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A 2006MATH. IIPSI
ÈCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÈES. ÈCOLES NATIONALES SUPÈRIEURES DE L’AÈRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÈES, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÈTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÈCOLE POLYTECHNIQUE (Filire TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2006
SECONDE ÈPREUVE DE MATHÈMATIQUES
Filire PSI
(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis À la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES II - PSI.
L’nonc de cette preuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.
On dsignera dans tout le problme par: Mn, pl’espace des matrices relles Ànlignes etpcolonnes. On note 0n, p, la matrice nulle. Mn, l’ensemble des matrices relles carres d’ordren. On note0n, la matrice nulle. t Mla transpose d’une matriceM. Sn, le sous-ensemble deMn, constitu des matrices symtriques d’ordre t n, c’est-À-dire les matricesAqui satisfontA=A. Inla matrice identit d’ordren. (X|Y)le produit scalaire de deux matrices colonnes. On rappelle que pour toute matriceAdeMn, pet tout couple de matrices colonnes(X,Y)X∈ Mn,1etY∈ Mp,1, l’identit suivante est satisfaite:
t (AX|Y) = (X|AY).
DÉfinition 1.Une matriceA∈ Snest dite positive lorsque pour toutXde Mn,1,(AX|X)0. Une matriceA∈ Snest dite dÉfinie positive lorsque pour toutXde Mn,1\{0n,1},(AX|X)>0. DÉfinition 2.SiAetBsont deux matrices deSn, on dit queAest plus petite queBpour l’ordre de Lwner, et on noteAB, si la matriceBA est positive. On noteraABsiBAest dÉfinie positive.
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On suppose dorÉnavant queAest une matrice symÉtrique rÉelle d’ordren.
I. Matricespositives 1) Montrerque siAest positive, alors pour toute matrice relleM∈ Mn, p, t la matriceM A Mest symtrique positive.
2) Montrerque toutes les puissances entires d’une matrice symtrique po-sitiveAsont positives.
3) MontrerqueA∈ Snest positive, respectivement dfinie positive, si et seulement si les valeurs propres deAsont toutes positives, respectivement strictement positives.
4) SiAest dfinie positive, montrer qu’il existe une matriceC, symtrique 2 dfinie positive telle queC=A.
2 5) SiAetCsont symtriques dfinies positives etC=A, montrer que, pour toute valeur propreλdeA, on a: Ker(AλIn) =Ker(CλIn).
6) Endduire que siAest dfinie positive, il existe une unique matrice 2 symtrique dfinie positiveCtelle queC=Aet que dans toute base orthonormale de vecteurs propres deA, la matriceCest diagonale.
1/2 On notera dsormaisC=A.
7) OnsupposeAdfinie positive. Montrer queAest inversible et qu’il existe 1/2 une unique matrice, noteA, symtrique dfinie positive telle que 1/21/21 A A=A.
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1/211/2 8) Prouverque(A) =A.
II. Ordrede Lwner 9) Montrerque l’ordre de Lwner est une relation d’ordre surSn.
10) SoitB∈ SnavecAB. Montrer que pour toute matrice relleCt t Mn, p, la relationCA CCB Cest vrifie.
1 11) Montrerque siInAalorsAest inversible etAIn.
11 12) Endduire que si0nABalorsBest inversible etBA.
13) Donnerun systme de conditions ncessaires et suffisantes portant sur  ! a b les relsa, betcpour que la matriceD=soit positive. b c
14) Onconsidre les deux matrices suivantes:  ! ! a b2a0 D=etB=. b1 02 Montrer qu’il existe des relsaetbde sorte que0nDBmais que 2 2 D6B.
III. Fonctionsmatriciellement croissantes Soitnun entier non nul etMune matrice diagonalisable À valeurs propres positives. Il existe donc une matrice diagonaleΔet une matrice inversibleP 1 telles queM=PΔP. Notons(λi, i= 1,∙ ∙ ∙, n)les valeurs propres deM, rptes suivant leur multiplicit, qui sont donc les coefficients diagonaux de Δ. DÉfinition 3.Sifest une fonction deR+dansRetΔune matrice diagonale positive, on notef(Δ)la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux 4
sont donnÉs parf(Δ)ii=f(λi)pouri= 1,∙ ∙ ∙, n.
1 15) Onconsidrefune fonction deR+dansRet l’on noteR=P f(Δ)P. SoitX∈ Mn,1etλun rel positif tels queM X=λX. CalculerR X.
16) Montrerque, pour toutes matricesPetQinversibles et toutes matrices 11 diagonalesΔPetΔQdeMntelles queM=PΔPP=QΔQQ, on a:
11 P fP)P=QfQ)Q .
Dsormais, siMest une matrice diagonalisable À valeurs propres positives 1 etM=PΔPest une diagonalisation deM, on dfinitf(M)par
1 f(M) =P f(Δ)P .
DÉfinition 4.Une fonctionfest dite matriciellement croissante surR+si pour toutn1et tout couple(A, B), de matrices symÉtriques, l’implication suivante est satisfaite:
0AB=f(A)f(B).
SoitEl’ensemble des fonctionsϕcontinues sur]0,+[, À valeurs dans + R, telles que (s7→(s))soit intgrable sur[0,1]etϕsoit intgrable sur + + [1,+[. On dfinit une fonctionLϕ:RRpar : Z +st Lϕ(t) =ϕ(s)ds. 1 +st 0 r1 17) PourrR, on poseϕr(s) =s. Pour quelles valeurs dera-t-on ϕrE? Exprimer alors, pour toutt >0,Lϕr(t)en fonction deLϕr(1).
1 18) Soits0. On pose pour toutt0,fs(t) = 1. Exprimerfs(A) 1 +st lorsqueAest une matrice symtrique positive.
19) Montrerquefsest matriciellement croissante surR+. 5
20) Pourtoute matriceA∈ Snpositive et toute matrice colonneX∈ Mn,1, tablir l’identit: Z +(Lϕ(A)X|X) =ϕ(s)(fs(A)X|X)ds. 0
21) Montrerque, pour touteϕE, l’applicationLϕest matriciellement croissante surR+.
22) SoientAetBdeux matrices symtriques telles que0AB. Compte-tenu des questions prcdentes, pour quelles valeurs du rel positifr, r r pouvez-vous montrer queAB?
FIN DU PROBLÉME
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