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Introduction Ce memoire redige en vue de l'habilitation a diriger les recherches a pour but de presenter les principaux resultats contenus dans huit articles parus ou a paraıtre ecrits durant les six dernieres annees Ces travaux sont consacres dans une large mesure au comportement asymptotique en temps des solutions d'equations aux derivees partielles non lineaires de type parabolique ou hyperbolique avec amortisse ment definies sur l'espace Rn tout entier On peut les regrouper en deux categories qui se recoupent partiellement les travaux touchant a l'existence et la stabilite d'ondes pro gressives et ceux qui mettent en evidence la convergence vers des solutions asymptotiquement autosimilaires

42 pages
- 1 - Introduction Ce memoire, redige en vue de l'habilitation a diriger les recherches, a pour but de presenter les principaux resultats contenus dans huit articles parus ou a paraıtre, ecrits durant les six dernieres annees [3,5,8–12,14]. Ces travaux

  • dynamique invariant par translation

  • onde progressive

  • profil

  • emploi des variables d'echelle ?

  • equation hyperbolique

  • onde progressive du systeme de reaction-diffusion


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- 1 -
Introduction Cem´emoire,re´dige´envuedelhabilitationa`dirigerlesrecherches,apourbutde presenterlesprincipauxre´sultatscontenusdanshuitarticlesparusou`aparaˆıtre,e´crits ´ durantlessixdernie`resann´ees[3,5,812,14].Cestravauxsontconsacre´sdansune largemesureaucomportementasymptotiqueentempsdessolutionsde´quationsaux de´rive´espartiellesnonlin´eaires,detypeparaboliqueouhyperboliqueavecamortisse-ment,d´eniessurlespaceRnesregrou.Onpeutltuneitreotui,qesrioge´tacxuednerep serecoupentpartiellement:lestravauxtouchanta`lexistenceetlastabilite´dondes pro-gressives8,5,3[,]41,01rgveceenrsvessdetulosnoietceuxquimettentnee´ivedcnlecano asymptotiquementautosimilaires[5,11,12,14]. Dansunsoucidunit´e,plusieursarticlesgurantdanslalistedepublicationsci-dessousonte´t´e´ecart´esdelas´electionpre´sente´epourlhabilitation.Ilenvaainsidun travailanciensurlexistencedevarie´t´esinvariantespourdesproble`mesde´volution malpose´s[4],ainsiquededeuxarticlesr´ecentsconcernantle´quationdeKadomtsev-Petviashvili[15]etladynamiquedessyst`emesgradients´etendus[16].Lesnotes[7,13,17] nontpase´te´retenuesnonplus,maisle´once´squellescontiennentont´et´eprisencon-s en ¸ongenerale,lapre´sentation sid´rationdansletextedecem´emoire.Defac´´metlaccent e surlesr´esultatslesplusre´cents,quiconcernentl´equationdesondesavecamortisse-ment,ettraitedefa¸conplussuccintelestravauxante´rieursconsacre´sa`d´quations es e oudessyst`emesder´eaction-diusion. Lestroispremierschapitrescontiennentles´enonc´esdesre´sultatsprincipaux,prece-´ ´ d´esdunebre`veintroductionetcompl´et´esdequelquescommentairesconcernantleur d´emonstration.Dansunpremierchapitre,quiapourthe`mele´quationdeGinzburg-Landaure´elle,one´tudiel´evolutiondelinterfacese´parantdeuxsolutionsstationnaires pe´riodiquesdep´eriodesdi´erentes.Suivantlastabilit´edecesdeux´etatslimites,on observe la formation d’une onde progressive (cas monostable) ou d’un profil autosimilaire (casbistable).Ledeuxie`mechapitreestconsacre´a`unsyst`emedere´action-diusionde typeautocatalytique,pourlequelonmontrelexistenceetlastabilit´elocaledunefamille dondesprogressives.Cessolutionssontimportantesdupointdevueexpe´rimental,car ellesd´ecriventlecomportementdusyst`emelorsquelesdeuxcomposants(re´actantet catalyseur)sontinitialements´epare´s.Dansletroisie`mechapitre,on´etudielexistence etlastabilit´edondesprogressivespourl´equationhyperboliqueamortieεutt+ut= Δu+f(u)o,u`ε >0 