Statistique et Informatique (LI323) Cours 2

M. R. Amini

Description

Statistique et Informatique (LI323) Cours 2 M. R. Amini auteurs: M.R. Amini, N. Usunier (UPMC, LIP6) Statistique et Informatique LI-323 1 / 11

• definie par ∀e ∈
• independance mutuelle
• fille en premiere position
• complet d'evenements
• e1 ∩
• evenements
• boules rouges
• boule rouge
• auteur
• auteurs

Sujets

• Complet
• Première
• Auteur
• Indépendance
• PositioN
• cours

Informations

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Extrait

Statistique et Informatique (LI323)

auteurs: M.R. Amini, N. Usunier (UPMC, LIP6)

Cours 2

M. R. Amini

Statistique et Informatique LI-323

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Cours2:inde ´ pendanceetprobabilit ´ es conditionnelles

Quelques rappels du cours 1,

´ ev ´ enementsinde ´ pendants,

probabilite´ s conditionnelles,

loi des probabilite´ s totales.

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Rappels du cours 1

´ Ev ´ enementsetmesuresdeprobabilite ´ surunensemblediscret SoitΩnombrable, appel un ensemble de´ ´e univers. Un sous-ensemble deΩe ´ veemen ´ lep ´ nueestap,nt en notantP(Ω)l'ensemble des sous-ensembles deΩ, une mesure de probabilite´ sur Ωest une fonctionP:P(Ω)→[0,1] ve´ rifiant: 1 P(Ω) =1, 2 pourtout ´ ev ´ enementE,P(E)≥0, S P 3 Pour toute suite(E i ) i∈N env ´´ ed'stmeneincompatibles:P(E i ) =P(E i ). i i

De´ nombrements SoitE `a un ensemble n e´ le´ ments distincts, etkun entier tel quek≤n. k Nombre de n-uplets dansE:n, k Nombre de n-uplets distincts:A, n n Sin=k,A=n!nombre de permutations denntme ´ eel ´ ,s n k Nombre de sous-ensembles distincts de cardinalkcontenus dansE:C n

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Inde´ pendance

D ´ efinition Deux ´ ev ´ enementsEetFsont inde´ pendants si:

P(E∩F) =P(E)×P(F)

Exemples:lancerdedeuxd ´ es lesdeuxchiffresobtenusapr ` esunlancersontind ´ ependantsl'unde l'autre, les ´ ev ´ enements“lepremierde ´ affiche6”et“lasommedesdeuxde ´ svaut 4” ne sont pas inde´ pendants.

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Ind ´ ependancemutuelle

De´ finition Lese ´ v ´ enementsE 1 , ...,E n sont ditslde ´ meepnttueilnntsmuendasi, pour toute partieIde l'ensemble{1, ..,n}: \ Y P(E) =P(E i ) i∈Ii∈I

´ Ev ´ enementsnonmutuellementind ´ ependants:lancerd'unde ´ 1 E 1 ={1,2,3},P(E 1 ) =, 2 1 E 2 ={3,4,5},P(E 2 ) =, 2 4 E 3 ={1,2,3,4},P(E 3 ) =, 6 1 1 1 4 P(E 1 ∩E 2 ∩E 3 ) =P({3}) = =× ×, 6 2 2 6 maisP(E 1 ∩E 3 ) =P(E 1 )6=P(E 1 )×P(E 3 ).

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Probabilit ´ esConditionnelles

Conside´ rons deux e´ ve´ nements EetFla ` aert ´ seesnoen'snisonoqs'u,Supp re´ alisation deE,ate ´ ondesatinne ´ tnodaeilal ´ rF . Cela revient a` estimer la re´ alisation deE∩Fpar rapport `a F

De´ finition SoitΩ un ensemble de´ nombrable etPsur une mesure de probabilise´ Ω. Soit F de probabilite´ non nulle. On appelle un e´ ve´ nement ilab ´ eitobpr conditionnelle sachantFl'application:

P(.|F) :P(Ω)→[0,1]

de´ finie par P(E∩F) ∀E∈ P(Ω),P(E|F) = P(F) Cetteapplicationestunemesuredeprobabilit ´ esurΩ.

