A MATH I MP

Description

Niveau: Supérieur
A 2010 MATH. I MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURS 2010 PREMIÈRE ÉPREUVEDEMATHÉMATIQUES FilièreMP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

• complexe conjugué de z


• première application


• ensta paristech


• filière mp


• série entière de rayon de convergence ê

Sujets

• Télécom ParisTech
• École polytechnique
• Télécom Bretagne
• École nationale supérieure de techniques avancées

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 13
• Langue: Français

Extrait

A 2010MATH. I MP

COLE DES PONTS PARISTECH, SUPARO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TLCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-TIENNE, MINES DE NANCY, TLCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (F ILIRE MP), COLE POLYTECHNIQUE (F ILIRE TSI).

CONCOURS 2010

PREMIRE PREUVE DE MATHMATIQUES

Filire MP

(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis á la disposition des concours : C YCLE I NTERNATIONAL , ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :

MATHÈMATIQUES I - MP.

L’nonc de cette preuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen á prendre.

ProblÈme de Dirichlet

Si A est une partie d’un espace vectoriel de dimension finie sur R ou sur C , on note C ( A ) le C -espace vectoriel des applications continues de A dans C . Les notationsD,DetTdsignent respectivement – ledisque ouvertD={z∈C;|z| <1} – ledisque fermD={z∈C;|z| É1} – lecercleT={z∈C;|z| =1}. â une fonctionf∈C(T) quelconque on associe – lescoefficients de Fourier Z π 1 i t−i n t c n =f(e)edt(∀n∈Z) 2π −π – la fonction g f : D→C dfinie par la formule suivante, dont l’existence sera traite dans la question 1) : ∞ ∞ X X n n g f (z)=c 0 +c n z+c −n z n=1n=1 oÙzdsigne le complexe conjugu dez; – lafonctionG f :D→Cdfinie par ( f(z) siz∈T G f (z)= g f (z) siz∈D. Pourn∈N, on notep n etq n les fonctions deC(T) dfinis par n p n (z)=z (∀z∈T). n q n (z)=z Le but du problÈme est de caractÉriser de diffÉrentes maniÈres le prolongement G f de fÀ D.

A. Prolongementharmonique 2 e Si U est un ouvert de C on note U={ ( x,y ) ∈R ; x+i y∈U} . Pour toute e fonction u : U→C , on note u e : U→C la fonction dfinie par la formule u ( x,y ) = 2 2 u ( x+i y ). La fonction u est dite declasse C si u e est de classe C au sens des fonctions de deux variables relles. On note alors Δu la fonction dfinie sur U par 2 2 ∂u e ∂u e Δu(x+i y)=(x,y)+(x,y). 2 2 ∂x∂y 2

Dans cette partie, on fixe une fonction f∈C ( T ) et on se propose de montrer queG f est l’unique fonctionG:D→Cqui vrifie les proprits suivantes : (a1) larestriction deGáTconcide avecf; (a2)Gest continue surD; 2 (a3) larestrictionGáDest de classeCetΔG(z)=0 pour toutz∈D. On va d’abord montrer que G f vrifie ces conditions. La condition (a1) est videmment vrifie.

1) Montrer que les deux sries qui entrent dans la dfinition de g f ( z ) sont convergentes pour toutz∈D. ∞ X n SoitS(z)=a n zla somme d’une srie entire de rayon de convergenceÊ1. n=0 2) Au moyen d’une drivation terme á terme d’une srie de fonctions de e e variable relle, justifier que l’application S : D→C admet une drive e ∂S e partielle par rapport á x qui est continue sur D , et exprimer (x,y) sous ∂x la forme de la somme d’une srie. 2 3) Montrer que S est de classe C sur D et dterminer ΔS ( z ) pour tout z∈D . 2 4) En dduire que g f est de classe C sur D et que Δg f ( z ) = 0 pour tout z∈D . µ ¶ i t e+z On fixez∈D, et on noteP z (t)=Re pourtoutt∈R. i t e−z 5) En tenant compte de la dfinition des c n dans l’expression de g f ( z ), mon- trer que Z π 1 i t g f (z)=f(e)P z (t) dt. 2π −π 6) Dterminer g f pour f=p n et f=q n , oÙ n∈N . Donner la valeur de Z π 1 l’intgraleP z (t) dtet tudier le signe deP z (t) pour toutt∈R. 2π −π 7) Montrer que si ( f n ) n∈N est une suite d’lments de C ( T ) qui converge uniformment ver G f n s f sur T , alorsconverge uniformment vers G f surD. 8) Soit P ( T ) le sous espace vectoriel de C ( T ) engendr par {p n ; n∈N}∪ {q n ; n∈N} . Justifier que tout lment de C ( T ) est limite uniforme d’une suite d’lments deP(T), et en dduire queG f est continue surD.