etftueslin-none´tirae´nmepytedetablonosistaeoubeLublb.et estdege´neraliseracesyst`emelaplupartdesre´sultatsconnusdanslecasparabolique ´ ` εsleeledefaidionnonctrapne,0=onens´leerlicutitie´baliedts´cses`altenuleobloca d´energie,lesproprie´t´esdestabilite´globaled´ecoulantduprincipedumaximum,etles r´esultatsplusnsd´ecrivantlecomportementasymptotiqueentempsdesperturbations. Ledernierchapitredeceme´moire,r´edig´edansunespritunpeudie´rent,apour butdefamiliariserlelecteuraveclame´thodeutilis´eedans[11,12,14]pourmontrerla convergence des solutions vers des profils autosimilaires. Cette technique, qui repose sur l’emploi desleele´hcsedailbarvξ=x t,τ= logt,nmeratnemiavappatet´maja´eis applique´e`ad´ationshyperboliques,etrarement`adessyst`emesa`coecientsnon es equ constants.Sonecacite´estde´montr´eeicisurtroisexemplesdecomplexite´croissante: le´quationdelachaleurnonlin´eaire,une´equationhyperboliqueamortie`acoecients nonconstants,etl´equation(3.6)re´gissantlesperturbationsduneondeprogressive dans le cas monostable critique.
- 2 -Existenceetstabilit´edondesprogressives Ladicult´eprincipaledessyste`mes´etudi´esdanscem´emoire,encequiconcernele comportementdessolutionspourlesgrandstemps,re´sidedanslefaitquilssontd´enis surdesr´egionsonbnrsoe´enempstse`deneso`stuneelednE.ecapses,cetesyesemmˆ dynamiquetre`ssimplelorsquonlesconsid`eresurundomaineborne´ΩRnet que lonimposedesconditionsad´equates`alafrontie`re:touteslessolutionsconvergentvers lespointsd´equilibrelorsquet+se´reC.sttetaulqusiasclsyst`emeepourdesgsar-dientstelsquel´equationdeGinzburg-Landau(1.1)oule´quationhyperboliqueamortie (3.1).Danslecasdusyste`medere´action-diusion(2.1),cettepropriete´requiertune ´ d´emonstrationad hoc, que l’on trouvera dans [Ma]. Lasituationesttr`esdie´renteendomainenonborn´e,o`udesconside´rations´el´emen-tairesmontrentquelessolutionsneconvergentge´ne´ralementpasversdespointsde´qui-libre.Ainsi,le´quationparaboliqueut=uxx+uu3p,ede`ssouttourpoc2, des solutions de la formeu(x t) =h(xctu`o),hant´eriutseofenitcnd´onroecsaisevnt h(−∞) = 1,h(+ Ces) = 0 (fig. 1). solutions en translation uniforme, qui cons-tituent les exemples les plus simples d’ondes progressivesoufrontsonsivaince´d,ltnevir `avitesseconstantedelare´gioninstableule=0lrape´ranoigbatsu est clair Il= 1. qu’elles ne convergent, au sens d’une distance invariante par translation, vers aucun pointd´equilibredusyste`me.Onpeuttoutefoisnoterqueh(xct) converge vers 1 uniform´ nt sur tout compact lorsquet+. eme
u(x t) 1
0
c
x
Fig. 1oenUpedn:deve´elgrrosiesoinuqtaut=uxx+uu3, de vitesse minimalec= 2.
Touslessyste`mes´etudi´esci-dessousposs`edentdetellesondesprogressives,maisces derni`eresontsouventuneexpressionpluscomplexe.Ainsi,pourle´quationdeGinzburg-Landau(1.1),onmontrelexistencedunefamilledefrontsreliantdeuxe´tatsstation-nairespe´riodiquesenespace,depe´riodesdi´erentes.Cesondesprogressivesnesontplus entranslationuniforme,maisressemblenta`unprolrigidequisede´placeversladroite `avitesseconstante,ende´truisantunmotifp´eriodiquedevantluietenlerempla¸cant parunautrederrierelui(g.2).Danslecasdusyste`medere´action-diusion(2.1), ` quimod´eliseunere´actionchimiqueautocatalytiquedelaformeA+B2B, les ondes progressivessonta`nouveauentranslationuniforme,maisposse`dentdeuxcomposantes α βcae´tnatnoitrudsesr´eprntraoncelescmentitevpscetnerneatAet de l’autocatalyseur Britlaprorontd´ec.g)3L.fe(ae´raledua,noitconsiesgrleiaatspesdelcourllelaque re´actantAesyle(ruorpttiudlampepc´leartacatsere)B.
Reu
Reu
Reu
- 3 -
t= 0
x
t= 6
x
t= 12
x
