Introduction Ce memoire redige en vue de l'habilitation a diriger les recherches a pour but de presenter les principaux resultats contenus dans huit articles parus ou a paraıtre ecrits durant les six dernieres annees Ces travaux sont consacres dans une large mesure au comportement asymptotique en temps des solutions d'equations aux derivees partielles non lineaires de type parabolique ou hyperbolique avec amortisse ment definies sur l'espace Rn tout entier On peut les regrouper en deux categories qui se recoupent partiellement les travaux touchant a l'existence et la stabilite d'ondes pro gressives et ceux qui mettent en evidence la convergence vers des solutions asymptotiquement autosimilaires

Description

- 1 - Introduction Ce memoire, redige en vue de l'habilitation a diriger les recherches, a pour but de presenter les principaux resultats contenus dans huit articles parus ou a paraıtre, ecrits durant les six dernieres annees [3,5,8–12,14]. Ces travaux

• dynamique invariant par translation


• onde progressive


• profil


• emploi des variables d'echelle ?


• equation hyperbolique


• onde progressive du systeme de reaction-diffusion

Sujets

• Onde
• Profil
• cours
• cours de

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• Langue: Français

Extrait

- 1 -

Introduction Cem´emoire,re´dige´envuedel’habilitationa`dirigerlesrecherches,apourbutde presenterlesprincipauxre´sultatscontenusdanshuitarticlesparusou`aparaˆıtre,e´crits ´ durantlessixdernie`resann´ees[3,5,8–12,14].Cestravauxsontconsacre´sdansune largemesureaucomportementasymptotiqueentempsdessolutionsd’e´quationsaux de´rive´espartiellesnonlin´eaires,detypeparaboliqueouhyperboliqueavecamortisse- ment,d´efiniessurl’espaceR n esregrou.Onpeutltuneitreotui,qesrioge´tacxuednerep serecoupentpartiellement:lestravauxtouchanta`l’existenceetlastabilite´d’ondes pro- gressives8,5,3[,]41,01–rgveceenrsvessdetulosnoietceuxquimettentnee´ivedcnlecano asymptotiquementautosimilaires[5,11,12,14]. Dansunsoucid’unit´e,plusieursarticlesfigurantdanslalistedepublicationsci- dessousonte´t´e´ecart´esdelas´electionpre´sente´epourl’habilitation.Ilenvaainsid’un travailanciensurl’existencedevarie´t´esinvariantespourdesproble`mesd’e´volution malpose´s[4],ainsiquededeuxarticlesr´ecentsconcernantl’e´quationdeKadomtsev- Petviashvili[15]etladynamiquedessyst`emesgradients´etendus[16].Lesnotes[7,13,17] n’ontpase´te´retenuesnonplus,maisle´once´squ’ellescontiennentont´et´eprisencon-s en ¸ongenerale,lapre´sentation sid´rationdansletextedecem´emoire.Defac´´metl’accent e surlesr´esultatslesplusre´cents,quiconcernentl’´equationdesondesavecamortisse- ment,ettraitedefa¸conplussuccintelestravauxante´rieursconsacre´sa`d´quations es e oudessyst`emesder´eaction-diffusion. Lestroispremierschapitrescontiennentles´enonc´esdesre´sultatsprincipaux,prece-´ ´ d´esd’unebre`veintroductionetcompl´et´esdequelquescommentairesconcernantleur d´emonstration.Dansunpremierchapitre,quiapourthe`mel’e´quationdeGinzburg- Landaure´elle,one´tudiel’´evolutiondel’interfacese´parantdeuxsolutionsstationnaires pe´riodiquesdep´eriodesdiff´erentes.Suivantlastabilit´edecesdeux´etatslimites,on observe la formation d’une onde progressive (cas monostable) ou d’un profil autosimilaire (casbistable).Ledeuxie`mechapitreestconsacre´a`unsyst`emedere´action-diffusionde typeautocatalytique,pourlequelonmontrel’existenceetlastabilit´elocaled’unefamille d’ondesprogressives.Cessolutionssontimportantesdupointdevueexpe´rimental,car ellesd´ecriventlecomportementdusyst`emelorsquelesdeuxcomposants(re´actantet catalyseur)sontinitialements´epare´s.Dansletroisie`mechapitre,on´etudiel’existence etlastabilit´ed’ondesprogressivespourl’´equationhyperboliqueamortieεu tt +u t = Δu+f(u)o,u`ε >0 etftueslin-none´tirae´nmepytedetablonosistaeoubeLublb.et estdege´neraliseracesyst`emelaplupartdesre´sultatsconnusdanslecasparabolique ´ ` εsleeledef’aidionnonctrapne,0=onens´leerlicutitie´baliedts´cses`altenuleobloca d’´energie,lesproprie´t´esdestabilite´globaled´ecoulantduprincipedumaximum,etles r´esultatsplusfinsd´ecrivantlecomportementasymptotiqueentempsdesperturbations. Ledernierchapitredeceme´moire,r´edig´edansunespritunpeudiffe´rent,apour butdefamiliariserlelecteuraveclame´thodeutilis´eedans[11,12,14]pourmontrerla convergence des solutions vers des profils autosimilaires. Cette technique, qui repose sur l’emploi desleele´hcse’dailbarvξ=x t,τ= logt,n’meratnemiavappatet´maja´eis applique´e`ad´ationshyperboliques,etrarement`adessyst`emesa`coefficientsnon es equ constants.Sonefficacite´estde´montr´eeicisurtroisexemplesdecomplexite´croissante: l’e´quationdelachaleurnonlin´eaire,une´equationhyperboliqueamortie`acoefficients nonconstants,etl’´equation(3.6)re´gissantlesperturbationsd’uneondeprogressive dans le cas monostable critique.

