Concours Centrale Supélec

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2003 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière PC Plan du problème Dans les préliminaires, on établit quelques généralités utiles par la suite sur les applications intégrables. Elles sont illustrées par la partie I et utilisées pour établir les résultats de la partie II. Dans les parties III et IV, on étudie le com- portement asymptotique de quelques suites et séries en utilisant les idées qui précèdent. Rappels et notations • Soient et deux fonctions de variable réelle et à valeurs réelles ne s'annu- lant pas au voisinage d'un élément , sauf éventuellement en ce point. et sont dites équivalentes en si et seulement si leur quotient tend vers en . On notera alors en . est dite négligeable devant en si et seulement si le quotient tend vers en . On notera alors en . • Soient et deux suites réelles de termes non nuls à partir d'un cer- tain rang. Les suites et sont dites équivalentes si et seulement si la suite définie pour assez grand par converge vers ; on note alors . La suite est dite négligeable devant si et seulement si converge vers ; on note alors . • Pour une série de nombres réels, on note la suite de ses som- mes partielles : pour , . Si de plus est convergente, on note la suite de ses restes : pour , .

• td ln


• logiciel de calcul formel


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• continues par mor- ceaux


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Sujets

• Système de calcul formel

Informations

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• Langue: Français

Extrait

MATHÉMATIQUES IFilière PC MATHƒMATIQUES I

Plan du problème Dans les préliminaires, on établit quelques généralités utiles par la suite sur les applications intégrables. Elles sont illustrées par la partie I et utilisées pour établir les résultats de la partie II. Dans les parties III et IV, on étudie le com- portement asymptotique de quelques suites et séries en utilisant les idées qui précèdent. Rappels et notations • Soient f et g deux fonctions de variable réelle et à valeurs réelles ne s’annu- lant pas au voisinage d’un élément b∈IR∪ {+∞,–∞} , sauf éventuellement en ce point. f et g sont dites équivalentes en b si et seulement si leur quotient tend vers 1 en b . On notera alors f ∼ g en b . f est dite négligeable devant g en b si et seulement si le quotient f∕g tend vers 0 en b . On notera alors f=o(g) en b . • Soient (u) et (v) deux suites réelles de termes non nuls à partir d’un cer- n n tain rang. Les suites (u) et (v) sont dites équivalentes si et seulement si la n n u n suite (w) définie pour n assez grand par w= - converge vers 1 ; on note n n v n alors n ∼ n . La suite (u) est dite négligeable devant (v si et seulement u v) n n si (w) converge vers 0 ; on note alors u=o(v) . n nn • Pourune série u de nombres réels, on note (S) la suite de ses som- ∑ n n n∈IN mes partielles : n pour , n∈IN . S=u ∑ n k k= 0 Si de plus u est convergente, on note (R) la suite de ses restes : ∑ n n ∈IN n +∞ pour , n∈INR . =u ∑ n k k=n+ 1 • ln désigne le logarithme népérien.

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MATHÉMATIQUES I

FiliËre PC

Filière PC

Préliminaires Soit a∈IR et b∈]a,+∞[∪ {+∞} , f et g deux applications continues par mor- ceaux sur [a,b[ à valeurs strictement positives. 1) On suppose que g est intégrable sur [a,b[ . a) Montrerqu’en b , la relation f=o(g) entraîne b b   f=o g . ∫ x  ∫ x  b b b) Montrerqu’en b , la relation f ∼ g entraîne f ∼ g ∫ ∫ x x (on justifiera l’intégrabilité de f sur les intervalles [x,b[ considérés). 2) On suppose que g n’est pas intégrable sur [a,b[ . x x   a) Montrer qu’en b , la relation f=o(g) entraîne f=o g . ∫ a  ∫ a  Montrer à l’aide d’exemples que l’on ne peut en général rien dire de l’intégrabi- lité de f sur [a,b[ . x x b) Montrer qu’en b , la relation f ∼ g entraîne f ∼ g . ∫ ∫ a a Que dire de l’intégrabilité de f sur [a,b[ ?

Partie I  I.A - I.A.1) Déterminerun équivalent simple de t 1 e + - dt en 0 . ∫ x Arc si  nt 2 t x e + I.A.2) Endéduire un équivalent simple de - dt en 0 . ∫ Arc si  nt x 3 I.B - I.B.1) Àl’aide d’une intégration par parties, montrer qu’en +∞ , on a x dt x ∼ - - ∫ 2 ln(t) ln(x)

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MATHÉMATIQUES IFilière PC I.B.2) Plusgénéralement, si n est un entier naturel, établir le développe- ment asymptotique suivant en +∞ : n x dt k !x x   -= - +o - . ∑ k+ 1n+ 1 ∫ 2 ln(t )  ln(x)ln(x) k= 0 I.C - I.C.1) Justifierle développement asymptotique suivant en +∞ : t xx x x e e 2 e e   - dt= - + - +o - . ∫ 1 2 2 3  3  x x x t+ 1 I.C.2) Écrire,dans le langage associé au logiciel de calcul formel utilisé, une procédure permettant d’obtenir le terme d’indice n ( n≥ ) 2 du développement x e asymptotique en +∞ (par rapport aux - , k≥2 ) de : k x t x e xa - dt ∫ 1 2 t+ 1 (on indiquera le logiciel de calcul formel utilisé).

