CCP PSI MATHEMATIQUES Duree heures

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
CCP 2003 – PSI – MATHEMATIQUES 1 Duree : 4 heures Les calculatrices sont autorisees. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la concision de la redaction. Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. **** Dans tout ce probleme, on designe par µ une application continue 2pi-periodique de R dans R et on considere l'equation differentielle : (Eµ) y?? + y = µ (t) On designe par ?µ la solution sur R de (Eµ) qui verifie en outre les relations ?µ (0) = ??µ (0) = 0. Pour x ? R, on note : Gµ (x) = ∫ x 0 µ (t) cos tdt et Hµ (x) = ∫ x 0 µ (t) sin tdt Dans la partie I, on etudie quelques proprietes de la fonction ?µ. Dans la partie II et la partie III, on etudie un exemple explicite. PARTIE I On designe par Fµ la fonction definie sur R par Fµ (x) = (sinx)Gµ (x)? (cosx)Hµ (x).

• exprimer ?


• somme de la serie de fourier


• convergence de la serie ∑


• deduire ∫


• p2 ?

Informations

• Publié par: larec
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• Langue: Français

Extrait

CCP 2003 – PSI – MATHEMATIQUES 1 Duree:4heures

Lescalculatricessontautorisees. ****

N.B.Lecandidatattacheralaplusgrandeimportancealaclarte,alaprecisionetalaconcisionde laredaction.Siuncandidatestameneareperercequipeutluisemblereˆtreuneerreurd’enonce,ille signalerasursacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilaete ameneaprendre.

****

Danstoutceprobleme,ondesigneparµune application continue 2πquede-periodiRdansRet on considerel’equationdierentielle: 00 (E µ )y+y=µ(t) 0 Ondesi(0)=0. gne parϕla solution surRde (E µ enerieeseltrounoitaleruqvi)sϕ(0) =ϕ µ µ µ Pourx∈R, on note : Z Z x x G µ (x) =µ(t) costdtetH µ (x) =µ(t) sintdt 0 0 DanslapartieI,onetudiequelquesproprietesdelafonctionϕ. Dans la partie II et la partie III, on µ etudieunexempleexplicite.

PARTIE I

OndesigneparF µ einednruslioctonafRparF µ (x) = (sinx)G µ (x)−(cosx)H µ (x). Poursimplierlesnotations,onecriraF,G,H,ϕngreelfsnotcoisnpourdesiF µ ,G µ ,H µ ,ϕ. µ 0 I.1 varieadrletiusJetdeibilG,Het doncFrcisePre.F(0) etF(0). 200 I.2 Montrer queFest de classeCsurRet exprimerF(x) +F(x) en fonction deµ(x). I.3 Justier l’armationF=ϕ. I.4 Edetuereacudtcar2πupe-deodiqeriϕ. I.4.1 deeevridaeellrlaucCG(x+ 2π)−G(x) etH(x+ 2π)−H(x). I.4.2 ExprimerG(x+ 2π)−G(x) en fonction deG(2π) etH(x+ 2π)−H(x) en fonction deH(2π). I.4.3 Exprimerϕ(x+ 2π)−ϕ(x) en fonction de sinx, cosx,G(2π),H(2π). I.4.4 oitiennellednocquAstruetoptrnaetsusancessaireG(2π) etH(2π) la fonctionϕest-elle 2πp-e?diquerio I.4.5 La fonctionϕest-elle 2πrsloequep-doireuqiµ(t) = sint? (resp. lorsqueµ(t) = cost?) I.4.6 La fonctionϕeenorebequrslolle-tseµ(t) = sint? (resp. lorsqueµ(t) = cost?) I.4.7 Montrer que la fonctionϕest 2πrsloueiqodrie-peuqµ(t) =|sint|. 0 00 I.4.8 Les fonctionsϕ,ϕetϕsleesqorsblenorsno-tleeuµ(t) =|sint|?

Danstoutelasuiteduprobleme,onsupposequeµ(t) =|sint|.

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