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A 2010MATH. II MP
COLE DES PONTS PARISTECH, SUPARO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TLCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-TIENNE, MINES DE NANCY, TLCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIREMP), COLE POLYTECHNIQUE (FILIRETSI).
CONCOURS 2010
SECONDE ÈPREUVE DE MATHÈMATIQUES
Filire MP
(Dure de l’preuve : 4 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis À la disposition des concours : CYCLEINTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES II - MP.
L’nonc de cette preuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.
DÉnombrements de certaines matrices binaires
Soitnun entierÊ2. On noteMn(R) l’espace vectoriel des matrices relles Ànlignes etncolonnes. On appellematrice binairede taillenune matrice AMn(R) dont tous les coefficients sont gaux À 0 ou À 1. L’lment d’une telle matrice situ sur lai-ime ligne et laj-ime colonne est dit en position (i,j), oÙ 1ÉiÉnet 1ÉjÉn. On dsigne parUnl’ensemble des matrices binaires de taillencomportant exactement deux 1 dans chaque ligne et exactement deux 1 dans chaque colonne. L’exemple suivant :   1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 11 0 1 0
est une matrice deU4. On noteunle cardinal deUn, et on pose par conventionu0=1 etu1=0.
La partie D est indÉpendante des parties B et C.
A. Questionsprliminaires 1)Exhiber toutes les matrices deUnpourn=2 et 3, et dterminer les valeurs correspondantes deun. (Dans le casn=3, on pourra raisonner sur la position des lments nuls dans chacune de ces matrices.) n SoitX0le vecteur deRdont tous les coefficients sont gaux À 1 etJla matrice deMn(R) dont tous les coefficients sont gaux À 1. 2)SiAUn, montrer queX0est un vecteur propre deA. Quelle est la valeur propre associe ? SoitHnl’ensemble des lments deUncomportant un 1 en position (1,1). On notehnle cardinal deHn. 3)Calculer la somme de toutes les matrices deUnen fonction dehnet deJ.
B. Ètudedu cardinal deUn n 4)tablir la relationun=hnpour toutnÊ2. (On pourra s’aider des deux 2 questions prcdentes.) SoitKnl’ensemble des lments deHncomportant un 1 en position (1,2) et un 1 en position (2,1). On noteknle cardinal deKn.
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5)Pour toutnÊ2, tablir une relation donnanthnen fonction deknet de 2 (n1) . 6)En examinant les possibilits pour le coefficient situ en position (2,2), dmontrer la relationkn=un2+hn1pour toutnÊ4. un On posewn=pour toutnN. 2 (n!) 7)Dduire de ce qui prcde une relation de rcurrence pour la suite (un)nN, puis pour la suite (wn)nN. 8)Prouver quewn[0,1] pour toutnN, et que la srie de terme gnral wndiverge. Que peut-on en dduire pour le rayon de convergence de la X n srie entirewnx? X n On poseW(x)=wnxpour toutx]1, 1[. n=0 9)Donner une quation diffrentielle vrifie parWet en dduire une ex-pression deW(x) en fonction dex.
C. Èquivalentd’une suite de coefficients d’un dveloppement en srie entire Cette partie permet d’obtenir un quivalent deunpourn→ +∞. Soitαun rel etβun rel>0. On considre la fonctionφdfinie pourx]1,1[ par la formule : αx e φ(x)= ∙ β (1x) R t1x On noteΓ(t)=x edxla fonction Gamma dfinie pour tout relt>0 ; 0 p 1 on rappelle queΓ( )=πet queΓ(t+1)=tΓ(t) pour toutt>0. 2 X n 10)Montrer queφ(x) est la somme d’une srie entireφnxpour tout x]1, 1[. 11)Montrer que six]1, 1[,on peut crire : X 1 n =anx β (1x) n=0 oÙ l’on exprimera les coefficientsanen fonction den!,Γ(β) etΓ(n+β). ψn 12)En dduire queφn=pour toutnN, oÙ l’on a pos : n!Γ(β) Z β1u n ψn=u e(α+u) du. 0
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13)On fixeaRtel quea> |α|. A l’aide des variations de la fonction u n u7→e(α+u) R a β1u n ¯ ¯ dfinie pour toutuÊ −α, montrer queu e(α+u) duest ngli-0 R β1u n geable devantu e(α+u) duquandn→ +∞. a 14)En dduire qu’il existea> |α|tel queψnsoit quivalent À l’intgrale R u n+β1 e(α+u) duquandn→ +∞. a α 15)En conclure que les suitesψneteΓ(n+β) sont quivalentes. On revient sur la suite (un)nNdfinie au dbut du problme. 16)tablir un quivalent deφn, puis deunquandn→ +∞. On prendra soin de simplifier l’quivalent trouv deunen utilisant la formule de Stirling.
D. Ètudede rang Dans cette partie, on cherche À dterminer le rangrndu systme constitu desunmatrices deUn, considres comme des lments deMn(R). On rappelle n queX0est le vecteur deRdont tous les coefficients sont gaux À 1, et queJest la matrice deMn(R) dont tous les coefficients sont gaux À 1. 17)Calculerrnpourn=2 et 3. (Dans le casn=3, on pourra considrer les matricesJA, oÙAU3.) On considre l’espace vectorielVndes matricesAMn(R) telles queX0soit À la t fois un vecteur propre pourAet pour sa transposeA. t 18)Montrer queUnVnet comparer les valeurs propres deAet deAasso-cies ÀX0lorsqueAVn. 19)Dterminer la dimension deVn. (On pourra considrer une base ortho-n norme deRdont un des vecteurs est colinaire ÀX0.) En dduire une majoration surrn. PournÊ3, soitAune matrice deUncomportant des 1 en positions (1,1) et (2,2) et des 0 en positions (1,2) et (2,1). 20)Montrer qu’il existe une matriceBdeUntelle queABne comporte que des lments nuls,saufen positions (i,j) pouriÉ2 etjÉ2. En dduire 0 que sirdsigne le rang du systme constitu de toutes les matricesUV n 02 U,VUn, on arÊ(n1) . n 21)Conclure.
FIN DU PROBLME
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