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Quelques rappels d'analyse fonctionnelle

26 pages
Annexe A Quelques rappels d'analyse fonctionnelle Dans cette annexe, nous rappelons (sans donner de demonstrations) les resultats cles d'analyse fonctionnelle utilises dans ce cours. On pourra consulter pour plus de details [11, 12, 2, 1]. A.1 Produit de Cauchy de series Dans cette section, nous allons donner un resultat important sur le produit de deux series. Avant nous rappelons la definition de convergence d'une serie indexee par Z. Definition A.1.1 Soient E un espace vectoriel norme et (un)n?Z une suite (in- dexe par Z) d'elements de E. On dit que la serie ∑ n?Z un de terme general un est : (a) convergente si chacune des deux series usuelles ∑ n?N un et ∑ n?N u?n est conver- gente. On pose alors ∑ n?Z un = ∞∑ n=0 un + ∞∑ n=1 u?n. (b) normalement convergente si ∑ n?Z ?un? est convergente. 113

  • e?

  • espace de banach

  • theoreme de banach-steinhaus

  • image fermee

  • famille d'espaces topologiques

  • principes d'analyse fonc- tionnelle

  • fermee de e?

  • topologie faible?

  • contenue dans le theoreme de banach-alaoglu


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114 RAPPELS D’ANALYSE FONCTIONNELLEANNEXE A. QUELQUES
SiEest complet, alors la convergence normale implique la convergence. Proposition A.1.1SoientXunetXvnemgse´´nreuaxreta`seire´sxuedunet nZnZ vnederanaBhcdansunealg`ebElameonmrnoevnectr-.eliSeusd´exsesrintso gentes,alorslase´riedetermege´ne´ral wn:=XukvnkkZ estbiende´nieetnormalementconvergente.Deplus,ona nXZwn=nXZun! nXZvn!Pourunepreuvedecetteproposition,onpourrasereportera`[1].
A.2 Quelques grands principes d’analyse fonc-tionnelle A.2.1Th´eore`mesdeHahn-Banach Soit (Ek  k) unKrm´eelno(pscae-otirveceK=RouCargnep´es)i.OndEle dual (topologique) deEspe.l.e,i´nilsemrofsedecacontinueeairesetssruE. Rappelons queEest muni de la norme duale :
kϕkE= sup|ϕ(x)|xE kxk≤1 Leth´eor`emedeHahn-BanacharmequesiGest un sous-espace vectoriel deE et sig:G7Kest lineaire et continue de norme ´
kgkG:= sup|g(x)|xG kxk≤1 alors, il existefEqui prolongeget telle que
kfkE=kgkGCeth´eore`meadmetdeuxcorollairesimportants.
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