- 2 - Existenceetstabilit´ed’ondesprogressives Ladifficult´eprincipaledessyste`mes´etudi´esdanscem´emoire,encequiconcernele comportementdessolutionspourlesgrandstemps,re´sidedanslefaitqu’ilssontd´efinis surdesr´egionsonbnrsoe´enempstse`deneso`stunee’lednE.ecapses,ceteffsyesemmˆ dynamiquetre`ssimplelorsqu’onlesconsid`eresurundomaineborne´Ω⊂R n et que l’onimposedesconditionsad´equates`alafrontie`re:touteslessolutionsconvergentvers lespointsd’´equilibrelorsquet→+∞se´reC.sttetaulqusiasclsyst`emeepourdesgsar- dientstelsquel’´equationdeGinzburg-Landau(1.1)oul’e´quationhyperboliqueamortie (3.1).Danslecasdusyste`medere´action-diffusion(2.1),cettepropriete´requiertune ´ d´emonstrationad hoc, que l’on trouvera dans [Ma]. Lasituationesttr`esdiffe´renteendomainenonborn´e,o`udesconside´rations´el´emen- tairesmontrentquelessolutionsneconvergentge´ne´ralementpasversdespointsd’e´qui- libre.Ainsi,l’e´quationparaboliqueu t =u xx +u−u 3 p,ede`ssouttourpoc≥2, des solutions de la formeu(x t) =h(x−ctu`o),hfiant´eriutseofenitcnd´onroecsaisevnt h(−∞) = 1,h(+∞ Ces) = 0 (fig. 1). solutions en translation uniforme, qui cons- tituent les exemples les plus simples d’ondes progressivesoufrontsonsivaince´d,’ltnevir `avitesseconstantedelare´gioninstableule=0lrape´ranoigbatsu est clair Il= 1. qu’elles ne convergent, au sens d’une distance invariante par translation, vers aucun pointd’´equilibredusyste`me.Onpeuttoutefoisnoterqueh(x−ct) converge vers 1 uniform´ nt sur tout compact lorsquet→+∞. eme

u(x t) 1

0

c

x

Fig. 1oenUpedn:deve´el’grrosiesoinuqtau t =u xx +u−u 3 , de vitesse minimalec= 2.

Touslessyste`mes´etudi´esci-dessousposs`edentdetellesondesprogressives,maisces derni`eresontsouventuneexpressionpluscomplexe.Ainsi,pourl’e´quationdeGinzburg- Landau(1.1),onmontrel’existenced’unefamilledefrontsreliantdeuxe´tatsstation- nairespe´riodiquesenespace,depe´riodesdiff´erentes.Cesondesprogressivesnesontplus entranslationuniforme,maisressemblenta`unprofilrigidequisede´placeversladroite `avitesseconstante,ende´truisantunmotifp´eriodiquedevantluietenlerempla¸cant parunautrederrierelui(fig.2).Danslecasdusyste`medere´action-diffusion(2.1), ` quimod´eliseunere´actionchimiqueautocatalytiquedelaformeA+B→2B, les ondes progressivessonta`nouveauentranslationuniforme,maisposse`dentdeuxcomposantes α βcae´tnatnoitrudsesr´eprntraoncelescmentitevpscetnerneatAet de l’autocatalyseur Britlaprorontd´ec.g)3L.fefi(ae´raledua,noitconsiesgrleiaatspesdelcourllelaque re´actantAesyle(ruorpttiudlampepc´leartacatsere)B.

