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Math´ematiquesassist´eesparordinateur Chapitre 7 : Approximation polynomiale
Michael Eisermann
Mat249, DLST L2S4, Anne´ e 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Documentmis`ajourle6juillet2009
Sommaire
1
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Approximation polynomiale
Polynˆomesorthogonauxet
et norme uniforme
norme quadratique
Sommaire
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Approximation polynomiale et norme uniforme Interpolation de Lagrange, diffe´ rences divise´ es Majorationdelerreur,ph´enome`nedeRunge The´ore`medeWeierstrass,polynˆomesdeBernstein
Polynˆomesorthogonauxetnormequadratique
elopylˆnmoietnreOnlappelle(x0,tparssanoupay,,n.,..te0y,.nx..0,rxpa´enndogenargaLedruetalop
The´or`eme(interpolationdeLagrange)
´ Etantdonn´esdespointsdistinctsx0, . . . , xnRet des valeurs arbitrairesy0, . . . , ynRle,istxiemquninueuˆoynolepPR[X] de degre´neriv´antP(xk) =ykpour toutk= 0, . . . , n savoir, a`
Retour sur l’interpolation de Lagrange
P=XnykYXxxj. k=0j6=k kxj
,nx(.)ny,)0y,...
RetoursurlnietroplationedLagrange
Theoreme (interpolation de Lagrange) ´ ` ´ Etant donne´ s des points distinctsx0, . . . , xnRet des valeurs arbitrairesy0, . . . , ynRmeˆoynoluninuqpeelixtsue,iPR[X] de degre´nnaire´vtP(xk) =ykpour toutk= 0, . . . , n savoir, a` P=XnykYXxj . k=0j6=kxkxj
OnlappellelepolynˆomeinterpolateurdeLagrangedonne´par x0, . . . , xnety0, . . . , yn, ou passant par(x0, y0), . . . ,(xn, yn).
is´eespaencesdivdsfi´free´ntielxi.,]:+k[xsf..i,ix(fiup)x[fr=:]ii+k..,xxi,.]f[ixk+..,.+i,1f=x[k=saonavusNome`eroe´hT.ixk+ix]1ocmmnectlaucelern1)an....Maisicfstnea,0a..,1cafmecelentoesc(f0xae=0=1(fe)at?Ono.,anvequbserruce´rradnoecnerx0f()x1.Px01)xx0f[..,.k],xurpotuot,0=k,...
Diffe´ rences divisees : enonce ´ ´ ´ Lepolynˆomeinterpolateurdefenx0, . . . , xnpeut s’ecrire comme ´ P=a0+a1(Xx0) +. . .+an(Xx0)∙ ∙ ∙(Xxn1).
.nxn2)an1+(xx(+x0x)1a.+..x(Holaerrn(x:Pa0)=ereuacfemeca`tnmetdeperevalel´teetCtirue´rc