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Calcul differentiel licence de mathematiques

De
60 pages
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Calcul differentiel (licence de mathematiques) Sylvie Benzoni 30 avril 2008

  • ?hj?ej ≤

  • espace de banach

  • applications partielles

  • ver- sions deguisees de rn

  • application ?

  • quelconque norme


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Calcul
diff´erentiel
(licencedemath´ematiques)
Sylvie Benzoni
30
avril
2008
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Chapitre I
Diffe´rentielledunefonction
1 Introduction On considere deuxR´msensroirlesvcetoec-paesEetF, que l’on supposecomplets: on dit aussi que ce sont des espaces deBanach. On notera en ge´ne´ralk ∙ kEetk ∙ kFleurs normes respectives (et simplementk ∙ klorsqueE=F possible.) ¨e´tet qu’il n’y a pas d’ambigu Bien souvent, ces espaces seront en fait de dimension nie. Ce seront meˆme simplement des espacesRn, munis d’une quelconque normek ∙ kkpourk[1, . . .], de´nie par n kxkk=X|xj|k1/ksik <etkxk= sup|xj|, j=1 1jn oux1, . . . , xnd´esignentlseocpmsonaetdsexRn.spIlrrout´onneveleutemeleˆtn-rseevrtde sionsd´eguis´eesdeRn, comme l’espace des matricesMp,q(R)aplignes etqcolonnes, que l’on peutmunirdediversesnormes.Parexemple,onpeutprendrelanormesubordonne´ealanorme k ∙ kkdansRqetRp, de´nie par
kM xkk 9M9k=xRsqu,xp6= 0kxkk. Exercice.Exprimer cette norme al’aide des coefcients deMlorsquep=qetk= 1,2,. Onrappellequedetoutesfa¸cons,touteslesnormessont´equivalentesendimensionnie. On noteraL(E;F)l’espace des applicationssntcouein´naeriseildeEdansF, muni de la norme `9= supk`(x)kF. 9xE\{0}kxkE C’est un espace de Banach (exercice). On suppose queUest un ouvert (non vide !) deE, et on considere une fonction f:UF . De´nition I.1On dit que la fonctionfestdiffe´rentiableen un pointxUsi elle estcontinue au pointxet s’il existe`∈ L(E;F)tel que kf(x+h)f(x)`(h)kF= 0. (1.1)hl6=i0mEkhkE
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´ CHAPITRE I. DIFFERENTIELLE D’UNE FONCTION
Cette de´nition est (volontairement) redondante : en fait, l’existence d’une application lin e´aire continue`lletuqeianot(1.1)imposeaf continue end’ eˆtrex. Car, en notant ε(h) =kf(x+h)f(x)`(h)kF/khkEsih6= 0Eetε(0) = 0, on a par l’in e´galite´ triangulaire kf(x+h)f(x)kFε(h)khkE+k`(h)kF, oule membre de droite tend vers0lorsquehtend vers0Eecargaˆ´oendteianuliatc)et(1.1` en0E. Inversement, si on supposefcontinue enxet s’il existe`ilanti1(1.,)n´eairetellequo alorsparlin´egalite´triangulaire k`(h)kFε(h)khkE+kf(x+h)f(x)k tend vers0lorsquehtend vers0EelppraonEt.(nopplicati´eduneanoituntieluqlecaline´aire ´equivautasacontinuite´en0.) Notation.Bien suˆr, l’application`lad´dansitnoeine´ep.Id1dundinpotx. On la notera de´sormais`= dfx,desorteque(.1)1es´r´eceirt limkf(x+h)khf(kx)dfx(h)kF= 0 . h6=0EE L’applicationdfx´eeppelestaleitel´ffinereddefau pointx. D´enitionI.2On dit que la fonctionfestablediff´erentisurUdtfi´freisleelsetoenuttienleab pointxU. Dans ce cas, on appelleeeillertnff´edidefla fonction df:U→ L(E;F). x7→dfx Si de plusdfest continue, on dit quefestcontinuˆment diffe´rentiable, ou de fac¸on e´quivalente quefest declasseC1.
2 Premiers exemples Toute applicationconstanteest continuˆment diffe´rentiable, dediff´eneluelertneill. Toute applicationline´aire continue`ste,aumentinˆtconesbaelneit´fredtfidiffe´rentielle estconstante´,gelaea`en tout point : d`x(h) =`(h)quels que soientxethE . Pn´´esglumenerelatuae,totcatipplionmulti-line´aire continuee.bliantre´effdiemtnniuˆoctnets Ce dernier point demande quelques explications. SiE1 . . ,, .Ensont des espaces de Banach, le produitcart´esienE=E1× ∙ ∙ ∙ ×En, muni de k(x1, . . . , xn)kE=kx1kE1+∙ ∙ ∙+kxnkEn, est aussi un espace de Banach. On dit qu’une applicationφ:EFestn-lr´eeaiin(et lorsqu’on ne veut pas pr e´cisernon diti-limultrie´nae) si pour toutj∈ {1, . . . , n}et pour tout
