Calcul differentiel licence de mathematiques

Sylvie Benzoni

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Calcul differentiel (licence de mathematiques) Sylvie Benzoni 30 avril 2008

• ?hj?ej ≤


• espace de banach


• applications partielles


• ver- sions deguisees de rn


• application ?


• quelconque norme

Sujets

• Benzoni
• Espace de Banach

Informations

• Publié par: ondey
• Publié le: 01 avril 2008
• Nombre de lectures: 48
• Langue: Français

Extrait

Calcul

diff ´ erentiel

(licencedemath ´ ematiques)

Sylvie Benzoni

30

avril

2008

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Chapitre I

Diffe ´ rentielled’unefonction

1 Introduction On considere deuxR´msensroirlesvcetoec-paesEetF, que l’on supposecomplets: on dit aussi que ce sont des espaces deBanach . On notera en ge´ne´ral k ∙ k E etk ∙ k F leurs normes respectives (et simplementk ∙ klorsqueE=F possible.) ¨e´tet qu’il n’y a pas d’ambigu Bien souvent, ces espaces seront en fait de dimension nie. Ce seront meˆme simplement des espacesR n , munis d’une quelconque normek ∙ k k pourk∈[1, . . .∞] , de´nie par n kxk k = X |x j | k  1/k sik <∞etkxk ∞ = sup|x j |, j =1 1≤j≤n ou x 1 , . . . , x n d ´ esignentlseocpmsonaetdsex∈R n .spIlrrout ´ onneveleutemele ˆ tn-rseevrtde sionsd´eguis´eesdeR n , comme l’espace des matricesM p,q (R)aplignes etqcolonnes, que l’on peutmunirdediversesnormes.Parexemple,onpeutprendrelanormesubordonne ´ ea  lanorme k ∙ k k dansR q etR p , de´nie par

kM xk k 9M9 k = x∈R s q u ,x p 6= 0 kxk k . Exercice.Exprimer cette norme al’aide des coefcients deMlorsquep=qetk= 1,2,∞. Onrappellequedetoutesfa¸cons,touteslesnormessont ´ equivalentesendimensionnie. On noteraL(E;F)l’espace des applicationssntcouein ´ naeriseildeEdansF, muni de la norme `9= sup k`(x)k F . 9 x∈E\{0} kxk E C’est un espace de Banach (exercice). On suppose queUest un ouvert (non vide !) deE, et on considere une fonction f:U→F . De´nition I.1 On dit que la fonctionfest diffe´rentiable en un pointx∈Usi elle estcontinue au pointxet s’il existe`∈ L(E;F)tel que kf(x+h)−f(x)−`(h)k F = 0. (1.1) h l 6= → i 0 m E khk E

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´ CHAPITRE I. DIFFERENTIELLE D’UNE FONCTION

Cette de´nition est (volontairement) redondante : en fait, l’existence d’une application lin e´aire continue`llet’uqeianot(1.1)impose  af continue en d’ eˆtre x. Car, en notant ε(h) =kf(x+h)−f(x)−`(h)k F /khk E sih6= 0 E etε(0) = 0, on a par l’in  e´galite´  triangulaire kf(x+h)−f(x)k F ≤ε(h)khk E +k`(h)k F , oule membre de droite tend vers 0lorsquehtend vers0 E eca  rga ˆ´ oendteianuliatc)et  (1.1` en0 E . Inversement, si on supposefcontinue enxet s’il existe`ilanti1(1.,)n ´ eairetellequ’o alorsparl’in ´ egalite ´ triangulaire k`(h)k F ≤ε(h)khk E +kf(x+h)−f(x)k tend vers0lorsquehtend vers0 E elppraonEt.(nopplicati´ed’uneanoituntieluqleca line´aire ´ equivauta  sacontinuite ´ en0.) Notation.Bien suˆr, l’application`lad´dansitnoeine´ep.Id1dundinpotx. On la notera de´sormais `= df x ,desorteque(.1)1es ´ r ´ eceirt − lim kf(x+h) kh f( k x)−df x (h)k F = 0 . h 6 → = 0 E E L’applicationdf x ´ eeppelestaleitel ´ ffinereddefau pointx. D ´ enitionI.2On dit que la fonctionfestablediff ´ erentisurUdtfi ´ freisleelsetoenuttienleab pointx∈U. Dans ce cas, on appelleeeillertnff ´ edidefla fonction df:U→ L(E;F). x7→df x Si de plusdfest continue, on dit quefest continuˆment diffe´rentiable , ou de fac¸on e´quivalente quefest declasseC 1 .

