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A 2004 Math PSI 2
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Fili`ereTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2004
´ ´ SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`rePSI (Dure´edele´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT,TPE-EIVP.
Lescandidatssontpri´esdementionnerdefac¸onapparentesurlapremi`erepagedelacopie: ´ MATHEMATIQUES2-Filie`rePSI.
Cet´enonce´comporte4pagesdetexte.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleˆetreuneerreurd´enonc´e,illesignale sursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilestamen´e`aprendre.
Lebutdeceproble`meestl´etudededeuxsuitesre´ellesF= (fn) etG= (gn)edtse´sreeis nNnN n n entie`resdetermesge´n´eraux(fnx) et(gnx) . nNnN
SoientF= (fn) etG= (gneuxpremiearrsleursdhccanupe´deinseeer´esllsuuxesitledse) nNnN ´el´ementsetlameˆmerelationdere´currenceci-dessous:
F:f0= 0, f1= 1,pour tout entier natureln, fn+2=fn+1+fn; G:g0= 2, g1= 1,pour tout entier natureln, gn+2=gn+1+gn. SoitM2llse´reerd2edroent;soilesecaptceveirosedltrmaesicrrcaes´eIee´tinuettriclamaJla matricecarr´eede´niesparlesrelationssuivantes:    1 00 5/2 50 1 I= ;J= =. 0 15/02 02 1 Pour tout entier natureln,soitUnrtamaltn:eiuavoisnletarlariepa´eniced 1 Un=fnJ+gnI. 2   1 SoientUla matriceU1U=U1=J+IetEle sous-espace vectoriel deM2sdlearepxeu´rdnegne 2 matricesIetJ.
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Premi`erepartie
Lebutdecettepartieestl´etudealterne´edesdeuxsuitesdere´elsetdelasuitedesmatrices;elle permetdobtenirdesr´esultatspre´liminaires. Quelquesproprie´te´s: n n 1.D´emontrerquelasuitedesmatrices(U) ,ou`Uest la matriceUecnass´eevel´uiapale`n, nN 0 (avec la convention habituelleU=Iirotlet`enealacspecev)a,ppraitE. ´ 2. Etablirla relation qui, pour tout entier natureln,lie les matricesUn+2, Un+1etUn. Caract´erisationdelasuitedematrices(Un)´enssencqeuquelcoesuq;: nN p 3. Comparer,pour tout entierpcompris entre 0 et 2 (0p2) les matricesUpetUr.Dmo´erent n qu’il existe, pour tout entier natureln, une relation simple entre les matricesUnetU . 4.De´duiredesdeuxre´sultatspr´ec´edentslesrelationssuivantes: n2 2n pour tout entier natureln,detUn= (1),(gn)5 (fn) =4 (1).
´ 5.Etantdonne´sdeuxentiersnaturelspetq,exprimer les termesfp+qetgp+qdes suitesFetGen fonction des termesfp, gp, fqetgqeecdmseˆemssiuet.s Inverse des matricesUn: 6.De´terminerlinversedelamatriceUnen fonction des matricesIetJ. Exprimerles coefficients des matricesIetJaildede`ae´rsslefnetgn. Despolynˆomesannule´sparlamatriceU Soit, pour tout entiern,l`a2´egauorueire´pusPn(Xalraalernoitviustean:)lenpidee´ˆnmoopyl n Pn(X) =XfnXfn1. 2 7.De´montrerquelepolynˆomePn(Xse)bisividteprlpalemeˆoynolXX1. 8.Quelestlepolynˆomecaract´eristiquedelamatriceU? n 9. Calculerla valeur de la matriceCn=UfnUfn1I.
n 2n n2 Divisibilite´dupolynˆomeXgnX+ (1)parXX1: Soit toujoursnou´eieura2.gal`neitnu´prereus 10.De´terminerlepolynˆomecaract´eristiquedelamatriceUn:te.End´eduireeralitalusnonavi
2nn n UgnU+ (1)I= 0.
2n 11. SoientQetRlypoomnˆendiduneetuaneecusenbtencuiloienvisiltdaosemoˆnylopselXn n2 gnX+ (nˆomearlepolyp)1XX1 :   2n nn2 XgnX+ (1) =Q(X)XX1 +R(X). Pr´eciserlesdegr´esdespolynˆomesQetR. 2n De´montrer,enutilisantparexemplelesr´esultatsdelaquestionpr´ec´edente,quelepolynoˆmeXn n2 gnX+ (1) estdivisible parXX1.
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Deuxi`emepartie
Lebutdecettepartieestle´tudedepropri´et´esdesuitesconstruites`apartirdesdeuxsuitesFetG.
Un calcul de sommes : 12. Lebut de cette question est de calculer, pour tout entiern(2a`lage´uorueriesup´n2), des expressions plus simples des deux expressions suivantes :
n X αn=f0+f2+. . .+f2n=f2k. k=0 n X βn=g0+g2+. . .+g2n=g2k. k=0 De´terminerlesexpressionsdeαnet deβnen fonction respectivement def2n+1et deg2n+1en con-sid´erantparexemplelamatriceSnsuontilarelaarepine´det:vina n X Sn=U0+U2+. . .+U2n=U2k. k=0
SoitTla suite (tnepnilear)ed´tes:snusvinarsletaoi nN
t0= 1, t1= 4,pour tout entier natureln, tn+2= 4tn+1+tn. D´eterminationdese´l´ementstnde la suiteTedede´rssle`aailfnetgn. 6 32 13.D´emontrerquelepolynˆomeX4Xeparlepolynˆomee1tsidivislbXX1.
14.Ende´duirequelamatriceUernaentilturei,e´vreottuoprup,la relation suivante :
6+p3+p p U= 4U+U .
15.D´eduiredelarelationpr´ece´dentequelestermesdessuitesFetGre´vitreutenurtot,poien naturelp,les relations suivantes :
f6+p= 4f3+p+fp,
g6+p= 4g3+p+gp.
16.D´eduiredesr´esultatspr´ece´dentslexpressiondutermeg´ene´raltnde la suiteT ,raelinpeed´s relations suivantes :
t0= 1, t1= 4,pour tout entier natureln, tn+2= 4tn+1+tn, en fonction de termes des suitesFetG.
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