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A 2009MATH. I MP
COLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSES. COLES NATIONALES SUPRIEURES DE L’ARONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCES, DES TLCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-TIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TLCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. COLE POLYTECHNIQUE (Filire TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2009
PREMIRE PREUVE DE MATHMATIQUES
Filire MP
(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis À la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES I - MP.
L’nonc de cette preuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les rai-sons des initiatives qu’il est amen À prendre.
ProblÈme des moments
On noteEl’ensemble des fonctionsfcontinues, dfinies surR, À valeurs positives ou nulles, et vrifiant l’quation Z f(x)d x=1. R Lorsqu’elle existe, lafonction caractÉristiquedefEest la fonctionφf:RC dfinie par la formule Z i t x φf(t)=e f(x)d x. R k Lorsque pour un entierkÊ0, la fonctionx7→ |x|f(x) est intgrable surR, on appelle moment d’ordrekdefla quantit Z k ak(f)=x f(x)d x. R k Si, pour tout entierkÊ0, la fonctionx7→ |x|f(x) est intgrable surR, on dit quefadmet des moments de tous ordres. On admettra que pour toutλC, Z 2 2 ¡x¢p¡λ¢ expλxd x=2πexp . R2 2
A. Questionsprliminaires. Les rÉsultats de ces questions, indÉpendantes les unes des autres, pourront tre utilisÉs dans la suite du problÈme. 1)SoitfE. On suppose, dans cette question, quefadmet des moments de tous ordres. Montrer l’existence deφfet de ses drives successives que l’on expri-mera À l’aide def. 2)Montrer que pour tout relxet tout entiernÊ1, n1m n X (i x)|x| i x e− ɯm!¯n! m=0 3)Soita,bRtels quea<b. Montrer que la fonctionhdfinie surRpar a,b ( i t ai t b ee si t6=0 ha,b(t)=i t bta si=0 est continue surR.
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4)Montrer que pour tout relt,|ha,b(t)| Éba. k k k 5)Montrer que pour tout entierkÊ0,eÊ ∙ k!
B. Lafonctionφfcaractrisef + On considre la fonctionRdfinie pour tout (θ,T)R×Rpar la formule Z T sin(θt) R(θ,T)=d t Tt et la fonctionSdfinie pour toutTRpar la formule Z T sinx S(T)=d x. 0x π On admet que limT→+∞S(T)=. 2 6)ExprimerR(θ,T) À l’aide deS. 7)Soitx,yR. Calculer la limite deR(x,T)R(y,T) quandT→ +∞(on discutera de cette limite en fonction des signes dexety). 8)Soita,bRtels quea<b. Montrer que Z Z T b 1 limha,b(t)φf(t)d t=f(t)d t. T→+∞ 2πT a 9)En dduire qu’tant donn deux fonctionsfetgdeE, siφf=φg, alors f=g.
C. Lasuiteak(f)ne caractrise pas toujoursf On dfinit la fonctionf0par 2  ¡(lnx)¢ exp1 2 ppourx>0, x 2π f0(x)= 0 pourxÉ0. 10)Montrer quef0E. 11)Montrer quef0admet des moments de tous ordres et calculerak(f0) pour toutkN. On introduit, poura[1, 1],la fonctionfadfinie surRpar la formule fa(x)=f0(x)(1+asin(2πlnx)). 12)Montrer quefaE, et queak(f0)=ak(fa) pour toutkN.
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D. Unecondition sur la suiteak(f) Dans cette partie,fest une fonction deEqui admet des moments de tous ordres, et vrifie en outre la condition (U) suivante : 1 a2k(f) 2k (Uexiste) IlM>0 tel que pour tout entierk>0, 0É ÉM. 2k Z k On posebk(f)= |x|f(x)d xpour tout entierk>0. R 13)Montrer que, pour tout entierkÊ0, on a l’ingalit ¡ ¢ 2 b2k+1(f)Éa2k(f)a2k+2(f). 1 bk(f) k 14)est majore par 2En dduire que la suite de terme gnralM. k 15)Montrer que pour tousxethrels, et pour tout entiernÊ1, n1m n X h|h| (m) φf(x+h)φ(x)Ébn(f). f ¯m!¯n! m=0 16)Montrer que, pour un certainA>0 que l’on exprimera en fonction deM, on a l’galit m X h (m) φf(x+h)=φ(x) f m! m=0 pour tout relxet pour touthtel que|h| <A. 17)En dduire que si`est un entier>0 etgune fonction deEadmettant des moments de tous ordres tels queak(f)=ak(g) pour toutkN, alors φf(x)=φg(x) `A`A pour toutx[(on pourra procder par rcurrence)., ] 2 2 18)Conclure.
E. Application 19)Rsoudre enfEle systme d’quations suivant : ( a2k(f)=(2k1)a2k2(f) a2k1(f)=0 pour tout entierkÊ1. (On pourra utiliser la fonction caractristique def.) FIN DU PROBLME
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