Reu

Reu

Reu

- 3 -

t= 0

x

t= 6

x

t= 12

x

Fig. 2sivegres´equdel’’dnuleelpeoroedn(1aundLalire),.1Gednoita-grubzninraedet´sreaitL:pa solutionsstationnairesp´eriodiquesdep´eriodesdiff´erentes.Lesvaleursdesparam`etressontq − −03, = q + = 09, etc= 5, cf. (1.2). Lesexp´eriencesnum´eriques,ainsiquelesr´esultatsrigoureuxobtenusdansquelques cassimples,indiquentquelesondesprogressivesjouentunrˆoletr`esimportantdansla dynamiquedessyst`emesdissipatifs´etendus,comparable`aceluidespointsd’e´quilibre pourlessyste`mesendomaineborn´e.Danslecasdel’e´quationparaboliqueu t = Δu+ u−u 3 eobtee´nrisopevitini,tiiallseeedonn´eetsesuequl’edsnaulbomteulnoeiffien converge typiquement vers une superposition d’ondes progressives lorsquet→+∞, mais cetteaffirmationn’apasencore´ete´comple`tementd´emontre´e.Quoiqu’ilensoit,l’´etude del’existenceetdelastabilit´edesondesprogressivesestunee´tapeindispensablevers unemeilleurecompre´hensionducomportementdetoutsyste`medynamiqueinvariant partranslation,enparticulierdusyst`emeassocie´`aunee´quationauxd´eriv´eespartielles a`coefficientsconstantsd´efiniesurladroitere´elleRou sur le cylindreR×Ω 0 o,u` Ω 0 ⊂R n−1 . Touslesexemplesd’ondesprogressivese´tudie´sdanscem´emoiresontessentiellement

- 4 - unidimensionnels,soitquelesyt`questionsoitde´finisurR, soit que le profil s eme en del’ondenede´pendepasdesvariablestransverses.Ils’ensuitqueceprofilestsolution d’unee´quationoud’unsyste`med’´equationsdiff´erentiellesordinairesdanslavariable nob´ee,quel’oninterpr´eteracommeunevariabled’´evolution.Montrerl’existence n orn del’ondeprogressiverevientalors`aconstruireunetrajectoirehneliocert´´e,e`emystscede reliantentreeuxdeuxpointsd’´equilibredistincts.Pourl’e´quationder´eaction-diffusion (2.1)etl’´equationhyperboliqueamortie(3.1),uneanalyseduflotdansl’espacedephase permetdemontrerl’existenced’unetelletrajectoirepardestechniquese´le´mentaires. Danslecasdel’e´quationdeGinzburg-Landau(1.1),lesyste`mediffe´rentielde´terminant leprofildel’ondeestdetailleinfinie,etlaconstructiondelatrajectoireh´et´erocline ´sited’abordlare´duction`aunevari´ete´invariantededimensioninfinie,puisune neces e´tudede´taille´edusyste`meprojet´esurcettevari´et´e.

1

β α

c

0 x Fig. 3: Les deux composantesαetβ-diffusion(2.1).redeme`tnoitcae´ssreogprysusedivdnoedu’en Lesvaleursdesparame`tressontD= 2,k= 0 etc= 2D 12 . Silestechniquesutilis´eesicinepermettentdeconstruirequedesondesprogressives unidimensionnelles,lesm´ethodesde´veloppe´espoure´tudierlastabilite´decesondessont plusge´n´erales,etpermettentdeconsid´ererdesperturbationsquelconques.Ainsi,dans lechapitre3consacre´a`l’e´quationhyperboliqueamortie(3.1),onmontrelastabilit´e desondesprogressivesvis-a`-visdeperturbationsmultidimensionnellesdansdesespaces deSobolev`apoids,a`l’aidedediversesfonctionnellesd’e´nergie.Lamˆemem´ethodeest employ´eedanslechapitre2poure´tudierlastabilit´edesondesprogressivesdusyst`eme dere´action-diffusion(2.1).Danscertainscas,l’utilisationconjointedefonctionnelles d’e´nergieetdevariablesd’´echellepermetd’obtenirdesr´esultatspluspre´cis,etded´ecrire compl`etementlecomportementasymptotiqueentempsdesperturbations. Convergence vers des solutions autosimilaires Demˆemequelesondesprogressivessontdues`al’invariancepartranslation,l’invariance souslesdilatationsspatialesesta`l’origined’unautretypedesolutionsimportantes pour le comportement asymptotique en temps : les solutionsautosimilairesde la forme u(x t) =t −α Φ(xt −β u`o,)α,lee´rtseβest positif, et Φ(x)≡u(x1) est leprofil delasolution.Detellesexpressionssontinvariantessouslatransformationd’e´chelle u(x t)7→L α u(L β x Lt), pour toutL > que cette transformation n’est pas une0. Noter sym´etrieexactedessyst`emese´tudie´sdanscem´emoire,desortequ’aucund’entreeux neposs`ededesolutionexactementautosimilaire(nontriviale).Toutefois,lesr´esultats pr´esent´esdansleschapitres1et4montrentquecertainsdecessyste`mespossedentdes ` solutionsasymptotiquementautosimilaires lorsquet→+∞ceirevtnq,iu´dte-lecompor