Concours Centrale Supélec

Jean-Philippe Rey

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2000 1/4 MATHÉMATIQUES I Filière PSI Objet du problème : Il s'agit de calculer par plusieurs méthodes les intégrales définies dans la partie II. Notations : Partie I - I.A - Soit une application de classe sur et à valeurs dans . Montrer que : . I.B - On note , pour . I.B.1) Justifier l'existence de . I.B.2) Calculer , , , . I.B.3) Exprimer en fonction de et en déduire une expression de en fonction de . I.B.4) Montrer que : , et en déduire : . I.B.5) Déduire des résultats précédents l'égalité : . I.C - I.C.1) Soit un réel strictement positif. Justifier l'existence de l'intégrale . In Cn p n p? ?? ? n! p! n p–( )!--------------------------= = f C1 a b[ , ] IR f t( ) xtsin td a b∫x +∞?lim 0= Jn ntsin tsin------------- td0 π 2--∫= n IN? Jn J0 J1 J2 J3 Jn Jn 2–– n Jn n Jn Jn 1––( )n +∞?lim 0= Jn π 2--=n +∞? lim π 4 1–(

• partition judi- cieuse de l'intervalle d'intégration


• i2 i3


• jn jn


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Extrait

MATHÉMATIQUES I

MATHÉMATIQUES I

Objet du problème :

Filière PSI

Il s’agit de calculer par plusieurs méthodes les intégrales I  définiesdans la n partie II. ! p  n n  Notations: C= = - n   p!(–p)! p n Partie I - 1 I.A -Soit f une application de classe C sur [a,b] et à valeurs dans IR . Montrer b que : limf(t)sinxtdt= 0 .  x+ a  - 2 sinnt I.B -On note J= - dt , pour nIN .  n 0 sint I.B.1) Justifierl’existence de J . n I.B.2) Calculer J , J , J , J . 0 1 2 3

I.B.3) Exprimer J–J en fonction de n et en déduire une expression de n n– 2 J en fonction de n . n  I.B.4) Montrerque : lim(J–J)= 0 , et en déduire : limJ= - . n n– 1n n+n+ 2 + n (–1) I.B.5) Déduiredes résultats précédents l’égalité : = 4- . 2n+ 1 n= 0 I.C - I.C.1) Soit a un réel strictement positif. Justifier l’existence de l’intégrale a sinnt - dt .  0 sint

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MATHÉMATIQUES I

Filière PSI

Filière PSI

I.C.2) Soit a]0,[ . Prouver que l’application f telle que 1 1 f(x)= - – - pour x0 et f(0)= 0 est de classe C sur [0,a] . xsinx sinx–x - 2 x On pourra écrire : f(x)= - , pour x]0,a] . sinx - x I.C.3) Déterminer a a sinntsinnt   lim - dt– - dt lorsque a]0, [ . n+  t  0 sint   0 I.C.4) Endéduire la valeur de a sinnt   lim - dt lorsque a= - , puis a< - , puis a> - .  n+ 0 t2 2 2 n sint I.D -En utilisant les résultats précédents et l’intégrale - dt , montrer que  0 t X sint la fonction F:Xa - dt admet - pour limite lorsque x tend vers en + .  0 t2 + sint  On posera I= - dt= - .  1 0 t 2 (n+ 1) sint I.E -En utilisant dt , montrer que l’application  - n t

sint ta - n’est pas intégrable sur ]0,+[ . t

Partie II -

II.A -Montrer que pour tout n2 , l’application n sint   ta - est intégrable sur ]0,+[ . On pose :   t + n sint   I= - dt .    n 0 t

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Filière PSI

II.B -Montrer que : I=I ( I a été définie en I.D). 1 21 II.C -Montrer : limI= 0 . n n+ II.D -Montrer que: I>0  pour n1 . (On pourra utiliser une partition judi- n cieuse de l’intervalle d’intégration).

Partie III - Pour nIN et k {0, ,n– 1} , on considère les applications n g : ]0,+[IR définie par g(t)=(sint) n n 1 (k) et h : ]0,+[IR définie par h= - g(t) , n,k n,k n n–k t (k) où g désigne la dérivée d’ordre k de g . n n III.A -Montrer que pour tout k {0, ,n– 2} , h est intégrable sur ]0,+[ . n,k III.B -Montrer que pour n2 et k {0, ,n– 2} , la valeur de l’expression + (n–k– 1)!h(t)dt ne dépend pas de k .  n,k 0 X III.C -Pour n2 , prouver que la fonction G:Xah(t)dt admet en + une  n,k 0 + limite finie, notée h(t)dt , et que, pour tout k {0,, n– 1} :  n,k 0 ++ h(t)dt=(n–k– 1)!h(t)dt .   n,n– 1n,k 0 0 + 1 1 (n– 1) III.D -En déduire, pour n2 : I= -- g(t)dt .  n n (n– 1)! 0 t III.E -  III.E.1) Établirpour tout pIN et tout tIR les résultats suivants : p p2p pk p–k 4(sint)=C+ 2(–1)Ccos(2kt) (1) 2p 2p k= 1 p p2p+ 1k p–k 4(sint)=(–1)Csin(2k+ 1)t (2) 2p+ 1 k= 0 III.E.2) Endéduire, en distinguant les cas n= 2p et n= 2p+ 1 , une expres- sion de I du type q où q est une somme de nombres rationnels (on pourra n nn faire intervenir I dans les calculs). 1

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Retrouver la valeur de I , puis calculer I et I . 2 34

Partie IV -

Filière PSI

 IV.A -Montrer, pour tout nIN et tout x réel positif l’existence de l’intégrale : n + (sintx) A(x)= - dt .  n2 n 0 t(1 +t)

2 + IV.B -Montrer que l’application [xaA(x)] est de classe C sur IR , et qu’elle n vérifie, pour tout n2 , l’équation différentielle : 2 2n– 1 (E) : y–n y=n(n– 1)A(x)–n xI . n n– 2n

IV.C - IV.C.1) Résoudrel’équation (E) . 2 IV.C.2) Endéduire une expression de A l’aide de à I  (onconsidérera les 2 2 valeurs de A(0) et (0) ). 2 2 2 IV.C.3) Montrerque A(x)=O(x) quand x tend vers + et retrouver ainsi la 2 valeur de I . 2 IV.D -Exprimer A à l’aide de A et en déduire une expression de A . 1 21 IV.E -En procédant de manière analogue à IV.C, obtenir A et I . 3 3 * IV.F -Montrer que, pour tout nIN , A peut se mettre sous la forme : n –x–x A(x)=e Q(e)+R(x) , n nn où Q et R sont des fonctions polynômes vérifiant : n n le degré de R est égal à n– 1 ; n le degré de Q est égal à n ; n R a même parité que n– 1 ; n Q a même parité que n . n

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