A MATH II PSI

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

A 2006 MATH. II PSI ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2006 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI. L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

• ordre de löwner


• disposition des concours


• unique matrice


• matrices symétriques


• relation tcac tcb


• espace des matrices réelles


• supérieure de l'aéronautique et de l'espace

Sujets

• École polytechnique

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 27
• Langue: Français

Extrait

A 2006MATH. IIPSI

ÈCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÈES. ÈCOLES NATIONALES SUPÈRIEURES DE L’AÈRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÈES, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÈTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÈCOLE POLYTECHNIQUE (Filire TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2006

SECONDE ÈPREUVE DE MATHÈMATIQUES

Filire PSI

(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis À la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP

Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :

MATHÈMATIQUES II - PSI.

L’nonc de cette preuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.

On dsignera dans tout le problme par: –M n, p l’espace des matrices relles Ànlignes etpcolonnes. On note 0 n, p , la matrice nulle. –M n , l’ensemble des matrices relles carres d’ordren. On note0 n , la matrice nulle. t –Mla transpose d’une matriceM. –S n , le sous-ensemble deM n , constitu des matrices symtriques d’ordre t n, c’est-À-dire les matricesAqui satisfontA=A. –I n la matrice identit d’ordren. –(X|Y)le produit scalaire de deux matrices colonnes. On rappelle que pour toute matriceAdeM n, p et tout couple de matrices colonnes(X,Y)oÙX∈ M n,1 etY∈ M p,1 , l’identit suivante est satisfaite:

t (AX|Y) = (X|AY).

DÉfinition 1.Une matriceA∈ S n est dite positive lorsque pour toutXde M n,1 ,(AX|X)≥0. Une matriceA∈ S n est dite dÉfinie positive lorsque pour toutXde M n,1 \{0 n,1 },(AX|X)>0. DÉfinition 2.SiAetBsont deux matrices deS n , on dit queAest plus petite queBpour l’ordre de Lwner, et on noteAB, si la matriceB−A est positive. On noteraABsiB−Aest dÉfinie positive.

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On suppose dorÉnavant queAest une matrice symÉtrique rÉelle d’ordren.

I. Matricespositives 1) Montrerque siAest positive, alors pour toute matrice relleM∈ M n, p , t la matriceM A Mest symtrique positive.

2) Montrerque toutes les puissances entires d’une matrice symtrique po- sitiveAsont positives.

3) MontrerqueA∈ S n est positive, respectivement dfinie positive, si et seulement si les valeurs propres deAsont toutes positives, respectivement strictement positives.

4) SiAest dfinie positive, montrer qu’il existe une matriceC, symtrique 2 dfinie positive telle queC=A.

2 5) SiAetCsont symtriques dfinies positives etC=A, montrer que, pour toute valeur propreλdeA, on a: √ Ker(A−λI n ) =Ker(C−λI n ).

6) Endduire que siAest dfinie positive, il existe une unique matrice 2 symtrique dfinie positiveCtelle queC=Aet que dans toute base orthonormale de vecteurs propres deA, la matriceCest diagonale.

1/2 On notera dsormaisC=A.

7) OnsupposeAdfinie positive. Montrer queAest inversible et qu’il existe −1/2 une unique matrice, noteA, symtrique dfinie positive telle que −1/2−1/2−1 A A=A.

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1/2−1−1/2 8) Prouverque(A) =A.

II. Ordrede Lwner 9) Montrerque l’ordre de Lwner est une relation d’ordre surS n .

10) SoitB∈ S n avecAB. Montrer que pour toute matrice relleC∈ t t M n, p , la relationCA CCB Cest vrifie.

−1 11) Montrerque siI n AalorsAest inversible etAI n .

−1−1 12) Endduire que si0 n ABalorsBest inversible etBA.

13) Donnerun systme de conditions ncessaires et suffisantes portant sur  ! a b les relsa, betcpour que la matriceD=soit positive. b c

14) Onconsidre les deux matrices suivantes:  ! ! a b2a0 D=etB=. b1 02 Montrer qu’il existe des relsaetbde sorte que0 n DBmais que 2 2 D6B.

III. Fonctionsmatriciellement croissantes Soitnun entier non nul etMune matrice diagonalisable À valeurs propres positives. Il existe donc une matrice diagonaleΔet une matrice inversibleP −1 telles queM=PΔP. Notons(λ i , i= 1,∙ ∙ ∙, n)les valeurs propres deM, rptes suivant leur multiplicit, qui sont donc les coefficients diagonaux de Δ. DÉfinition 3.Sifest une fonction deR + dansRetΔune matrice diagonale positive, on notef(Δ)la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux 4

sont donnÉs parf(Δ) ii =f(λ i )pouri= 1,∙ ∙ ∙, n.

−1 15) Onconsidrefune fonction deR + dansRet l’on noteR=P f(Δ)P. SoitX∈ M n,1 etλun rel positif tels queM X=λX. CalculerR X.

16) Montrerque, pour toutes matricesPetQinversibles et toutes matrices −1−1 diagonalesΔ P etΔ Q deM n telles queM=PΔ P P=QΔ Q Q, on a:

−1−1 P f(Δ P )P=Qf(Δ Q )Q .

Dsormais, siMest une matrice diagonalisable À valeurs propres positives −1 etM=PΔPest une diagonalisation deM, on dfinitf(M)par

−1 f(M) =P f(Δ)P .

DÉfinition 4.Une fonctionfest dite matriciellement croissante surR + si pour toutn≥1et tout couple(A, B), de matrices symÉtriques, l’implication suivante est satisfaite:

0AB=⇒f(A)f(B).

SoitEl’ensemble des fonctionsϕcontinues sur]0,+∞[, À valeurs dans + R, telles que (s7→sϕ(s))soit intgrable sur[0,1]etϕsoit intgrable sur + + [1,+∞[. On dfinit une fonctionL ϕ :R→Rpar : Z +∞ st L ϕ (t) =ϕ(s)ds. 1 +st 0 −r−1 17) Pourr∈R, on poseϕ r (s) =s. Pour quelles valeurs dera-t-on ϕ r ∈E? Exprimer alors, pour toutt >0,L ϕ r (t)en fonction deL ϕ r (1).

1 18) Soits≥0. On pose pour toutt≥0,f s (t) = 1−. Exprimerf s (A) 1 +st lorsqueAest une matrice symtrique positive.

19) Montrerquef s est matriciellement croissante surR + . 5

20) Pourtoute matriceA∈ S n positive et toute matrice colonneX∈ M n,1 , tablir l’identit: Z +∞ (L ϕ (A)X|X) =ϕ(s)(f s (A)X|X)ds. 0

21) Montrerque, pour touteϕ∈E, l’applicationL ϕ est matriciellement croissante surR + .

22) SoientAetBdeux matrices symtriques telles que0AB. Compte- tenu des questions prcdentes, pour quelles valeurs du rel positifr, r r pouvez-vous montrer queAB?

FIN DU PROBLÉME

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