Statistique et Informatique (LI323) Cours 2
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Statistique et Informatique (LI323) Cours 2 M. R. Amini auteurs: M.R. Amini, N. Usunier (UPMC, LIP6) Statistique et Informatique LI-323 1 / 11
  • definie par ∀e ∈
  • independance mutuelle
  • fille en premiere position
  • complet d'evenements
  • e1 ∩
  • evenements
  • boules rouges
  • boule rouge
  • auteur
  • auteurs

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Statistique et Informatique (LI323)
auteurs: M.R. Amini, N. Usunier (UPMC, LIP6)
Cours 2
M. R. Amini
Statistique et Informatique LI-323
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Cours2:inde´pendanceetprobabilit´es conditionnelles
Quelques rappels du cours 1,
´ev´enementsinde´pendants,
probabilite´ s conditionnelles,
loi des probabilite´ s totales.
auteurs: M.R. Amini, N. Usunier (UPMC, LIP6)
Statistique et Informatique LI-323
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Rappels du cours 1
´ Ev´enementsetmesuresdeprobabilite´surunensemblediscret SoitΩnombrable, appel un ensemble de´ ´eunivers. Un sous-ensemble deΩe´veemen´lep´nueestap,nt en notantP(Ω)l'ensemble des sous-ensembles deΩ, une mesure de probabilite´ surΩest une fonctionP:P(Ω)[0,1]ve´ rifiant: 1 P(Ω) =1, 2 pourtout´ev´enementE,P(E)0, S P 3 Pour toute suite(Ei)iNenv´´ed'stmeneincompatibles:P(Ei) =P(Ei). i i
De´ nombrements SoitE`aun ensemble ne´ le´ ments distincts, etkun entier tel quekn. k Nombre de n-uplets dansE:n, k Nombre de n-uplets distincts:A, n n Sin=k,A=n!nombre de permutations denntme´eel´,s n k Nombre de sous-ensembles distincts de cardinalkcontenus dansE:C n
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Inde´ pendance
D´enition Deux´ev´enementsEetFsontinde´ pendantssi:
P(EF) =P(E)×P(F)
Exemples:lancerdedeuxd´es lesdeuxchiffresobtenusapr`esunlancersontind´ependantsl'unde l'autre, les´ev´enementslepremierde´afche6etlasommedesdeuxde´svaut 4” ne sont pas inde´ pendants.
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Ind´ependancemutuelle
De´ finition Lese´v´enementsE1, ...,Ensont ditslde´meepnttueilnntsmuendasi, pour toute partieIde l'ensemble{1, ..,n}: \ Y P(E) =P(Ei) iIiI
´ Ev´enementsnonmutuellementind´ependants:lancerd'unde´ 1 E1={1,2,3},P(E1) =, 2 1 E2={3,4,5},P(E2) =, 2 4 E3={1,2,3,4},P(E3) =, 6 1 1 1 4 P(E1E2E3) =P({3}) = =× ×, 6 2 2 6 maisP(E1E3) =P(E1)6=P(E1)×P(E3).
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Probabilit´esConditionnelles
Conside´ rons deux e´ ve´ nementsEetFla`aert´seesnoen'snisonoqs'u,Supp re´ alisation deE,ate´ondesatinne´tnodaeilal´rF. Cela revient a` estimer la re´ alisation deEFpar rapport `aF
De´ finition SoitΩun ensemble de´ nombrable etPsurune mesure de probabilise´ Ω. Soit Fde probabilite´ non nulle. On appelleun e´ ve´ nement ilab´eitobpr conditionnelle sachantFl'application:
P(.|F) :P(Ω)[0,1]
de´ finie par P(EF) E∈ P(Ω),P(E|F) = P(F) Cetteapplicationestunemesuredeprobabilit´esurΩ.
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Probabilit´esConditionnelles(2) Applicationenchaıˆnedelaformuledesprobabilite´sconditionnelles Pard´enition,siP(F)6=0, on aP(EF) =P(E|F)P(F) Plus ge´ ne´ ralement, siE1, ...,Ensontne´´venements,ona: n Y P(E1E2...En) =P(E1)P(Ei|E1...Ei1) i=2
Exemple Quelleestlaprobabilit´edetirertroisboulesdelameˆmecouleurdansune urne contenant7boules rouges et5boules bleues, en tirant les trois boules l'uneapr`esl'autreetsansremise? Posons eme Ri=i,i∈ {1,2,3} Labouletire´eestrouge eme Bi=i,i∈ {1,2,3} Labouletir´eeestbleue 7 6 5 On a alorsP(R1R2R3) =P(R1)P(R2|R1)P(R3|R2R1) =× ×. 12 11 10 5 4 3 De meˆ me,P(B1B2B3) =× × 12 11 10
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Formule de Bayes, th´eor`emedesprobabilit´estotales Formule de Bayes SoientEetFve´ nementsdeux e´ deprobabilit´enonnulle.Alors: P(EF) =P(F|E)×P(E) =P(E|F)×P(F), soit
P(F|E)P(E) P(E|F) =. P(F)
Th´eor`emedesprobabilite´stotales Soit(Fi)iune partition deΩ:s)ntmedtelpmocene´ve´'el´eiappmbleenseuass( sii6=jalorsFiFj=(FietFjsont incompatibles), S Fi= Ω. i X X AlorsEΩ,P(E) =P(EFi) =P(E|Fi)P(Fi). i i P(E|Fi)×P(Fi) De plus, pour tout , . i P(Fi|E) =P N P(E|Fj)×P(Fj) j=1
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Formule de incomplet
Bayes : Tirer une carte dans un jeu
Exemple Onenl`eveal´eatoirementunecarted'unjeude52cartes, et on ignore laquelle.
On tire ensuite au hasard une carte dans ce jeu incomplet et c'est un coeur.
Quelleestlaprobabilit´epourquelacartemanquantesoituncoeur?
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Formule de Bayes : Paradoxe des deux enfants
Exemple Dansunefamille`adeuxenfants,sil'ain´eestunelle,alors... 1 Lptasoersaeblilbnafnossttneisedt´liueeqsdlexeeu 2
Dansunefamillea`deuxenfants,siaumoinsl'undesdeuxestungar¸con, alors ... 1 Lstt´liueeqroapbibafnnastoseldsueexarc¸onseientdesg 3
Autrement dit: parmi toutes les familles de deux enfants avec une fille en premi`ereposition,lamoitie´d'entreellesaenr´ealite´deuxlles,tandisque parmitouteslesfamillesdedeuxenfantsavecaumoinsungar¸con,untiers d'entre elles a en fait deux garc¸ons
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Formule de Bayes : exemple Monty Hall http://www.apprendre-en-ligne.net/random/monty/
Derri`ereunedesportes,ilyaunvoyagea`gagner Derri`erelesautresportes,ilya...uneche`vre L'animateur demande de choisir une des trois portes pour gagner le voyage ... Le joueur une des trois portes, et l'animateur ouvre une des deux autres portesderri`erelaquelleilyaunech`evre Question: Le joueur doit-il conserver son premier choix, ou doit-il changer ? auteurs: M.R. Amini, N. Usunier (UPMC, LIP6) Statistique et Informatique LI-32311 / 11