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Annexe A Quelques rappels d’analyse fonctionnelle Danscetteannexe,nousrappelons(sansdonnerdede´monstrations)lesre´sultats cl´sdanalysefonctionnelleutilis´esdanscecours.Onpourraconsulterpourplus e dede´tails[11,12,2,1]. A.1ProduitdeCauchydese´ries Danscettesection,nousallonsdonnerunre´sultatimportantsurleproduitde deuxse´ries.Avantnousrappelonslade´nitiondeconvergencedunes´erieindexe´e parZ. De´nitionA.1.1SoientEpaesveceunro´meettcroeinl(un)nZune suite (in-dexe´parZdetseneml´e´d)EdiOn.reeial´sqteuXunn´eraelg´etermdeun nZ est : (a)´deessusuieerselleonvecetisgrnenudehccaXunetXunest conver-ux s nNnN gente. On pose alors ∞ ∞ Xun=Xun+XunnZn=0n=1 (b)normalement convergente siXkunkest convergente. nZ 113
114 RAPPELS D’ANALYSE FONCTIONNELLEANNEXE A. QUELQUES
SiEest complet, alors la convergence normale implique la convergence. Proposition A.1.1SoientXunetXvnemgse´´nreuaxreta`seire´sxuedunet nZnZ vnederanaBhcdansunealg`ebElameonmrnoevnectr-.eliSeusd´exsesrintso gentes,alorslase´riedetermege´ne´ral wn:=XukvnkkZ estbiende´nieetnormalementconvergente.Deplus,ona nXZwn=nXZun! nXZvn!Pourunepreuvedecetteproposition,onpourrasereportera`[1].
A.2 Quelques grands principes d’analyse fonc-tionnelle A.2.1Th´eore`mesdeHahn-Banach Soit (Ek  k) unKrm´eelno(pscae-otirveceK=RouCargnep´es)i.OndEle dual (topologique) deEspe.l.e,i´nilsemrofsedecacontinueeairesetssruE. Rappelons queEest muni de la norme duale :
kϕkE= sup|ϕ(x)|xE kxk≤1 Leth´eor`emedeHahn-BanacharmequesiGest un sous-espace vectoriel deE et sig:G7Kest lineaire et continue de norme ´
kgkG:= sup|g(x)|xG kxk≤1 alors, il existefEqui prolongeget telle que
kfkE=kgkGCeth´eore`meadmetdeuxcorollairesimportants.