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Probabilit ´ esConditionnelles(2) Applicationenchaıˆnedelaformuledesprobabilite ´ sconditionnelles Pard ´ efinition,siP(F)6=0, on aP(E∩F) =P(E|F)P(F) Plus ge´ ne´ ralement, siE 1 , ...,E n sontne ´´ venements,ona: n Y P(E 1 ∩E 2 ∩...∩E n ) =P(E 1 )P(E i |E 1 ∩...∩E i−1 ) i=2

Exemple Quelleestlaprobabilit ´ edetirertroisboulesdelame ˆ mecouleurdansune urne contenant7boules rouges et5boules bleues, en tirant les trois boules l'uneapr ` esl'autreetsansremise? Posons eme R i =i,i∈ {1,2,3} Labouletire ´ eestrouge eme B i =i,i∈ {1,2,3} Labouletir ´ eeestbleue 7 6 5 On a alorsP(R 1 ∩R 2 ∩R 3 ) =P(R 1 )P(R 2 |R 1 )P(R 3 |R 2 ∩R 1 ) =× ×. 12 11 10 5 4 3 De meˆ me,P(B 1 ∩B 2 ∩B 3 ) =× × 12 11 10

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Formule de Bayes, th ´ eor ` emedesprobabilit ´ estotales Formule de Bayes SoientEetF ve´ nementsdeux e´ deprobabilit ´ enonnulle.Alors: P(E∩F) =P(F|E)×P(E) =P(E|F)×P(F), soit

P(F|E)P(E) P(E|F) =. P(F)

Th ´ eor ` emedesprobabilite ´ stotales Soit(F i ) i une partition deΩ:s)ntmedtelpmocene ´ ve ´ 'el ´ eiappmbleenseuass( sii6=jalorsF i ∩F j =∅(F i etF j sont incompatibles), S F i = Ω. i X X Alors∀E⊂Ω,P(E) =P(E∩F i ) =P(E|F i )P(F i ). i i P(E|F i )×P(F i ) De plus, pour tout , . i P(F i |E) = P N P(E|F j )×P(F j ) j=1

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Formule de incomplet

Bayes : Tirer une carte dans un jeu

Exemple Onenl ` eveal ´ eatoirementunecarted'unjeude52cartes, et on ignore laquelle.

On tire ensuite au hasard une carte dans ce jeu incomplet et c'est un coeur.

Quelleestlaprobabilit ´ epourquelacartemanquantesoituncoeur?

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Formule de Bayes : Paradoxe des deux enfants

Exemple Dansunefamille ` adeuxenfants,sil'ain ´ eestunefille,alors... 1 ◮Lptasoersaeblilbnafnossttneifisedt ´ liueeqsdlexeeu 2

Dansunefamillea ` deuxenfants,siaumoinsl'undesdeuxestungar¸con, alors ... 1 ◮Lstt ´ liueeqroapbibafnnastoseldsueexarc¸onseientdesg 3

Autrement dit: parmi toutes les familles de deux enfants avec une fille en premi ` ereposition,lamoitie ´ d'entreellesaenr ´ ealite ´ deuxfilles,tandisque parmitouteslesfamillesdedeuxenfantsavecaumoinsungar¸con,untiers d'entre elles a en fait deux garc¸ons

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Formule de Bayes : exemple Monty Hall http://www.apprendre-en-ligne.net/random/monty/

Derri ` ereunedesportes,ilyaunvoyagea ` gagner Derri ` erelesautresportes,ilya...uneche ` vre L'animateur demande de choisir une des trois portes pour gagner le voyage ... Le joueur une des trois portes, et l'animateur ouvre une des deux autres portesderri ` erelaquelleilyaunech ` evre Question: Le joueur doit-il conserver son premier choix, ou doit-il changer ? auteurs: M.R. Amini, N. Usunier (UPMC, LIP6) Statistique et Informatique LI-32311 / 11