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Math´ematiquesassist´eesparordinateur Chapitre9:Calculmatricieletalg`ebrelin´eaire
Michael Eisermann
Mat249, DLST L2S4, Anne´ e 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis a` jour le 6 juillet 2009
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Sommaire
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R´esolutiondesyste`mesd´equationslin´eaires Syste` mes d’e´ quations line´ aires, l’algorithme de Gauss Calcul matriciel : addition, multiplication, inversion, de´ terminant Stabilite´num´erique,conditionnementdunematrice
Re´ duction des endomorphismes Espacesvectorielsetapplicationslin´eaires Vecteurs propres, polynome caracte´ ristique ˆ Polynomeminimal,m´ethodesdecalcul ˆ
Me´thodesapproche´esit´eratives La methode de la puissance ´ Lam´ethodedesite´rationsinverses Matrices hermitiennes et syme´ triques
Comment fonctionne Google ? Comment mesurer l’importance d’une page web ? Le mode` le PageRank : marche ale´ atoire sur le web Existence, unicite´ , et calcul de la solution
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§1.
Syst`emesd´equationslin´eaires Dans la suite nous fixons un corpsK(par exempleQ,R, ouC). Nous souhaitons re´ soudre un line´ airessyste` me quations d’e´: a11x1+a12x2+∙ ∙ ∙+a1nxn=y1 a21x1+a22x2+∙ ∙ ∙+a2nxn=y2
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. am1x1+am2x2+∙ ∙ ∙+amnxn=ym
Ici les coefficientsaijKetyiKnndontsos.´e L’objectif est de trouver toutes les solutionsxiK.
On´ecritcesyste`meplussuccinctementcommeA` x=you aa2111aa2122aa......12nn xx12 yy12 .. .A=am1am2. . . amn, x=x.n, y=y.m.
Cette structuration est bien plus qu’une notation commode : Programmes = structure de don ´ s + algorithmes ! s nee  . .Calcul matriciel : addition, multiplication, inverse, de´ terminant, .
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Matricestriangulaireset´echelonn´ees Oncherche`are´soudreunsyst`emed´equationsline´airesAx=y. SiAesttriangulairefsuertdonemr.teile:atdi´emmtiesnoitulosal, 101 1 0 0 0 1000001voireA=100000010010. A= us ge: Pl´ene´ralementlasolutionestfacilesiAest´cenne´ehol 1001 001010000A 0 0 1= 0∗ ∗ ∗voireA 0 0 1= 0∗ ∗0. 0000000001000000000000100000Danscetexemplel´equationAx=yn’a pas de solution siy56= 0. Siy5= 0, les solutionsxtelles queAx=yforment un sous-espace affine deK7de dimension3: on peut choisirx2, x5, x6arbitrairement, les valeursx7, x4, x3, x1s’en de´ duisent en remontant. «Solution ge´ ne´ rale = solution particulie` re + solutions homoge` nes.» §1.1 4/56
§.1
Ope´ rations elementaires ´ ´ Objectif :formsousheloe´ectteremeen´onenuee´nndecirtam a11. . A=.aa1nnm=LL.1m. am.1. . ..
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Pour ceci on effectue desaintme´eels´ontiserpoe´arsur les lignes : LiLjerlahang´eceilngiet la lignej, LiλLimultiplier la ligneipar un facteur inversibleλ, LiLi+λLjajouter un multiple de la lignejal`neigali.
` Anoterquechacunedecesop´erationsestinversible! Ainsi on les appelle aussitransformations d’e´ quivalence.
Pourr´esoudreAx=ynsiorsup´soatereftceuecnofe(A|y): c’est la matriceAagrandie en accolant le vecteur colonney. Lefaitquenosop´erationstransformant(A|y)en(A0|y0)soient inversiblesgarantitquelessyst`emeslin´eairesAx=yetA0x=y0 ontexactementlesmˆemessolutions.
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