Quelques rappels d'analyse fonctionnelle

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Annexe A Quelques rappels d'analyse fonctionnelle Dans cette annexe, nous rappelons (sans donner de demonstrations) les resultats cles d'analyse fonctionnelle utilises dans ce cours. On pourra consulter pour plus de details [11, 12, 2, 1]. A.1 Produit de Cauchy de series Dans cette section, nous allons donner un resultat important sur le produit de deux series. Avant nous rappelons la definition de convergence d'une serie indexee par Z. Definition A.1.1 Soient E un espace vectoriel norme et (un)n?Z une suite (in- dexe par Z) d'elements de E. On dit que la serie ∑ n?Z un de terme general un est : (a) convergente si chacune des deux series usuelles ∑ n?N un et ∑ n?N u?n est conver- gente. On pose alors ∑ n?Z un = ∞∑ n=0 un + ∞∑ n=1 u?n. (b) normalement convergente si ∑ n?Z ?un? est convergente. 113

espace de banach

theoreme de banach-steinhaus

image fermee

famille d'espaces topologiques

principes d'analyse fonc- tionnelle

fermee de e?

topologie faible?

contenue dans le theoreme de banach-alaoglu

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Annexe A Quelques rappels d’analyse fonctionnelle Danscetteannexe,nousrappelons(sansdonnerdede´monstrations)lesre´sultats cl´sd’analysefonctionnelleutilis´esdanscecours.Onpourraconsulterpourplus e dede´tails[11,12,2,1]. A.1ProduitdeCauchydese´ries Danscettesection,nousallonsdonnerunre´sultatimportantsurleproduitde deuxse´ries.Avantnousrappelonslade´ﬁnitiondeconvergenced’unes´erieindexe´e parZ. De´ﬁnitionA.1.1SoientEpaesveceunro´meettcroeinl(un)n∈Zune suite (in-dexe´parZdetseneml´e´’d)EdiOn.reeial´sqteuXunn´eraelg´etermdeun n∈Z est : (a)´deessusuieerselleonvecetisgrnenudehccaXunetXu−nest conver-ux s n∈Nn∈N gente. On pose alors ∞ ∞ Xun=Xun+Xu−n n∈Zn=0n=1 (b)normalement convergente siXkunkest convergente. n∈Z 113

114 RAPPELS D’ANALYSE FONCTIONNELLEANNEXE A. QUELQUES

SiEest complet, alors la convergence normale implique la convergence. Proposition A.1.1SoientXunetXvnemgse´´nreuaxreta`seire´sxuedunet n∈Zn∈Z vnederanaBhcdansunealg`ebElameonmrnoevnectr-.eliSeusd´exsesrintso gentes,alorslase´riedetermege´ne´ral wn:=Xukvn−k k∈Z estbiende´ﬁnieetnormalementconvergente.Deplus,ona n∈XZwn=nX∈Zun! n∈XZvn! Pourunepreuvedecetteproposition,onpourrasereportera`[1].

A.2 Quelques grands principes d’analyse fonc-tionnelle A.2.1Th´eore`mesdeHahn-Banach Soit (Ek  k) unKrm´eelno(pscae-otirveceK=RouCargnep´es)i.OndE∗ le dual (topologique) deEsp’e.l.e,i´nilsemrofsedecacontinueeairesetssruE. Rappelons queE∗est muni de la norme duale :