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Suites a valeurs complexes

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Suites a valeurs complexes 23 janvier 2011 L'objectif de cette note est d'indiquer les notions concernant les suites a valeurs reelles qui s'etendent aux suites a valeurs complexes. On verra qu'il n'y a pas de differences notables. I Anneau CN des suites a valeurs complexes 1. Generalites Definition Definition 1 Une suite (zn)n?N a valeurs complexes est une famille de nombres com- plexes indexes par l'ensemble N. On peut donc la considerer comme une application de N vers C. L'ensemble des suites a valeurs complexes est note CN ou F(N,C). Par exemple, la suite ( ei n ? ) n ou ? ? R est un exemple de suite a valeurs complexes. Parties reelle et imaginaire ; module Etant donne (zn)n ? CN, on definit les suites a valeurs reelles suivantes : • la suite des parties reelles (Re(zn))n ; • la suite des parties imaginaires (Im(zn))n ; • la suite des modules (|zn|)n . Reprenons l'exemple de la suite ( ei n ? ) n . On a • la suite des parties reelles est la suite (cos(n ?))n ; • la suite des parties imaginaires est la suite (sin(n ?))n ; • la suite des modules est la suite constante egale a 1.

  • relation d'ordre naturelle

  • inverse etant

  • c?espace vectoriel

  • etant donne

  • restrictions d'usage sur ÷


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Suites`avaleurscomplexes
23 janvier 2011
Lobjectifdecettenoteestdindiquerlesnotionsconcernantlessuitesa`valeursr´eellesquise´tendentaux suites`avaleurscomplexes. Onverraquilnyapasdedi´erencesnotables.
1.G´ene´ralit´es D´enition
N I AnneauCsexelpmocsrueavaltes`ssuide
D´enition1Une suite(zn)nNrembnode-omscexestsnufemaliel`avaleurscomple plexesindexe´sparlensembleN.ontippaeacilmocrnuemalocodcne´ersndipeutOn deNversC.
N Lensembledessuites`avaleurscomplexesestnote´CouF(N,C).   i n θ Par exemple, la suiteeou`θRmiptlee`ndeexseueeusrtsuavalelexocpm.s n
´ N Partiesr´eelleetimaginaire;moduletdonn´e(natEzn)nC,`aeslevasrurel´eselno´deinltseusti suivantes : eirsaptrdeseustiRe(les(´aelelzn)) ; n la suite des parties imaginaires (Im(zn)) ; n la suite des modules (|zn|). n   i n θ Reprenons l’exemple de la suitee .On a n (tlaseses(cosuiteitrapsedllee´rseteuiasln θ)) ; n la suite des parties imaginaires est la suite (sin(n θ)) ; n deseomudelestsallasuit1`alegae´etnatsnocetius.
Suiteborn´ee
N D´enition2On dit qu’une suite(zn)Cestiesxileobtse´nreC >0tel que n |zn| ≤Cpour toutnN.
N Propri´et´e1Une suite(zn)C´neeistesebtroiltssuesulseenemsellsetiee´r n (Re(zn))et(Im(zn))e´seobnrostn n n
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