Fig. 2sivegres´equdeldnuleelpeoroedn(1aundLalire),.1Gednoita-grubzninraedet´sreaitL:pa solutionsstationnairesp´eriodiquesdep´eriodesdi´erentes.Lesvaleursdesparam`etressontq03, = q+= 09, etc= 5, cf. (1.2). Lesexp´eriencesnum´eriques,ainsiquelesr´esultatsrigoureuxobtenusdansquelques cassimples,indiquentquelesondesprogressivesjouentunrˆoletr`esimportantdansla dynamiquedessyst`emesdissipatifs´etendus,comparable`aceluidespointsde´quilibre pourlessyste`mesendomaineborn´e.Danslecasdele´quationparaboliqueut= Δu+ uu3eobtee´nrisopevitini,tiiallseeedonn´eetsesuequledsnaulbomteulnoeiien converge typiquement vers une superposition d’ondes progressives lorsquet+, mais cettearmationnapasencore´ete´comple`tementd´emontre´e.Quoiquilensoit,l´etude delexistenceetdelastabilit´edesondesprogressivesestunee´tapeindispensablevers unemeilleurecompre´hensionducomportementdetoutsyste`medynamiqueinvariant partranslation,enparticulierdusyst`emeassocie´`aunee´quationauxd´eriv´eespartielles a`coecientsconstantsd´eniesurladroitere´elleRou sur le cylindreR×Ω0o,u` Ω0Rn1. Touslesexemplesdondesprogressivese´tudie´sdanscem´emoiresontessentiellement
- 4 -unidimensionnels,soitquelesyt`questionsoitde´nisurR, soit que le profil s eme en delondenede´pendepasdesvariablestransverses.Ilsensuitqueceprolestsolution dunee´quationoudunsyste`med´equationsdi´erentiellesordinairesdanslavariable nob´ee,queloninterpr´eteracommeunevariabled´evolution.Montrerlexistence n orn delondeprogressiverevientalors`aconstruireunetrajectoirehneliocert´´e,e`emystscede reliantentreeuxdeuxpointsd´equilibredistincts.Pourle´quationder´eaction-diusion (2.1)etl´equationhyperboliqueamortie(3.1),uneanalyseduotdanslespacedephase permetdemontrerlexistencedunetelletrajectoirepardestechniquese´le´mentaires. Danslecasdele´quationdeGinzburg-Landau(1.1),lesyste`medie´rentielde´terminant leproldelondeestdetailleinnie,etlaconstructiondelatrajectoireh´et´erocline ´sitedabordlare´duction`aunevari´ete´invariantededimensioninnie,puisune neces e´tudede´taille´edusyste`meprojet´esurcettevari´et´e.
1
β α
c
0x Fig. 3: Les deux composantesαetβ-diusion(2.1).redeme`tnoitcae´ssreogprysusedivdnoeduen Lesvaleursdesparame`tressontD= 2,k= 0 etc= 2D12. Silestechniquesutilis´eesicinepermettentdeconstruirequedesondesprogressives unidimensionnelles,lesm´ethodesde´veloppe´espoure´tudierlastabilite´decesondessont plusge´n´erales,etpermettentdeconsid´ererdesperturbationsquelconques.Ainsi,dans lechapitre3consacre´a`le´quationhyperboliqueamortie(3.1),onmontrelastabilit´e desondesprogressivesvis-a`-visdeperturbationsmultidimensionnellesdansdesespaces deSobolev`apoids,a`laidedediversesfonctionnellesde´nergie.Lamˆemem´ethodeest employ´eedanslechapitre2poure´tudierlastabilit´edesondesprogressivesdusyst`eme dere´action-diusion(2.1).Danscertainscas,lutilisationconjointedefonctionnelles de´nergieetdevariablesd´echellepermetdobtenirdesr´esultatspluspre´cis,etded´ecrire compl`etementlecomportementasymptotiqueentempsdesperturbations. Convergence vers des solutions autosimilaires Demˆemequelesondesprogressivessontdues`alinvariancepartranslation,linvariance souslesdilatationsspatialesesta`loriginedunautretypedesolutionsimportantes pour le comportement asymptotique en temps : les solutionsautosimilairesde la forme u(x t) =tαΦ(xtβu`o,)α,lee´rtseβest positif, et Φ(x)u(x1) est leprofil delasolution.Detellesexpressionssontinvariantessouslatransformationde´chelle u(x t)7→Lαu(Lβx Lt), pour toutL > que cette transformation n’est pas une0. Noter sym´etrieexactedessyst`emese´tudie´sdanscem´emoire,desortequaucundentreeux neposs`ededesolutionexactementautosimilaire(nontriviale).Toutefois,lesr´esultats pr´esent´esdansleschapitres1et4montrentquecertainsdecessyste`mespossedentdes ` solutionsasymptotiquementautosimilaires lorsquet+ceirevtnq,iu´dte-lecompor
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