2. PREMIERS EXEMPLES
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(x1, . . . , xj1, xj+1, . . . , xn)E1× ∙ ∙ ∙Ej1×Ej+1∙ ∙ ∙ ×En(avec les conventions naturelles lorsquej= 1ouj=n), l’application partielle xEj7→φ(x1, . . . , xj1, x, xj+1, . . . , xn) estline´aire. Lorsqueφest de plus continue, toutes les applications partielles sont continues, et φedifle,dentif´er´deleelra:inpetcestionumnˆdtne´ffinerebait n (2.2)dφ(x1,...,xn)(h1, . . . , hn) =Xφ(x1, . . . , xj1, hj, xj+1, . . . , xn). j=1 (Dans cette e´criture abusive, le premier terme de la somme est e´videmmentφ(h1, x2, . . . , xn)et le dernierφ(x1, . . . , xn1, hn)iuavtn.liseler´esultatsome´rtsnoitaitun.ad)L Lemme I.1Siφest une applicationn-line´aire continue, il existeCR+tel que n (2.3)kφ(h1, . . . , hn)kFCYkhjkEj j=1 quels que soient les vecteurshjEj. De´m.canoitunarpelsDit´edeφen0E= (0E1, . . . ,0En), il existeη >0tel que si maxkkjkEjη, kφ(k1, . . . , kn)kF1. Soienth1E1 . . ,, .hnEn. Si l’un de ces vecteurs est nul,φ(h1, . . . , hn) = 0F. Sinon, dapreslamultilin´earite´deφon a =nYkhjkEjφφ(h1, . . . , hn1)nkηh1kh1, . . . ,kηhnkhn. ηj=1 Onend´eduitline´galit´e(2.3)avecC= 1nn´(iuelqursesndsfaitelomentsatirtviaielgelatie´ vecteurshjest nul).Remarque.ticaonne,tuqmeppilnuaeiproR´ecne-n´liireaφsatisfaisant (2.3) est continue sur E=E1× ∙ ∙ ∙ ×En. De plus, l’ensemble des applicationsn,nes´eote´nierianocsunit-l L(E1, . . . , En;F)(attention ane pas le confondre avec l’ensembleL(E1× ∙ × ∙ ∙En;F)des applications line´aires surE), muni de kφkL(E1,...,En;F)= max{ kφ(h1, . . . , hn)kF;khjkEj1} est un espace de Banach. De´monstration de(2.2).(Le casn= 1 !) Pourest celui des applications line´aires continues comprendre ce qui se passe avecn2, on peut commencer par traiter le casn= 2. Pour une applicationφbiline´aire : φ(x1+h1, x2+h2)φ(x1, x2)φ(h1, x2)φ(x1, h2) =φ(h1, h2). Or d’apr es le lemme I.1, il existeC >0tel que kφ(h1, h2)k ≤Ckh1kE1kh2kE22Ck(h1, h2)k2E.
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´ CHAPITRE I. DIFFERENTIELLE D’UNE FONCTION
Donc on a bien limkφ(x1+h1, x2+h2)φ(x1, x2)φ(h1, x2)φ(x1, h2)kF0 = (h1,h2)6=(0E1,0E2)k(h1, h2)kE. De plus, la diffe´rentielle dφ:E1×E2→ L(E1×E2;F) (x1, x2)7→dφ(x1,x2): (h1, h2)7→φ(h1, x2) +φ(x1, h2) est bien continue (ceci est laisse´ en exercice). Lecasg´en´eralsetraiteparrecurrencesurnidomn.sAluat´rsesnelteoticatapplrlestpou ´ ne,ctnois´drenous-lin´eairesapneicplioatn(n+ 1)-line´aireφ. Alors n+1 φ(x1+h1, . . . , xn+1+hn+1)φ(x1, . . . , xn+1)Xφ(x1, . . . , xj1, hj, xj+1, . . . , xn+1) = j=1 φ(x1+h1, . . . , xn+hn, xn+1+hn+1)φ(x1+h1, . . . , xn+hn, xn+1)φ(x1, . . . , xn, hn+1) n +φ(x1+h1, . . . , xn+hn, xn+1)φ(x1, . . . , xn+1)Xφ(x1, . . . , xj1, hj, xj+1, . . . , xn+1). j=1 Lorsquondivisecette´egali´epark(h1, . . . , hn, hn+1)kE1×∙∙∙×En+1quipard´enitionsestpue´iruer, ak(h1, . . . , hn)kE1×∙∙∙×En, le deuxieme morceau de droite tend clairement vers0aecyhl,aˆrg-potheseder´ecurrenceappliqu´eealapplicationn´eai-linre (x1, . . . , xn)7→φ(x1, . . . , xn, xn+1). Le premier morceau se simplie en : φ(x1+h1, . . . , xn+hn, hn+1)φ(x1, . . . , xn, hn+1). Or on peut montrer (ceci est laisse´ en exercice) que l’application E1× ∙ ∙ ∙ ×En→ L(En+1;F) (y1,∙ ∙ ∙, yn)7→φ(y1, . . . , yn,) (ouφ(y1, . . . , yn,)ticalioneaaen´leliiprpe´dngishn+17→φ(y1, . . . , yn, hn+1)) est continue. Donc pour toutε >0, il existeη >0tel quemaxj∈{1,∙∙∙,n}khjkEjηnetraˆen kφ(x1+h1, . . . , xn+hn, hn+1)φ(x1, . . . , xn, hn+1)kFεkhn+1kEn+1. Finalement,onconclutparlin´egalite´triangulairequelerapport n+1 φ(x1+h1, . . . , xn+1+hn+1)φ(x1, . . . , xn+1)Xφ(x1, . . . , xj1, hj, xj+1, . . . , xn+1) j=1F k(h1, . . . , hn+1)kE tend bien vers0lorsque(h1, . . . , hn+1)tend vers(0E1, . . . ,0En).
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