2 Premiers exemples •Toute applicationconstanteest continuˆment diffe´rentiable, dediff ´ eneluelertneill. •Toute application line´aire continue `ste,aumentin ˆ tconesbaelneit ´ fredtfi diffe´rentielle estconstante´,gelaea`en tout point : d` x (h) =`(h)quels que soientxeth∈E . •Pn ´´ esglumenerelatuae,totcatipplion multi-line´aire continue e.bliantre ´ effdiemtnniu ˆ octnets Ce dernier point demande quelques explications. SiE 1  . . ,, .E n sont des espaces de Banach, le produitcart ´ esienE=E 1 × ∙ ∙ ∙ ×E n , muni de k(x 1 , . . . , x n )k E =kx 1 k E 1 +∙ ∙ ∙+kx n k E n , est aussi un espace de Banach. On dit qu’une applicationφ:E→Festn-lr ´ eeaiin(et lorsqu’on ne veut pas pr e´cisernon diti-limultrie ´ nae) si pour toutj∈ {1, . . . , n}et pour tout

2. PREMIERS EXEMPLES

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(x 1 , . . . , x j−1 , x j+1 , . . . , x n )∈E 1 × ∙ ∙ ∙E j−1 ×E j+1 ∙ ∙ ∙ ×E n (avec les conventions naturelles lorsquej= 1ouj=n), l’application partielle x∈E j 7→φ(x 1 , . . . , x j−1 , x, x j+1 , . . . , x n ) est line´aire . Lorsqueφest de plus continue, toutes les applications partielles sont continues, et φedifle,dentif´er´deleelra:inpetcestionumnˆdtne´ffinerebait n (2.2)dφ (x 1 ,...,x n ) (h 1 , . . . , h n ) = X φ(x 1 , . . . , x j−1 , h j , x j+1 , . . . , x n ). j=1 (Dans cette e´criture abusive, le premier terme de la somme est e´videmmentφ(h 1 , x 2 , . . . , x n )et le dernierφ(x 1 , . . . , x n−1 , h n )iuavtn.liseler ´ esultatsome ´ rtsnoitaitun.ad)L Lemme I.1Siφest une applicationn-line´aire continue, il existeC∈R +∗ tel que n (2.3)kφ(h 1 , . . . , h n )k F ≤C Y kh j k E j j=1 quels que soient les vecteursh j ∈E j . De´m. canoituna’rpe  lsDit ´ edeφen0 E = (0 E 1 , . . . ,0 E n ), il existeη >0tel que si maxkk j k E j ≤η, kφ(k 1 , . . . , k n )k F ≤1. Soienth 1 ∈E 1  . . ,, .h n ∈E n . Si l’un de ces vecteurs est nul,φ(h 1 , . . . , h n ) = 0 F . Sinon, d’apreslamultilin´earite´deφon a = n Y  kh j k E j  φ  φ(h 1 , . . . , h n 1 ) n k η h 1 k h 1 , . . . , k η h n k h n  . η j=1 Onend ´ eduitl’ine ´ galit ´ e(2.3)avecC= 1/η n n ´ (i’uelqursesndsfaitelomentsatirtviaielgelatie ´ vecteursh j est nul).✷ Remarque.ticaonne,tuqmeppilnuaeiproR´ecne-n´liireaφsatisfaisant (2.3) est continue sur E=E 1 × ∙ ∙ ∙ ×E n . De plus, l’ensemble des applicationsn,nes ´ eote ´ nierianocsunit-l L(E 1 , . . . , E n ;F)(attention ane pas le confondre avec l’ensembleL(E 1 × ∙ × ∙ ∙E n ;F)des applications line´aires sur E), muni de kφk L(E 1 ,...,E n ;F) = max{ kφ(h 1 , . . . , h n )k F ;kh j k E j ≤1} est un espace de Banach. De´monstration de (2.2).(Le casn= 1 !) Pourest celui des applications line´aires continues comprendre ce qui se passe avecn≥2, on peut commencer par traiter le casn= 2. Pour une applicationφ biline´aire : φ(x 1 +h 1 , x 2 +h 2 )−φ(x 1 , x 2 )−φ(h 1 , x 2 )−φ(x 1 , h 2 ) =φ(h 1 , h 2 ). Or d’apr es le lemme I.1, il existeC >0tel que kφ(h 1 , h 2 )k ≤Ckh 1 k E 1 kh 2 k E 2 ≤ 2 C k(h 1 , h 2 )k 2 E .