Partie II  1 Soit a un nombre réel et f une application de classe C sur [a,+∞[ à valeurs x f′(x) strictement positives. On suppose que le quotient - tend vers une limite f(x) finien α  . +∞ ln(f(x)) II.A -Montrer à l’aide des préliminaires qu’en +∞ , - tend vers α ln(x) (on peut distinguer le cas α= 0 ). II.B -On suppose dans cette question α <–1 . II.B.1) Montrerque f est intégrable sur [a,+∞[ . –xf(x) +∞ II.B.2) Montrerqu’en +∞ , on a f ∼ - ∫ α+ 1 x xf(x) (on peut considérer - et utiliser les préliminaires). α+ 1 II.C -On suppose dans cette question α >–1 . II.C.1) Étudierl’intégrabilité de f sur [a,+∞[ . II.C.2) Montrerqu’en +∞ , on a xf(x) x f ∼ . - ∫ a α+ 1 1 II.C.3) Donnerun exemple d’application f de classe C sur [a,+∞[ à valeurs Concours Centrale-Supélec 20033/6

MATHÉMATIQUES IFilière PC ln(f(x)) strictement positives telles qu’en +∞ le quotient - tende vers une limite ln(x) xf(x) x α >–1 , mais telle que l’on n’ait pas f ∼ . - ∫ α+ 1 a II.D - 1 II.D.1) Étudierl’intégrabilité sur [2,+∞[ des applications xa , - selon β x(lnx) β ∈IR . II.D.2) Étudier,à l’aide des questions précédentes, l’intégrabilité sur [2,+∞[ 1 des applications xa - , selon β ∈IR et γ ∈IR . γ β x(lnx) II.E -Que conclure quant à l’intégrabilité de f sur [a,+∞[ dans le cas α= –1 ?

Partie III  1 + Dans cette partie, on considère une application f de classe C sur IR , à valeurs strictement positives. f′(x) On suppose qu’en +∞ , - tend vers α ∈IR . f(x) On considère la série de terme général f(n) . On note (S) la suite de ses n n∈IN sommes partielles et (R) la suite de ses restes quand la série converge. n n∈IN + On associe à f deux applications u et c v ontinues par morceaux sur I e R t définies par : n * pour tout n∈IN et tout x∈[n– 1,n[ , u(x)=f(n) et v(x)=f(t)dt . ∫ n–1 + –αx On pose enfin pour tout x∈IR , h(x)=e f(x) . III.A -.txéfiSoi ε >0 * Montrer l’existence de n∈IN et ttel que pour tout entier n o ≥ u n t 0 0 t∈ [n– 1,n] , on ait : ε h(t)–h(n)≤ (e– 1)h(n) h′ (on peut considérer - ). h III.B -On suppose dans cette question que α n’est pas nul. Déduire de III.A que lorsque n tend vers +∞ , on a –α n 1 –e ∼ f(t)dt - f(n) . ∫ n– 1 α III.C -On suppose encore dans cette question que α n’est pas nul. k k * III.C.1) Exprimerpour k∈IN les intégrales v(t)dt et u(t)dt à l’aide ∫ k– 1 ∫ k– 1 de . f

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MATHÉMATIQUES IFilière PC À l’aide des préliminaires, établir les résultats suivants : + III.C.2) Si f est intégrable sur, a I l R ors la série de terme général f(n) converge et on a quand n vers +∞ , +∞ α n ∼ R - f(t)dt . –α ∫ n 1 –e + III.C.3) Si f n’est pas intégrable sur IR , alors la série de terme général f(n) diverge et on a quand n vers +∞ , n α ( ) . S n ∼ –α - f t dt ∫ 0 1 –e III.D -On suppose à présent que α= 0 . Montrer alors que la série de terme général f(n) est convergente si et seulement +∞ + R n ∼ f(t)dt si f est intégrable sur I , R avec encas de convergence et ∫ n n n ∼ S f(t)dt en cas de divergence. ∫ 0

Partie IV  IV.A -À l’aide de ce qui précède, déterminer un équivalent simple des sommes suivantes quand n tend vers +∞ : n 1 IV.A.1) - ∑ k k= 1 n IV.A.2) ln(k) ∑ k= 1 n k IV.A.3) 2 ln(k) ∑ k= 1 IV.B -Soient (a) et (b) deux suites réelles strictement positives n n n∈INn∈IN équivalentes. On note pour tout n∈IN , n n S(a)=a et S(b)=b . ∑ ∑ n kn k k= 0k= 0

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MATHÉMATIQUES IFilière PC Dans le cas où ces séries convergent, on note pour tout n∈IN , +∞+∞ R(a)=a et R(b)=b n ∑ n n ∑ n k=n+ 1k=n+ 1 IV.B.1) Montrerque si a converge, alors quand n tend vers +∞ , on a ∑ n n ∼ n R(a)R(b) . IV.B.2) Montrerque si a tediverge, alors quand n , onnd vers +∞ a ∑ n n ∼ n S(a)S(b) . IV.C -Déduire de ce qui précède les résultats suivants lorsque n tend vers +∞ : IV.C.1) n 1 11 -= ln(n)+γ+ - +o(-) ∑ k 2 n n k= 1 IV.C.2) 1 n+ -- 2 –n 1 1   n! =δn e1 + - +o(-)  12 n n  où γ et δ sont deux constantes qu’on ne demande pas d’expliciter. IV.C.3) Quevaut δ ?

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