Quelques rappels d'analyse fonctionnelle
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Annexe A Quelques rappels d'analyse fonctionnelle Dans cette annexe, nous rappelons (sans donner de demonstrations) les resultats cles d'analyse fonctionnelle utilises dans ce cours. On pourra consulter pour plus de details [11, 12, 2, 1]. A.1 Produit de Cauchy de series Dans cette section, nous allons donner un resultat important sur le produit de deux series. Avant nous rappelons la definition de convergence d'une serie indexee par Z. Definition A.1.1 Soient E un espace vectoriel norme et (un)n?Z une suite (in- dexe par Z) d'elements de E. On dit que la serie ∑ n?Z un de terme general un est : (a) convergente si chacune des deux series usuelles ∑ n?N un et ∑ n?N u?n est conver- gente. On pose alors ∑ n?Z un = ∞∑ n=0 un + ∞∑ n=1 u?n. (b) normalement convergente si ∑ n?Z ?un? est convergente. 113
Voir
- e?
- espace de banach
- theoreme de banach-steinhaus
- image fermee
- famille d'espaces topologiques
- principes d'analyse fonc- tionnelle
- fermee de e?
- topologie faible?
- contenue dans le theoreme de banach-alaoglu
Annexe A Quelques rappels d’analyse fonctionnelle Danscetteannexe,nousrappelons(sansdonnerdede´monstrations)lesre´sultats cl´sd’analysefonctionnelleutilis´esdanscecours.Onpourraconsulterpourplus e dede´tails[11,12,2,1]. A.1ProduitdeCauchydese´ries Danscettesection,nousallonsdonnerunre´sultatimportantsurleproduitde deuxse´ries.Avantnousrappelonslade´finitiondeconvergenced’unes´erieindexe´e parZ. De´finitionA.1.1SoientEpaesveceunro´meettcroeinl(un)n∈Zune suite (in-dexe´parZdetseneml´e´’d)EdiOn.reeial´sqteuXunn´eraelg´etermdeun n∈Z est : (a)´deessusuieerselleonvecetisgrnenudehccaXunetXu−nest conver-ux s n∈Nn∈N gente. On pose alors ∞ ∞ Xun=Xun+Xu−n n∈Zn=0n=1 (b)normalement convergente siXkunkest convergente. n∈Z 113
114 RAPPELS D’ANALYSE FONCTIONNELLEANNEXE A. QUELQUES
SiEest complet, alors la convergence normale implique la convergence. Proposition A.1.1SoientXunetXvnemgse´´nreuaxreta`seire´sxuedunet n∈Zn∈Z vnederanaBhcdansunealg`ebElameonmrnoevnectr-.eliSeusd´exsesrintso gentes,alorslase´riedetermege´ne´ral wn:=Xukvn−k k∈Z estbiende´finieetnormalementconvergente.Deplus,ona n∈XZwn=nX∈Zun! n∈XZvn! Pourunepreuvedecetteproposition,onpourrasereportera`[1].
A.2 Quelques grands principes d’analyse fonc-tionnelle A.2.1Th´eore`mesdeHahn-Banach Soit (Ek k) unKrm´eelno(pscae-otirveceK=RouCargnep´es)i.OndE∗ le dual (topologique) deEsp’e.l.e,i´nilsemrofsedecacontinueeairesetssruE. Rappelons queE∗est muni de la norme duale :
kϕkE∗= sup|ϕ(x)| x∈E kxk≤1 Leth´eor`emedeHahn-BanachaffirmequesiGest un sous-espace vectoriel deE et sig:G7−→Kest lineaire et continue de norme ´
kgkG′:= sup|g(x)| x∈G kxk≤1 alors, il existef∈E∗qui prolongeget telle que
kfkE∗=kgkG′ Ceth´eore`meadmetdeuxcorollairesimportants.