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´ CHAPITRE I. DIFFERENTIELLE D’UNE FONCTION

Donc on a bien lim kφ(x 1 +h 1 , x 2 +h 2 )−φ(x 1 , x 2 )−φ(h 1 , x 2 )−φ(x 1 , h 2 )k F 0 = (h 1 ,h 2 ) 6= →(0 E 1 ,0 E 2 ) k(h 1 , h 2 )k E . De plus, la diffe´rentielle dφ:E 1 ×E 2 → L(E 1 ×E 2 ;F) (x 1 , x 2 )7→dφ (x 1 ,x 2 ) : (h 1 , h 2 )7→φ(h 1 , x 2 ) +φ(x 1 , h 2 ) est bien continue (ceci est laisse´ en exercice). Lecasg ´ en ´ eralsetraiteparrecurrencesurnidomn.sAluat ´ rsesnelteoticatapplrlestpou ´ ne,ctnois´drenous-lin´eairesapneicplioatn(n+ 1)-line´aireφ. Alors n+1 φ(x 1 +h 1 , . . . , x n+1 +h n+1 )−φ(x 1 , . . . , x n+1 )− X φ(x 1 , . . . , x j−1 , h j , x j+1 , . . . , x n+1 ) = j=1 φ(x 1 +h 1 , . . . , x n +h n , x n+1 +h n+1 )−φ(x 1 +h 1 , . . . , x n +h n , x n+1 )−φ(x 1 , . . . , x n , h n+1 ) n +φ(x 1 +h 1 , . . . , x n +h n , x n+1 )−φ(x 1 , . . . , x n+1 )− X φ(x 1 , . . . , x j−1 , h j , x j+1 , . . . , x n+1 ). j=1 Lorsqu’ondivisecette ´ egali ´ epark(h 1 , . . . , h n , h n+1 )k E 1 ×∙∙∙×E n+1 quipard ´ enitionsestpue ´ iruer, ak(h 1 , . . . , h n )k E 1 ×∙∙∙×E n , le deuxieme morceau de droite tend clairement vers0aecyh’l,aˆrg- pothe  seder ´ ecurrenceappliqu ´ eea  l’applicationn ´ eai-linre (x 1 , . . . , x n )7→φ(x 1 , . . . , x n , x n+1 ). Le premier morceau se simplie en : φ(x 1 +h 1 , . . . , x n +h n , h n+1 )−φ(x 1 , . . . , x n , h n+1 ). Or on peut montrer (ceci est laisse´ en exercice) que l’application E 1 × ∙ ∙ ∙ ×E n → L(E n+1 ;F) (y 1 ,∙ ∙ ∙, y n )7→φ(y 1 , . . . , y n ,∙) (ouφ(y 1 , . . . , y n ,∙)ticalion’eaaen´leliiprpe´dngish n+1 7→φ(y 1 , . . . , y n , h n+1 )) est continue. Donc pour toutε >0, il existeη >0tel quemax j∈{1,∙∙∙,n} kh j k E j ≤ηnetra ˆ en kφ(x 1 +h 1 , . . . , x n +h n , h n+1 )−φ(x 1 , . . . , x n , h n+1 )k F ≤εkh n+1 k E n+1 . Finalement,onconclutparl’in´egalite´triangulairequelerapport n+1 φ(x 1 +h 1 , . . . , x n+1 +h n+1 )−φ(x 1 , . . . , x n+1 )− X φ(x 1 , . . . , x j−1 , h j , x j+1 , . . . , x n+1 )  j=1  F k(h 1 , . . . , h n+1 )k E tend bien vers0lorsque(h 1 , . . . , h n+1 )tend vers(0 E 1 , . . . ,0 E n ).✷