A MATH I MP

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

A 2009 MATH. I MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2009 PREMIÈRE ÉPREUVEDEMATHÉMATIQUES FilièreMP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les rai- sons des initiatives qu'il est amené à prendre.

• mines de nancy


• problème des moments


• concours d'admission


• disposition des concours


• telecom int


• supérieure de l'aéronautique et de l'espace

Sujets

• École polytechnique
• École nationale supérieure des mines de Nancy
• Telecom SudParis

Informations

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Extrait

A 2009MATH. I MP

COLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSES. COLES NATIONALES SUPRIEURES DE L’ARONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCES, DES TLCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-TIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TLCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. COLE POLYTECHNIQUE (Filire TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2009

PREMIRE PREUVE DE MATHMATIQUES

Filire MP

(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis À la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :

MATHÈMATIQUES I - MP.

L’nonc de cette preuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les rai- sons des initiatives qu’il est amen À prendre.

ProblÈme des moments

On noteEl’ensemble des fonctionsfcontinues, dfinies surR, À valeurs positives ou nulles, et vrifiant l’quation Z f(x)d x=1. R Lorsqu’elle existe, lafonction caractÉristiquedef∈Eest la fonctionφ f :R→C dfinie par la formule Z i t x φ f (t)=e f(x)d x. R k Lorsque pour un entierkÊ0, la fonctionx7→ |x|f(x) est intgrable surR, on appelle moment d’ordrekdefla quantit Z k a k (f)=x f(x)d x. R k Si, pour tout entierkÊ0, la fonctionx7→ |x|f(x) est intgrable surR, on dit quefadmet des moments de tous ordres. On admettra que pour toutλ∈C, Z 2 2 ¡ x ¢ p ¡ λ ¢ expλx−d x=2πexp . R 2 2

A. Questionsprliminaires. Les rÉsultats de ces questions, indÉpendantes les unes des autres, pourront tre utilisÉs dans la suite du problÈme. 1)Soitf∈E. On suppose, dans cette question, quefadmet des moments de tous ordres. Montrer l’existence deφ f et de ses drives successives que l’on expri- mera À l’aide def. 2)Montrer que pour tout relxet tout entiernÊ1, n−1 m n X (i x)|x| i x e− É∙ ¯ m! ¯ n! m=0 3)Soita,b∈Rtels quea<b. Montrer que la fonctionhdfinie surRpar a,b ( −i t a−i t b e−e si t6=0 h a,b (t)= i t b−ta si=0 est continue surR.

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4)Montrer que pour tout relt,|h a,b (t)| Éb−a. k k k 5)Montrer que pour tout entierkÊ0,eÊ ∙ k!

B. Lafonctionφ f caractrisef + On considre la fonctionRdfinie pour tout (θ,T)∈R×Rpar la formule Z T sin(θt) R(θ,T)=d t −T t et la fonctionSdfinie pour toutT∈Rpar la formule Z T sinx S(T)=d x. 0 x π On admet que lim T→+∞ S(T)=. 2 6)ExprimerR(θ,T) À l’aide deS. 7)Soitx,y∈R. Calculer la limite deR(x,T)−R(y,T) quandT→ +∞(on discutera de cette limite en fonction des signes dexety). 8)Soita,b∈Rtels quea<b. Montrer que Z Z T b 1 limh a,b (t)φ f (t)d t=f(t)d t. T→+∞ 2π −T a 9)En dduire qu’tant donn deux fonctionsfetgdeE, siφ f =φ g , alors f=g.

C. Lasuitea k (f)ne caractrise pas toujoursf On dfinit la fonctionf 0 par 2  ¡ (lnx) ¢ exp− 1  2  p pourx>0, x 2π f 0 (x)=   0 pourxÉ0. 10)Montrer quef 0 ∈E. 11)Montrer quef 0 admet des moments de tous ordres et calculera k (f 0 ) pour toutk∈N. On introduit, poura∈[−1, 1],la fonctionf a dfinie surRpar la formule f a (x)=f 0 (x)∙(1+asin(2πlnx)). 12)Montrer quef a ∈E, et quea k (f 0 )=a k (f a ) pour toutk∈N.

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D. Unecondition sur la suitea k (f) Dans cette partie,fest une fonction deEqui admet des moments de tous ordres, et vrifie en outre la condition (U) suivante : 1 a 2k (f) 2k (Uexiste) IlM>0 tel que pour tout entierk>0, 0É ÉM. 2k Z k On poseb k (f)= |x|f(x)d xpour tout entierk>0. R 13)Montrer que, pour tout entierkÊ0, on a l’ingalit ¡ ¢ 2 b 2k+1 (f)Éa 2k (f)∙a 2k+2 (f). 1 b k (f) k 14)est majore par 2En dduire que la suite de terme gnralM. k 15)Montrer que pour tousxethrels, et pour tout entiernÊ1, n−1 m n X h|h| (m) φ f (x+h)−φ(x)Éb n (f). f ¯ m! ¯ n! m=0 16)Montrer que, pour un certainA>0 que l’on exprimera en fonction deM, on a l’galit ∞ m X h (m) φ f (x+h)=φ(x) f m! m=0 pour tout relxet pour touthtel que|h| <A. 17)En dduire que si`est un entier>0 etgune fonction deEadmettant des moments de tous ordres tels quea k (f)=a k (g) pour toutk∈N, alors φ f (x)=φ g (x) `A`A pour toutx∈[−(on pourra procder par rcurrence)., ] 2 2 18)Conclure.

E. Application 19)Rsoudre enf∈Ele systme d’quations suivant : ( a 2k (f)=(2k−1)a 2k−2 (f) a 2k−1 (f)=0 pour tout entierkÊ1. (On pourra utiliser la fonction caractristique def.) F IN DU PROBLME

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