Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Approximation polynomiale

Michael Eisermann

Description

Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 7 : Approximation polynomiale Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009

• norme uniforme


• polynome interpolateur de lagrange


• mathematiques assistees par ordinateur chapitre


• unique polynome


• theoreme


• interpolation de lagrange

Sujets

• Théorème
• Interpolation lagrangienne
• cours

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• Langue: Français

Extrait

Math ´ ematiquesassist ´ eesparordinateur Chapitre 7 : Approximation polynomiale

Michael Eisermann

Mat249, DLST L2S4, Anne´  e 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Documentmis ` ajourle6juillet2009

Sommaire

1

2

Approximation polynomiale

Polyn ˆ omesorthogonauxet

et norme uniforme

norme quadratique

Sommaire

1

2

Approximation polynomiale et norme uniforme Interpolation de Lagrange, diffe´  rences  divise´  es Majorationdel’erreur,ph ´ enome ` nedeRunge The ´ ore ` medeWeierstrass,polyn ˆ omesdeBernstein

Polyn ˆ omesorthogonauxetnormequadratique

elopylˆnmoietnreOnl’appelle (x 0 ,tparssanoupay,, n .,..te 0 y,. n x.. 0 , r x pa´enndogenargaLedruetalop

The ´ or ` eme(interpolationdeLagrange)

´ Etantdonn ´ esdespointsdistinctsx 0 , . . . , x n ∈Ret des valeurs arbitrairesy 0 , . . . , y n ∈Rle,istxiemquninueu ˆ oynolepP∈R[X] de degre´ ≤nerifiv ´ antP(x k ) =y k pour toutk= 0, . . . , n savoir , a`

Retour sur l’interpolation de Lagrange

P= Xn y k Y X x −x j . k=0j6= k k −x j

, n x(.) n y,) 0 y,...

Retoursur’lnietroplationedLagrange

Theoreme (interpolation de Lagrange) ´ ` ´ Etant donne´  s des points distinctsx 0 , . . . , x n ∈Ret des valeurs arbitrairesy 0 , . . . , y n ∈Rme ˆ oynoluninuqpeelixtsue,iP∈R[X] de degre´ ≤nnafiire ´ vtP(x k ) =y k pour toutk= 0, . . . , n savoir , a` P= Xn y k Y X−x j . k=0j6=k x k −x j

Onl’appellelepolyn ˆ omeinterpolateurdeLagrangedonne ´ par x 0 , . . . , x n ety 0 , . . . , y n , ou passant par(x 0 , y 0 ), . . . ,(x n , y n ).

is´eespaencesdivdsfi´free´nfitiel x i .,]: +k [x s f.. i , i x(fiup)x[fr=:] i i+k− ..,xx i ,.]−f[ i x k+ ..,. +i , 1 f = x[ k =saonavusNo me ` eroe ´ hT . i x− k+i x ] 1 ocmmnectlauceler n−1 )a n  ...  . Maisicfifstnea, 0 a.., 1 caffimecelentoesc (f 0 xae= 0 = 1 (f e)at ? Ono .,a n vequbserruce ´ rra dno ecner x 0 f()−x 1 .P x 01 − ) x x 0 f[..,. k ],xurpotuot,0=k,...

Diffe´ rences  divisees : enonce ´ ´ ´ Lepolyn ˆ omeinterpolateurdefenx 0 , . . . , x n peut s’ecrire comme ´ P=a 0 +a 1 (X−x 0 ) +. . .+a n (X−x 0 )∙ ∙ ∙(X−x n−1 ).

.n −x n−2 )  a n−1 +(x−x(+−x 0 x  ) 1 a.+..x( Holaerrn (x : Pa 0 )= ereuacfifemeca ` tnmetdeperevalel’ ´ teetCtirue ´ rc