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On se donne maintenant une fonction G vrifiant les conditions (a1), (a2) et (a3) et on se propose de dmontrer queG=G f . 9)On suppose dans cette question quefest la fonction nulle et queGest á 2 valeurs relles. Soitε>0 etu:D→Rdfinie paru(z)=G(z)+ε|z|. Montrer que Δu ( z ) > 0 pour tout z∈D . En dduire que u ( z ) Éε pour tout z∈D (on pourra considrer, aprs en avoir justifi l’existence, un point z 0 ∈DoÙuatteint son maximum.) 10) Conclure dans le cas particulier de la question prcdente, puis dans le cas gnral. (On pourra d’abord tendre la conclusion au cas oÙ f est nulle maisGest á valeurs complexes.)

B. Deuxapplications PremiÈre application.On considre la fonction G dfinie sur D par G ( x+i y ) = x ecosy. 11) Montrer que G vrifie la condition (a3) et en dduire, pour tout n∈Z , la valeur de l’intgrale Z π 1 cost ecos(sint) cos(nt) dt. 2π −π

DeuxiÈme application.Soit u : U→C une application continue dfinie sur un ouvert U de C . Si a∈C et R> 0, on note D ( a,R ) ={z∈C ; |z−a| <R} et D(a,R)={z∈C;|z−a| ÉR}. 2 12) Montrer que u est de classe C et telle que Δu= 0 sur U si et seulement si, pour tout disque ferm D ( a,R ) contenu dans U et pour tout z∈D ( a,R ), on a Z π 1 ¡ ¢ i t u(z)=u a+Re P z−a (t) dt. 2π −π R 2 Pour n∈N , on note u n : U→C une fonction de classe C telle que Δu n = 0 surU. 13) Dduire de la question prcdente que si la suite ( u n ) n∈N converge uni- 2 formment vers une fonction u , alors u est galement de classe C et telle queΔu=0 surU.

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C. Propritsduales Dans cette partie, on fixez∈Det on considre l’application ϕ z :C(T)−→C f7−→g(z) f oÙC(T) est muni de la normeNdfinie par N(f)=sup|f(z)| z∈T pour tout f∈C ( T ). Pour toute application ϕ : C ( T ) →C , on considre les quatre proprits suivantes : (c1)ϕest une formeC-linaire et continue ; n (c2)∀n∈N,ϕ(p n )=z; n (c3)∀n∈N,ϕ(q n )=z; (c4)∀f∈C(T),|ϕ(f)| ÉN(f). 14)Montrer queϕ z vrifie ces quatre proprits. 15)Montrer que siϕvrifie les conditions (c1), (c2) et (c3), alorsϕ=ϕ z . Dans la suite de cette partie, on se donne ϕ : C ( T ) →C vrifiant les conditions (c1), (c2) et (c4), et on se propose de dmontrer queϕ=ϕ z . Dans les deux questions suivantes, on se donne λ∈R et on considre une fonction f∈C ( T ) á valeurs relles Ê 0. Soit h∈C ( T ) dfinie par la formule h(z)=2f(z)−N(f)+iλpour toutz∈T. 2 16)CalculerN(h) enfonction deN(f) et deλ. 2 17)En tudiant|ϕ(h)|, montrer queϕ(f)∈Rpuis queϕ(f)Ê0. ¡ ¢ 18)En dduire queϕf=ϕ(f) pour toutf∈C(T), et conclure.

F IN DU PROBLME

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