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A 2010MATH. I MP
COLE DES PONTS PARISTECH, SUPARO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TLCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-TIENNE, MINES DE NANCY, TLCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIREMP), COLE POLYTECHNIQUE (FILIRETSI).
CONCOURS 2010
PREMIRE PREUVE DE MATHMATIQUES
Filire MP
(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis á la disposition des concours : CYCLEINTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES I - MP.
L’nonc de cette preuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen á prendre.
ProblÈme de Dirichlet
SiAest une partie d’un espace vectoriel de dimension finie surRou surC, on noteC(A) leC-espace vectoriel des applications continues deAdansC. Les notationsD,DetTdsignent respectivement – ledisque ouvertD={zC;|z| <1} – ledisque fermD={zC;|z| É1} – lecercleT={zC;|z| =1}. â une fonctionfC(T) quelconque on associe – lescoefficients de Fourier Z π 1 i ti n t cn=f(e)edt(nZ) 2ππ la fonctiongf:DCdfinie par la formule suivante, dont l’existence sera traite dans la question 1) : ∞ ∞ X X n n gf(z)=c0+cnz+cnz n=1n=1 zdsigne le complexe conjugu dez; – lafonctionGf:DCdfinie par ( f(z) sizT Gf(z)= gf(z) sizD. PournN, on notepnetqnles fonctions deC(T) dfinis par n pn(z)=z (zT). n qn(z)=z Le but du problÈme est de caractÉriser de diffÉrentes maniÈres le prolongementGf de fÀ D.
A. Prolongementharmonique 2 e SiUest un ouvert deCon noteU={(x,y)R;x+i yU}. Pour toute e fonctionu:UC, on noteue:UCla fonction dfinie par la formuleu(x,y)= 2 2 u(x+i y). La fonctionuest dite declasseCsiueest de classeCau sens des fonctions de deux variables relles. On note alorsΔula fonction dfinie surU par 2 2 ueue Δu(x+i y)=(x,y)+(x,y). 2 2 xy 2
Dans cette partie, on fixe une fonctionfC(T) et on se propose de montrer queGfest l’unique fonctionG:DCqui vrifie les proprits suivantes : (a1) larestriction deGáTconcide avecf; (a2)Gest continue surD; 2 (a3) larestrictionGáDest de classeCetΔG(z)=0 pour toutzD. On va d’abord montrer queGfvrifie ces conditions. La condition (a1) est videmment vrifie.
1)Montrer que les deux sries qui entrent dans la dfinition degf(z) sont convergentes pour toutzD. X n SoitS(z)=anzla somme d’une srie entire de rayon de convergenceÊ1. n=0 2)Au moyen d’une drivation terme á terme d’une srie de fonctions de e e variable relle, justifier que l’applicationS:DCadmet une drive e S e partielle par rapport áxqui est continue surD, et exprimer(x,y)sous x la forme de la somme d’une srie. 2 3)Montrer queSest de classeCsurDet dterminerΔS(z) pour toutzD. 2 4)En dduire quegfest de classeCsurDet queΔgf(z)=0 pour toutzD. µ ¶ i t e+z On fixezD, et on notePz(t)=Re pourtouttR. i t ez 5)En tenant compte de la dfinition descndans l’expression degf(z), mon-trer que Z π 1 i t gf(z)=f(e)Pz(t) dt. 2ππ 6)Dterminergfpourf=pnetf=qn, oÙnN. Donner la valeur de Z π 1 l’intgralePz(t) dtet tudier le signe dePz(t) pour touttR. 2ππ 7)Montrer que si (fn)nNest une suite d’lments deC(T) qui converge uniformment verGfn sfsurT, alorsconverge uniformment versGf surD. 8)SoitP(T) le sous espace vectoriel deC(T) engendr par{pn;nN}{qn;nN}. Justifier que tout lment deC(T) est limite uniforme d’une suite d’lments deP(T), et en dduire queGfest continue surD.
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On se donne maintenant une fonctionGvrifiant les conditions (a1), (a2) et (a3) et on se propose de dmontrer queG=Gf. 9)On suppose dans cette question quefest la fonction nulle et queGest á 2 valeurs relles. Soitε>0 etu:DRdfinie paru(z)=G(z)+ε|z|. Montrer queΔu(z)>0 pour toutzD. En dduire queu(z)Éεpour tout zD(on pourra considrer, aprs en avoir justifi l’existence, un point z0Duatteint son maximum.) 10)Conclure dans le cas particulier de la question prcdente, puis dans le cas gnral. (On pourra d’abord tendre la conclusion au cas oÙfest nulle maisGest á valeurs complexes.)
B. Deuxapplications PremiÈre application.On considre la fonctionGdfinie surDparG(x+i y)= x ecosy. 11)Montrer queGvrifie la condition (a3) et en dduire, pour toutnZ, la valeur de l’intgrale Z π 1 cost ecos(sint) cos(nt) dt. 2ππ
DeuxiÈme application.Soitu:UCune application continue dfinie sur un ouvertUdeC. SiaCetR>0, on noteD(a,R)={zC;|za| <R}et D(a,R)={zC;|za| ÉR}. 2 12)Montrer queuest de classeCet telle queΔu=0 surUsi et seulement si, pour tout disque fermD(a,R) contenu dansUet pour toutzD(a,R), on a Z π 1¡ ¢ i t u(z)=u a+Re Pza(t) dt. 2ππR 2 PournN, on noteun:UCune fonction de classeCtelle queΔun=0 surU. 13)Dduire de la question prcdente que si la suite (un)nNconverge uni-2 formment vers une fonctionu, alorsuest galement de classeCet telle queΔu=0 surU.
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C. Propritsduales Dans cette partie, on fixezDet on considre l’application ϕz:C(T)−→C f7g(z) f C(T) est muni de la normeNdfinie par N(f)=sup|f(z)| zT pour toutfC(T). Pour toute applicationϕ:C(T)C, on considre les quatre proprits suivantes : (c1)ϕest une formeC-linaire et continue ; n (c2)nN,ϕ(pn)=z; n (c3)nN,ϕ(qn)=z; (c4)fC(T),|ϕ(f)| ÉN(f). 14)Montrer queϕzvrifie ces quatre proprits. 15)Montrer que siϕvrifie les conditions (c1), (c2) et (c3), alorsϕ=ϕz. Dans la suite de cette partie, on se donneϕ:C(T)Cvrifiant les conditions (c1), (c2) et (c4), et on se propose de dmontrer queϕ=ϕz. Dans les deux questions suivantes, on se donneλRet on considre une fonctionfC(T) á valeurs rellesÊ0. SoithC(T) dfinie par la formule h(z)=2f(z)N(f)+iλpour toutzT. 2 16)CalculerN(h) enfonction deN(f) et deλ. 2 17)En tudiant|ϕ(h)|, montrer queϕ(f)Rpuis queϕ(f)Ê0. ¡ ¢ 18)En dduire queϕf=ϕ(f) pour toutfC(T), et conclure.
FIN DU PROBLME
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