontdues`alinvariancepartranslation,linvariance souslesdilatationsspatialesesta`loriginedunautretypedesolutionsimportantes pour le comportement asymptotique en temps : les solutionsautosimilairesde la forme u(x t) =tαΦ(xtβu`o,)α,lee´rtseβest positif, et Φ(x)u(x1) est leprofil delasolution.Detellesexpressionssontinvariantessouslatransformationde´chelle u(x t)7→Lαu(Lβx Lt), pour toutL > que cette transformation n’est pas une0. Noter sym´etrieexactedessyst`emese´tudie´sdanscem´emoire,desortequaucundentreeux neposs`ededesolutionexactementautosimilaire(nontriviale).Toutefois,lesr´esultats pr´esent´esdansleschapitres1et4montrentquecertainsdecessyste`mespossedentdes ` solutionsasymptotiquementautosimilaires lorsquet+ceirevtnq,iu´dte-lecompor